浅议两个“假设”

徐永红

[摘 要]反证法与数学归纳法都用到了“假设”，认清两个“假设”的内涵，有助于对两个方法的理解以及应用.

[关键词]反证假设 归纳假设 推理论证

反证法与数学归纳法是用得较少的两种推理论证的方法.反证法常常用于直接证明有困难的问题，而与正整数有关的问题可考虑用数学归纳法.由于两者的特殊性，特别是两种证法都用到了“假设”，两者之间会产生相互干扰，一些学生难以把握，甚至会提出“两个‘假设怎么区别”“它们是假的吗”等问题.下面笔者就此谈一点粗浅之见.（下称两种“假设”分别为“反证假设”和“归纳假设”）

一、反证假设

应用反证法时，首先提出与待证命题的结论相反的判断，即“假设命题的结论不成立”，由此产生一个新命题（待证命题的否命题），并将该新命题应用于后续的推理中.

【命题1】如上图，若⊙O1与⊙O2外切于点T， 则连心线过切点T.

证明（反证法）：

假设O1O2不过点T.（新命题：⊙O1、 ⊙O2外切于点T，则连心线不过切点T），分别连接O1T、O2T，则在 △TO1O2中，|O1T-O2T|则⊙O1与⊙O2相交，这与⊙O1与⊙O2外切矛盾，因此假设不成立，

所以，连心线过切点.

【命题2】（假命题）如果a>b>0，那么a≤b.

证明（反证法）：

假设a>b，（新命题：如果a>b>0，那么a>b）.

∵a>0，∴a>0，

又∵a>b，∴aa>ba.

同理，ab>bb.

∴aa>bb，即a>b，不可能产生矛盾，

∴原命题为假命题.

应用反证法时，必须产生矛盾，该方法才有效.需要指出的是，在推理过程中未出现任何差错的前提下，才能将矛盾“归罪”于“假设”，否则矛盾可能是推理时出错造成的.事实上，由“假设”产生的新命题若是假命题，把它应用于正确推理中必然要出问题，即推出矛盾;反之，由“假设”产生的新命题若是真命题，把它应用于正确推理中就推不出矛盾，上述命题2的证明就是这种情况.

二、归纳假设

应用数学归纳法时分为两步：第一步为归纳奠基.验证自然数n=n0时，命题成立;第二步为归纳递推.假设n=k时，命题成立，由此产生一个新命题，并将该新命题应用于后续的推理中.

【命题3】n∈N*，1+3+5+…+（2n-1）=n2.

证明（数学归纳法）：

（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立;

（2）假设当n=k时，等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k2.（新命题：k∈N*，1+3+5+…+（2k-1）=k2）

那么，当n=k+1时，有1+3+5+…+（2k-1）+[2（k+1）-1]=k2+（2k+1）=（k+1）2.

由（1）（2）可知，命题对n∈N*成立.

【命题4】（假命题）n∈N*，1+3+5+…+（2n-1）=n2+1.

证明（数学归纳法）：

（1）略;

（2）假设当n=k时等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k2+1.（新命题：k∈N*，1+3+5+…+（2k-1）=k2+1）

那么，当n=k+1时，有1+3+5+…+（2k-1）+[2（k+1）-1]=（k2+1）+（2k+1）=（k+1）2+1.

则当n=k+1时，等式成立.至此也不能说明命题4的真假.

数学归纳法必须两步都完成后才有效.第一步验证一般比较简单，但不能没有，因为在第二步证明中要先作出假设来产生一个新命题，并应用于后续的推理中.若新命题是假命题，用它推出的结果则是错误的（命题4就是这种情况）.那么新命题在什么情况下为真呢？这就必须验证第一步.因为，若n=n0时，命题成立，则第二步假设n=k中的“k”至少有“n0”为保证.

综上所述，反证假设与归纳假设的相同之处是它们都产生一个新命题，并将它应用于后续的推理之中;不同之处是，若待证命题是真命题，反证假设产生假命题，而归纳假设产生真命题.