一类切换系统的稳定性

摘 要：研究了一类切换系统的稳定性。主要介绍了对该切换系统设计了PI控制器，给出了系統全局渐近稳定的充分条件，并给出了周期闭轨道存在的充分必要条件，同时讨论了系统稳定性的其他情况。最后的数值仿真验证了结论的正确性。

关键词：切换系统；PI控制器；渐近稳定；周期闭轨道

引言

切换系统具有很广泛的应用背景，在机器人行走控制、车辆控制等领域具有广泛的应用。随着科技的飞速发展，人们对切换系统越来越重视。

切换系统是混杂系统的一种，主要研究切换系统的建模、分析和控制等。目前切换系统的研究工作主要集中在稳定性与镇定性当中，其他如优化控制设计、能控性、能观性等也有研究。切换系统由各子系统以及切换规律构成，但它并不是由各子系统以及切换规律的简单叠加。在切换系统中，子系统的稳定性不等于整个系统的稳定性，即使切换系统中的每个子系统均稳定，但在不同的切换规则的作用下，整个系统最终可能不稳定。反之，在某种切换规则的作用下，也可能出现每个子系统都不稳定但整个系统是稳定的情形。

文章研究了一类线性切换系统，在该系统中其平衡点唯一，通过设计PI控制器使整个切换系统全局渐近稳定，并对控制器参数不同条件下系统中可能出现的周期闭轨道及局部稳定等情形进行了讨论。最后数值仿真验证了理论的正确性。

1 预备知识

（Poincare-Bendixson准则）考虑系统■=f（x）设M是平面内的一个有界闭子集，使

（1）M不包含平衡点，或只包含一个平衡点，使雅克比矩阵[？坠f/？坠x]在该点有实部为正的特征根；（2）每条始于M的轨线在将来的所有时刻都保持在M内，那么M包含系统的一个周期轨道。

（Bendixson准则）如果在平面的简单连通区域D内，表达式？坠f1/？坠x1+？坠f2/？坠x2不总是为零，且符号不变，那么系统■=f（x）在D内没有周期闭轨道。

2 问题描述

考虑一类线性控制系统

■=Ax+Bu （1）

其中A=0 1-a -k，B=0b，D？奂R2是包含原点的定义域。k满足k=g■，x1>dg■，x1？燮d，a、g1、g2为常数，b、d为正常数。

文章的控制目的是：设计一个控制器使切换系统稳定到原点。

为达到控制目的，文章采用PI控制器，其控制规律为

u=-kIx1-kpx2 （2）

其中kI、kp为正常数。

将其带入式（1）得到系统

（3）

系统的平衡点为O（0，0），在平衡点处对系统线性化以后得到

（4）

特征方程为

（5）

特征根为

（6）

下面分四种情况讨论控制器参数不同条件下系统的稳定性：

2.1 系统全局稳定

（充分条件）使系统（1）全局渐近稳定的充分条件是

（7）

证明：选取V=（bk■+a）x■■+x■■作为切换系统的备选公共李雅普诺夫函数。

当满足kI>max0，-■，V（x）为正定的，且

当满足kp>max0，-■，-■，在区域x1>d中，满足bkp+g1>0时，■=-2（bk■+g1）x■■？燮0；在区域x1？燮d中，满足bkp+g2>0时，■=-2（bk■+g■）x■■？燮0。当且仅x2=0时，■=0取等号，所以切换系统是渐近稳定的。

又因当 时， 径向无界，所以切换系统是全局渐近稳定的。

2.2 系统中存在同一周期闭轨道

在切换系统中存在同一周期闭轨道的充分必要条件是：kI>max0，-■，max-■，0

证明：（充分性）

对于系统（1），设 ，其中

V=（bkI+a）x■■+x■■，c>0。显然M是有界闭集，且只包含一个平衡点O（0，0）。由于满足0

下面证明每条始于M的轨线都将保持在M中。

图1 系统轨线有界示意图

设此时系统轨线如图1所示，轨线沿ABCDE方向运动，由于kp>max-■，0，由（1）中的证明可知，在区域x1>d中，系统是渐近稳定的，从M中一点A（-d，h）出发的轨线必与x1=-d线下半轴有另一交点设为B（-d，h′），且必有h′

当平衡点类型为结点时，对于任意给定的初始位置x0=[x10，x20]′，其解为

（8）

当平衡点类型为焦点时，其解为

（9）

其中 。

由上述方程的解可知，无论平衡点的类型如何，因为|x1|？燮d有界，则t？燮t′（x1）有界，从而有|x2|？燮？浊（t′（x1））有界，其中t′、？浊是关于x1的函数。所以从B（-d，h'）出发的轨线在区域|x1|？燮d中必然与x1=d有另

一交点C，如果c选择的足够大，则弧线 。同理，可以证明

弧线 也在M区域中。

综上，只要c选择的足够大，从M中一点A出发的轨线ABCDE在将来所有时刻都将保持在M中，由Poincare-Bendixson准则可知，在M中必存在一个周期轨道。充分性得证。

（必要性）采用反证法。

假设 ，则在区域|x1|？叟d中， =bkp+

g2，在区域|x1|

同号，且不总为0，由Bendixson准则得，系统中不可能存在周期闭轨道。与假设相矛盾，所以结论成立。必要性得证。

2.3 系统局部稳定

在这种情况下需满足的条件为： 。

当满足这一条件时，可知在区域|x1|>d中，系统的特征根实部为正，是发散的，在区域|x1|？燮d中系统的特征根具有负实部，此时系统在平衡点附近区域中收敛。需要注意一点，即使从区域|x1|？燮d中出发的轨线也并非全都收敛到平衡点。

2.4 系统不稳定

当控制器参数选择除上述三种情况下的其他情况时，系统都将不稳定。

3 仿真

考虑系统：

，其中 。

由于本例中g1>g2，将不会出现局部稳定的情形。当参数取不同值时，其系统轨线如下图所示。当kp=6时，系统全局渐近稳定；當kp=3时，从任意初始位置出发的轨线最终收敛到同一周期闭轨道。

（1）kp=6，kI=2。 （2）kp=3，kI=2。

如果 ，将不会出现同一周期闭轨道的情形。当

kp=3时，系统为局部稳定。

（3）kp=9，kI=8。

4 结束语

文章研究了一类切换系统的稳定性，通过设计PI控制器并选择合理的参数值可以确保切换系统全局渐近稳定。并考虑了控制器参数不同条件下可能出现的周期闭轨道等其他情况，最后的数值仿真验证了文章结论的正确性。

参考文献

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[2]Zhengdong Sun， S.S.Ge. Analysis and synthesis of switched linear control systems[J].Automatic， 2005， 41：181-195.

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[4]张霞，高岩，夏尊铨.切换线性系统稳定性研究进展[J].控制与决策，2010，25（10）：1441-1450.

作者简介：乔继辉（1990，7-），男，河南省巩义市，厦门大学，自动化专业硕士，研究方向：控制理论与控制工程。