1957—1958：莫斯科访学之忆

[编者按]夏道行先生，1930年出生于江苏泰州。1950年代初在浙江大学师从陈建功先生研究复变函数论。1952年研究生毕业后分配到复旦大学工作。1980年当选为中国科学院学部委员（院士）。夏先生在复变函数、无限维积分、算子理论研究方面卓有成就。2015年6月，复旦大学举行庆贺夏道行先生八五华诞学术研讨会。鉴于夏先生的许多数学工作源于1957-1958年对莫斯科大学的那次访学。本刊特约夏先生撰写了这篇回忆文字。这是一个年轻中国数学家攀登当代数学高峰的故事，也是1950年代我国现代数学研究谋求快速进步的珍贵史料。

1957年8月，我受教育部派遣去莫斯科大学访问进修。那时的莫斯科是世界数学中心之一，大师云集。我所仰望的柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov）、亚历山德罗夫（P.S.Alexandrov）、盖尔范德（I.M.Geffand）等大数学家，都在莫斯科。在为期两年的访学过程中，自然希望有机会见到他们，和他们接触，接受他们的指导。

为了落实访学计划，我请当时在莫斯科大学做研究生的孙永生带我去见函数论教研组主任梅尼绍夫（D.E.Men'shov）院士。他征求我的意见，我表示想请盖尔范德（当时是苏联科学院通讯院士，后当选为院士）做指导。但他说盖尔范德是属于科学院系统的，莫斯科大学只能请盖尔范德的大弟子希洛夫（G.E.Shilov）教授来指导。不过，孙永生告诉我，盖尔范德在莫斯科大学每周一晚上（7：00-10：00）有一个3小时的讨论班，不妨直接去找他。这是个好主意。于是我带上已经发表的10多篇论文抽印本，直接到讨论班上去面见盖尔范德。我当时的俄语程度只能够没有困难地阅读俄文的数学文献。依靠仅仅不脱产地学过两个月的生活俄语，事实上无法用俄语进行学术交流。所以我和盖尔范德交谈时还是用英语。当时他曾大致翻看了我的一些论文抽印本。大概由于我当时的论文大多是关于单叶函数论的，所以他说会请别的教授看一下，下周再给我答复。第二周，他对我说：“你有几篇论文很有意思，我接受你。”我猜就是我解决了戈鲁辛（G.M.Goluzin）两个猜想的那几篇。

盖尔范德的讨论班叫“泛函分析和数学物理”。他经常说，泛函分析+数学物理=全部数学。事实上，在我参加讨论班的一年半期间，严格意义下的泛函分析或数学物理是很少的。例如，盖尔范德认为，代数几何与多变量的广义函数有关（当时正在开展广义函数论的研究），于是就有一个代数几何的教授连续五六次报告他的研究成果。这一著名的讨论班通常有五六十人参加，其中10-20人是好多个大学的教授，其余是各大学的研究生和少数高年级学生。通常，我每周最多只有三四分钟用英语和他讨论数学。

为了提高对“数学俄语”的理解能力，在开始几个月我常去旁听大学生的基础课，以期“用数学来理解俄语”。我也系统地听过几门研究生的课，如“群表示论”等。去莫斯科前，除有比较坚实的实分析和复分析的基础和复变函数论的研究经验外，我还掌握了泛函分析的基础知识，以及赋范环论、广义函数论、李群理论和随机过程理论——例如杜布（J.L.Doob）的《随机过程》（Stochastic Processes）——等内容。不过，还未曾有过泛函分析的研究经验。

