平面向量与三角知识的“交汇”

张琦

近几年新课标高考对平面向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系命题形式的多样化，又保持与其他知识交汇的命题思路，充分彰显平面向量知识的交汇价值。

一、平面向量与三角函数性质的“交汇”

例1 设函数，其中向量，的图像经过点。

（l）求实数m的值。

（2）求函数.f（x）的最小值及此时x值的集合。

解：（1）由可得。

（2）由（1）得，所以当时，的最小值为。

由，可知（k∈Z），可得此时x值的集合为

评析：本题以平面向量为载体，巧妙地将平面向量的数量积与三角函数的性质结合起来，体现了平面向量知识的交汇价值。

二、平面向量与三角变换的“交汇”

例2 已知向量m=（cosθ，sinθ）和，且，求的值。

解：由，可得。

又，所以

因为，所以

所以

评析：本题结合三角函数求值的有关知识，考查向量模的定义与向量的数量积的坐标运算。

三、平面向量与解三角形的“交汇”

例3 已知向量m=（l，1），向量n与向量m的夹角为，且m·n=-1。

（l）求向量n。

（2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为，向量，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求|n+p|的取值范围。

解：（l）设n=（x，y）。利用m·n=-l，可求得n=（-l，0）或n=（0，-l）。

（2）由n与q=（1，o）的夹角为，即得n⊥q.可知n=（0，-1）。由A，B，C成等差数列，可得。

由cosC），可得

因为，所以-1≤

所以，即。所以

评析：本题侧重考查三角形知识。题中涉及数列知识，有兴趣的同学不妨探究一下。