纯粹数学的兴起

胡作玄

理解任何一门学问，不仅应该知道它属于哪个领域，还要晓得它同这个领域其他学科有什么不同。以数学而论，它被公认是门科学，可是它和典型的自然科学——物理学是否一回事呢？其实，这是个哲学问题，有不同观点是很自然的。19世纪很多数学家认为数学和物理没什么区别，甚至到20世纪，许多大数学家，例如荣获菲尔兹奖和沃尔夫数学奖的小平邦彦以及今年（2015年）获得数学最高奖阿贝尔奖的尼伦伯格（L_Nirenberg，1925-）都是这么想的。但是，许多数学家认为两者有很大差别，不妨举出其中三点。

（1）物理研究的是客观的物质世界，数学研究的是人想出来的理念世界。

（2）物理的真理是靠观察、实验来检验，有一定的局限性（误差），而数学的真理带有“绝对”的性质。举一个简单的例子：圆周率盯的小数点后第100位、第1000位乃至任何一位都是唯一的数码：而物理中的普适常数——光速或普朗克常量，无论用什么单位，不用说100位靠不住，第50位、第30位是否能准确达到还很难说。

（3）从方法上讲，数学全靠拍脑袋，而物理学要靠实验，正因为如此，牛顿以后的物理学形成三大分支：理论物理、实验物理、数学物理。数学只有在极其个别的情形才有人提到理论数学、实验数学（不少人做过掷硬币的试验）。不过在自然科学几乎没人谈起的纯物理、纯化学，却有数学的对应物——纯粹数学。

纯粹数学的出现

纯粹数学一词正式出现在数学文献中是在19世纪初，当时有三种专业数学期刊正式标有纯粹数学的字样，它们是：1810年法国数学家热尔戈纳（J.D.Gergonne，1771-1859）创办的《纯粹与应用数学年刊》；1826年德国数学家克雷勒（A.L.Crelle，1780-1855）创办的《纯粹与应用数学杂志》，常简称为《克雷勒杂志》；1836年法国数学家刘维尔（J.Liouville，1809-1882）创办的、与《克雷勒杂志》竞争的《纯粹与应用数学杂志》。

这三种数学期刊不约而同地选用“纯粹数学”的称谓表明：纯粹数学的概念已经成熟；纯粹数学是应用数学的对立面；纯粹数学取得一定的合法地位，为其不断扩张打下基础。

请注意，这些都是与当时整个社会的革命形势分不开的，具体到数学，数学家开始职业化、专业化，他们不仅要教学，还要搞科研，搞科研就要有专业杂志发表成果，没有成果不用说提职提级，可能连饭碗都保不住。200年来，纯粹数学的旗帜为许多天才数学家的创新提供了机会。在这个意义下，挪威人阿贝尔（N.H.Abel，1802-1829）可以说是第一位纯粹数学家。时至今日，纯粹数学已经成为整个数学的主流。

是什么使人人都懂、人人都会的基础数学变成很少人才能理解的纯粹数学呢？答案是微积分。

从初等数学到高等数学

微积分是17世纪末由英国科学家牛顿（I.Newton，1643-1727）和德国科学家莱布尼茨（G.W.Leib-niz.1646-1716）独立发明的。我们习惯于把之前的数学称为初等数学，而把微积分及其后的发展特别是微分方程（包括常微分方程及方程组，偏微分方程及方程组，变分法等）称为高等数学。为了保持历史连贯性，不妨把初等数学归纳为十大学科：

（1）算术，

（2）数值代数；

它们可称为中国的算学。

（3）几何，

（4）三角；

它们可称为希腊的几何。

下面六个学科则是17世纪的产物，这里把每个学科的创立者列在其后。

（5）符号代数：韦达（F.Viete，1540-1603）；

（6）初等数论：费马（P.de Fermat，16017-1665）；

（7）解析几何：笛卡儿（R.Descartes，1596-1650）与费马：

（8）射影几何：德萨格（G.Desargues，1591-1661）与帕斯卡（B.Pascal，1623-1662）；

（9）初等概率演算：帕斯卡与费马；

（10）初等组合学：帕斯卡。

初等数学的主要特色是它构成基础教育的重要组成部分，它是面向大众的，虽说有些部分对一些人有一定难度，但多数人还是能够理解，就像炒股的大妈也懂得股票的涨落图表示什么意思一样。与之对立，高等数学可就高得多了。首先是学起来很难，尽管微积分经过300年的简化和普及，大多数高中生还是不易搞明白。更重要的是，微积分可能解决的问题不是初等数学方法所能应付的。