大约在我参加讨论班的三周后，盖尔范德提出要和我合作研究正定偶广义函数。他不仅提出问题，并且还提出了研究方法，即用获得1952年斯大林奖金的梅尔格良（S.Mergelyan）的一个逼近定理进行处理。我在国内时已经知道一些复逼近理论，但我查遍了梅尔格良的工作，也没有找到盖尔范德所要的那个定理。于是，我用了另外的方法（整函数的分解和正泛函的延拓）解决了盖尔范德提出的问题。当我把初稿交给盖尔范德的时候，一开始他不大相信。隔了一周，他对我说：“我已经打过电话问过梅尔格良，证实你说的不错。”这篇文章他和我联名发表在《数学科学成就》（Usp MatNauk）上：其中的结果同时也收入了盖尔范德和希洛夫合写的《广义函数论（I）》一书。

那时，有关如何将赋范环论推广到拓扑线性代数上的研究在国际上很是热闹。我于是把赋范环论中的正泛函表示定理推广到相当一般的代数上，写了《代数上的正泛函》一文，交给了盖尔范德。他看了很感兴趣。特别是他说，文章中有“二次量子化”的思想。然而，当时我对“一次量子化”（即量子力学）都还没有学过，哪里会有“二次量子化”（量子场论）的思想呢？盖尔范德给出这样的评论，使我感受到一位数学大家的广博与深邃，内心的震撼是无法用语言形容的。确实，盖尔范德对我的这一结果相当重视，不但推荐发表，而且建议到莫斯科数学会去报告。由于我当时的俄语还不行，他说由他替我去演讲。他报告那天，我也去听了。我注意到他在替我报告时所讲的内容，其认识高度已远远超出了我当时做这个问题时的思想。

有一天，盖尔范德对我说：“海森伯出版了一本书《非线性场论》，我想和你合作研究其中有关的问题；但是，你要先读懂量子场论。”于是，我花了几个月的时间读了狭义相对论、量子力学和量子场论。等我读好后告诉他，他又说，现在发现海森伯的这本书是错的，因此这个共同研究的计划取消。但是，我因此读了量子力学和量子场论，对我后来的研究极有帮助。

以上这些都发生在我去后的第一学期。后来我经过较长时间的研究，写出了《具对合的可列赋范代数》一文交给盖尔范德，他也推荐发表了。

当时盖尔范德刚刚发表了他的广义随机场论。于是他组织了由他的助手、研究生和我组成的一个小的讨论班，内容为无限维积分。这个讨论班每周举行一次，坚持了大半个学期。因为人数不超过10人，和盖尔范德讨论的机会就多了一些。在这个讨论班上他曾经说起：“简直无法想象夏的关于正泛函的连续性的证明是怎么想出来的。”事实上，我自己也不知道是怎么想出来的。我只能说，这个证明的技巧性相当强，是经过一周的时间，换了几个方法才做出来的。这可能得益于我在大学时代坚持做数学难题，例如古尔萨（E.J.-B.Goursat）的《数学分析》（Mathematical Analysis）一书中的习题，以及组织数学竞赛时接触过的一些数学技巧。随着这一小讨论班的进行，我已开始进行无限维测度的研究，背景涉及广义随机过程、量子力学和量子场论中的连续积分，但一直到小讨论班结束，还没能取得像样的结果。回国之后，这个小讨论班对我的影响就显示出来了。

首先，我根据盖尔范德提出的拟不变测度概念，写了一系列关于拟不变测度的抽象调和分析、随机过程（包括广义随机过程）、量子场论（主要是自由场）的论文，最后总结在我的专著《无限维空间上的测度和积分》中。

这一讨论班上的第二个结果，是完成了量子力学的《与不定度规有关的散射问题》论文，后来成为我和严绍宗合著的《线性算子谱理论II不定度规空间上的算子理论》中第五章第1节的内容。此外，在1979年，我还发表了用无限维空间上的测度和积分做出的量子场论中的流代数的表示的论文。

第三，1970年代我在和杨振宁等人合作过程中受到启发，写了一篇量子化的论文，其中用到连续积分（费恩曼积分）。这也是在莫斯科时期那个小讨论班上学到的。更重要的是在和杨振宁合作时，我和严绍宗发表了几篇关于杨一米尔斯场的论文。所有这些数学物理方面的工作使我应邀成为第三、第四届国际数学物理大会的顾问委员，并在这两次大会上各作了45分钟的报告。