微积分的伟业

微积分、微分方程及其后来的发展可以说成果累累、战绩辉煌。一句话，它推动了科学革命。具体讲，它建立了各门学科体系，解决大量的实际问题。它的威力显示在下面的程式上：

建立物理模型一依据物理定律或假说提出数学模型（主要是微分方程）一求解方程一结果与实际情形的比对。

无论哪一门学科，最惊人的成就在于不仅能够圆满解释已发现的现象，更能预见或预言前所未知的事实。举三个例子来说明靠求解微分方程得出的重大预言。

海王星的发现

世界各地很早就都知道地球之外的五大行星：水、金、火、木、土，而第七大行星天王星和第八大行星海王星是靠完全不同方法发现。天王星是赫歇尔（w.Hershel，1738-1822）在1781年发现的，他靠的是改进望远镜进行巡天普查。海王星的情况则是先用数学算出其大致在某时刻出没的区域，再用望远镜看到的。

电磁波的预言

19世纪最伟大的科学成就无疑是电磁学。由于麦克斯韦（J.C.Maxwell，1831-1879）归结为十个方程的麦克斯韦方程组，求解方程得出电磁波的预言，其成果之伟大是怎么说也不过分的。它是科学中完美的三结合：法拉第（M.Faraday，1791-1867）的实验，麦克斯韦的理论思维，以及数学的求解。

数值天气预报

天气预报根据的是极其复杂的偏微分方程组。即使经过明显的简化也很难求出精确解（也就是能预报出某时某刻在你家门口能见到“东边日出西边雨”的景象）。对此，数学家会去求近似解、数值解。1922年数学家已找到近似方法，但预报明天的天气得等到后天之后。电子计算机问世之后，第一件普惠的事业就是在1954年实现短期天气预报。

上面三个例子显示出数学的超前预测能力，当然也有“事后诸葛亮”的情形。1834年，一位叫拉塞尔（J.S.Russell.1808-1882）的英国土木工程师，在一条水道上看到“孤立波”的现象，他称之为“平移波”（translation wave）。他求教于一些大科学家如斯托克斯（G.Stokes，1819-1903），也没能得到很好的解释。1894年，两位荷兰数学家提出浅水波方程，即著名的KdV方程。这方程高度非线性.没人会解。一直到1966年，一组美国数学家居然成功地得出该方程的精确解，该解被称为孤立子（solitons）。它不仅成功解释拉塞尔发现的平移波现象，而且带动一套数理方程的求解，还发现方程和解与纯粹数学（代数几何）的关联。

微积分（以及微分方程）带来众多重要成果，但它也不是十全十美的。它至少有三方面不足之处，而正是这些不足之处引导纯粹数学的产生与发展。

微积分的三方面不足之处

微积分（和微分方程）威力如此之大，它还有什么不足之处呢？

微分方程难于求解

如前所述，一门学科中得出微分方程是关键一步，然而要取得具体结果就要求解方程。但这是极为困难的事。这时出现两种不同的态度：科学家采用近似方法、数值方法等力求得出具体的结果——这可以说是应用数学的倾向；同时也有少数数学家坚持求精确解的观点，虽然暂时办不到，但他们去研究方程与解的关系，如果有解应该有什么性质，解的存在性、唯一性、正则性等等。正是这些研究导致纯粹数学的产生与发展。越来越多的成果也使得从牛顿时代以来就难解的问题取得突出的进步。牛顿解决了二体问题，但“三体问题”（如太阳、地球、月亮之间的相对位置和速度）一直是大难题，在18世纪靠近似方法解决一些特殊情形。纯粹数学家有足够耐心进行各种理论探讨，建立起微分方程定性理论乃至拓扑学这样的大理论，其应用远远超出狭窄具体问题的范围。20世纪，对付难解的非线性方程也取得重大进展。因《美丽心灵》而扬名天下的纳什（J.F.Nash，1928-2015）不仅在博弈论方面为人所知，而且在非线性分析中取得突出进展，与尼伦伯格一起荣获2015年阿贝尔奖。正是由于这些纯粹数学家的工作，数学保持它那“精密科学”的盛名。

微积分不严格

微积分之前的初等数学，没有人怀疑它们的可靠性。初等数学的可靠性有两个标杆：一个是正整数与正分数的运算，另一个是欧几里得几何。后一个比较复杂，先谈第一个，为了严密可靠，这里的运算先不考虑减法，只谈加法、乘法和除法，为了保证运算的确定性、严密性、可靠性、存在性、唯一性等，设置了三个禁区：（1）计算的对象只是正整数和正分数；（2）只进行有限次运算；（3）如果把O也“定义”为正整数，那么0不可以做除数，0/0无意义。

可是牛顿和莱布尼茨发明微积分时，都跨过禁区的红线，最突出的是引入所谓“无穷小量”。本来无理数的引入就产生麻烦，何况这个莫名其妙的无穷小量呢？可是没有它又不行，微分即无穷小量，导数就是无穷小量相除，而积分则是无穷多个无穷小量的和。正因为如此，微积分最早被称为“无穷小演算”。牛顿的术语有所不同，但本质上没什么差别。难怪他们两位打一场“哲学家的战争”。整个18世纪，有些人大胆使用，并取得丰硕成果，也有人表示怀疑大加批判。这使得数学家处于两难困境：微积分应用巨大成功与计算过程完全不可靠。

19世纪的纯粹数学家开始打扫战场，为原来不允许的运算立下规矩，首先是无穷级数的收敛与发散问题。正是阿贝尔首先认真谈到这个问题并率先给出收敛性判据（准则），其后出现几十个判据。很少人想到。为什么难懂的微积分17世纪就有了，而容易懂的无穷级数的收敛与发散到19世纪才出现，其实这正是19世纪纯粹数学要把不严格的微积分严格化的第一步。其后，法国数学家柯西（A.L.Cauchy，1789-1857）把模糊的无穷小概念从微积分中清除出去，最后，德国数学家魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815-1897）完全清除掉微积分中几何直观的痕迹，他构造出处处连续、处处不可微的函数（对应一条连续曲线处处没有切线），他把微积分完全建立在严格基础上，保留数学可靠性的特色。

微积分缺少完美的理论体系

微积分与过去整数、分数的代数运算完全不同，涉及许多全新的概念，这些概念一直模糊不清，更不用说完美的理论体系了。这些概念包括实数、函数、极限、连续、导数、微分、不定积分、定积分、可微、解析、偏导数等等。经过18世纪特别是19世纪一些大数学家的努力，微积分及其后微分方程逐步建成一个严格的理论体系，其中最核心的是函数论，不仅有建立在实数理论上的实变函数论，而且出现了复变函数论，它们连同微分方程的各种理论形成了分析数学这个庞大的纯粹数学领域。到20世纪中，分析数学一直是数学的主流，它一直显示数学的两大本质特征：内涵的丰富性与应用的广泛性，其应用也不仅限于自然科学，还进入像经济学这类学科。

结语

微积分经过200年的发展，纯粹数学经过100年的发展，到19世纪末，数学的面貌已经产生巨大的变化，就连对纯粹数学的看法也有戏剧性的改变。《克雷勒杂志》仍是权威的数学杂志（2015年已出到第700卷），只是应用数学那部分名不符实，因此有人把刊名中的d去掉，戏称之为“纯粹无用数学杂志”（Journal fur die reine unangewandte Mathematik）。它不仅不考虑实际应用，而且清除掉初等数学的内容，变得高不可攀。纯粹数学与应用数学只有对立，没有统一。今天的数学已成为纯粹数学的一统天下，“纯粹”的帽子已经很少有人提起了。

纯粹数学的作用，通过从18世纪末和19世纪末的对比，就可以看得十分清楚。18世纪末，所有大数学家都有共识：数学思想已差不多穷尽，几十年内数学停滞不前，剩不下三位大数学家。有人甚至说，数学地位同阿拉伯语差不多，而这正是基础教育课的特色。实际上，所有基础教育无非是语文和初等数学，它们都是老一套，不会有太多新意。没想到从19世纪初起，关于数学的看法都被证明大错特错。正是纯粹数学把数学提高到一个博大精深的科研领域，就像物理、化学、生物学、医学等一样，之所以取得这样成果，源于下面三个方面取得突破。

（1）在少量初等对象（如数、三角形、圆等）之外，提出大量人工研究对象，例如函数、极限等，并构作其理论（如代数方程论、微分方程论等）。

（2）提出大量难易不等的问题。问题是任何学科的生命，过去初等数学只有一些平凡无聊的问题，也有一些极难问题，如费马大定理和哥德巴赫猜想等，直到很晚才解决或至今未解决。

（3）方法上的突破。微积分和微分方程成为研究几何的有力工具（微分几何），复分析推动解析数论大进步。

正因为如此。19世纪数学著作的体量是1800年以前全部数学著作的10倍，并形成数论、代数、几何、分析四大分支。