我回国后，还发表了一系列关于具有有限维负子空间的条件正定泛函表示（一部分与吴卓人、张文泉合作），其来源也出自盖尔范德的建议。这些结果成为我和严绍宗合著的《线性算子谱理论II不定度规空间上的算子理论》第五章第2节的内容。

第一年的访学很快就过去了。盖尔范德对我的工作给予了肯定。1958年夏，陈建功教授在参加全苏函数论会议期间会见盖尔范德，由石钟慈做翻译。2013年，浙江师范大学成立“陈建功高等研究院”。石钟慈在成立仪式上的演讲中提到，当时盖尔范德曾对陈先生说过“感谢您送来了您的好学生夏道行”。我希望这是对年轻的中国数学家群体的肯定。对我来说，能在世界一流数学大家的指导下进行深度合作，进入数学研究的国际前沿，那是一种幸运。

到了1958年9月，盖尔范德提出要和我合作研究关于多维空间上量子力学的拟经典近似问题。经过大约3个月的工作，其间同盖尔范德讨论过两三次，我们提出了与场的渐近性质有关的一种指标。正当进展顺利之时，我突然奉召提前半年回国。于是我急忙把结果写成论文，交给了盖尔范德，希望他提交给有关杂志发表。1958年12月，我匆忙回到北京。在向教育部报到时，一位接待我的女同志觉得很奇怪，对我说：“我们已经通知了驻莫斯科大使馆。叫您不要回来。”前后矛盾的两个说法使我感到十分惊诧和无奈。既然已经回来，当然不可能再回莫斯科去。更糟糕的是，后来我与盖尔范德不能进行联系，那个有关“指标”的论文当然也就没能发表。后来知道，由马斯洛夫（V.P.Maslov）首先发表、又经过多人研究，被数学界誉为马斯洛夫指标的工作，就是我们已经获得的那个结果。就这样，一次“阴差阳错”断送了一次深度的学术合作。我们白白丢掉了一个十分重要的成果。盖尔范德对此也非常遗憾。1990年代他在美国多次向人提起这件事，而且戏剧性地说，当时我们两人讨论这个工作时，马斯洛夫就在不远的旁边。不过。我觉得马斯洛夫只是那个有五六十人参加的大讨论班的成员，我们少有机会能凑在一起。

我和盖尔范德于1993年在美国重逢。1994年，我曾邀请盖尔范德来范德比尔特（vanderbilt）大学主持尚克斯（Shanks）讲座。他在讲座报告中说：“在1937-1940年间，我一直想建立无限维空间上线性算子的类似于若尔当分解那样的理论，但未能成功；然而在这一努力中，我建立起赋范环论。”我把这段话写入我最近出版的专著《次正常算子的解析理论》中。事实上，在最近的三十年中，我也是沿着寻找算子的无限维若尔当分解这个方向努力着。

盖尔范德在2009年去世。1994年分别后，我和他再没有重逢，我对他永远怀着深切的感激之情。可以这样说，假如说我在泛函分析和数学物理方面有点成就的话，在某种程度上都是拜盖尔范德所赐。盖尔范德对我的特别爱护和帮助，是许多人都知道的。记得1984年秋季，俄亥俄大学的米佳金（B.Mityagin）教授（盖尔范德的学生，我在莫斯科时最要好的朋友之一）邀请我去工作一个学季。他在数学系组织的欢迎我的聚会上，曾说“夏是盖尔范德的学生中唯一没有被盖尔范德骂过的”。

在莫斯科大学一年零五个月的访问，已经过去了57个年头。回想起来，尽管有过那个“阴差阳错”的遗憾，但那段时间肯定是我一生中最美好的流金岁月。讨论班的国际先进水平，盖尔范德高瞻远瞩的指导，以及与他的愉快合作，影响着我的整个学术人生。

无论时间怎样流逝，莫斯科永远留在我的美好记忆之中。