浅谈极限在《数学分析》课程中的作用

朱小飞

摘 要：该文首先介绍极限定义的形成，发展和完善，在了解极限定义的基础上来进一步理解极限理论，极限理论是微积分的基础，其次主要介绍了极限在连续定义、导数定义、积分定义等方面的应用。

关键词：极限 数学分析 作用 课程

中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）03（a）-0249-02

Analyze the Role of the Limit in "Mathematical Analysis" Course

Zhu Xiaofei

（Anhui Vocational College of Urban Management，Hefei Anhui，231631，China）

Abstract：This paper introduces the definition limits the formation， development and improvement in the understanding of the limits defined by the ground up to further understand the theoretical limit，limit theory is the basis of calculus，secondly introduces the ultimate in a row Definition，；Curriculum the definition of derivative，integral definition and other applications.

Key Words：Limit；Mathematical Analysis；Role；Curriculum

极限思想极其重要，在研究数学、应用数学、推动数学发展上，它是一个很有力的工具。近年来，很多数学家都围绕着它展开各种各样的研究，因为极限理论是数学问题的基础。数学中很大一部分内容都是在极限理论的基础上建立起来的，随着极限理论的建立，应用数学也就随之发展起来了。极限理论越趋于成熟完善，数学研究也就随之越来越深入。

极限理论是微积分的基础，微积分又是《数学分析》中的重要内容，所以也就可以说极限理论贯穿着整个《数学分析》，是其基础理论。该理论在《数学分析》中几乎处处可见，有着广泛的应用，小到一个定义，大到一个定理的证明。本文通过列举《数学分析》中的一些概念、性质和定理来说明该理论在《数学分析》中的重要作用。

1 极限理论的形成、发展和完善

19世纪大数学家柯西通过变量方法给出了极限定义[1]。这一变量极限概念的提出，在是数学史上是一重大创新。除此之外，无穷小被定义为极限为零的变量也是由柯西提出来的，进而给出了极限与无穷小之间的关系。柯西为极限概念的提出做出了大量工作，但只是为极限精确的定义的提出做出了一些基础性的工作，因为他所做的这些工作还有待进一步完善，使得极限定义更加严格、精确。

在柯西给出的极限的定义基础上，德国数学家维尔斯特拉斯在1856年给出了极限严格的概念，即现今广泛采用的ε-δ极限定义[2]：

（1）ε-N的数列极限定义：设有数列与常数，若对于任意给定的正数则称为数列的极限。

（2）ε-δ的函数极限定义：设函数在点的某去心领域内有定义，若对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当0δ时，都有ε，则称常数为当时的极限。

2 极限理论在《数学分析》中的重要作用

2.1 连续定义的应用

（1）设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点连续[2]。

例1：证明函数在点=0连续。

证：因为

所以函数点=0处连续。

（2）设函数在点的右（左）领域内有定义，若，

则称函数在点右（左）连续[2]。

注：函数在点连续的充要条件是：在点既是右连续，又是左连续。

例2：讨论函数

在的连续性。

解：因为 ，

，

而=1.所以函数在右连续，但不左连续，从而它在不连续。

从上面简单的介绍中，我们可以看出，连续函数就是利用极限来定义的，并且在连续函数的应用中，极限理论是始终贯穿其中的。由此可见，极限理论是连续函数部分的基础内容，在连续函数的应用中有着重要的作用。

2.2 导数定义的应用

（1）设函数在点的某邻域内有定义，若极限，存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作.若极限不存在，则称在点处不可导[2]。

也可令

，

例3：求函数=在点处的导数。

解：由定义求得

=

（2）设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限=，存在，则称该极限值为在点的右导数，记作[3]。

类似地，定义左导数=。

注：若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是与都存在，且=。

例4：设=

讨论在处的左、右导数与导数。

解：

=，

=

因为，所以

（3）若函数在区间上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称为上的可导函数[2]，记作或，即

=

例5：证明。

证明：

由上述可得，导数定义中所用到的基础知识就是极限的定义，根据极限的定义，我们得出了导数的一系列性质和定理。所以，极限是导数部分必不可少的理论知识。

3.3 积分定义的应用

（1）若设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要‖T‖δ，就有，就称函数在区间上可积或黎曼可积，数称为在上的定积分或黎曼积分[3]，记作=。其中T或，=，，‖T‖，，称为积分和或黎曼和.（）。

因为将定积分定义的ε-δ说法和函数极限的ε-δ说法相对照，发现有相似的陈述方式，所以也常用极限符号来表达定积分，即==。

例6：利用定积分求极限：

解：把此极限化为某个积分和的极限式，并转化为计算定积分为此作如下变形

=

不难看出其中的和式是函数在区间上的一个积分和（这里所取的是等分分割，）.所以

=.

（2）定积分的有关性质都是利用极限定义的方法求证的如：

例7：若在上可积，为常数，则kf在上也可积，且

[3]

证明：由于存在，故有

所以

在上面的论述过程我们可以发现，极限理论在积分的定义、性质和定理中都起着极为重要的作用。

3 结语

该文从极限定义的形成、发展和完善出发，首先叙述了极限的定义，在了解极限定义的基础上，讲述了极限理论在《数学分析》中的广泛应用。该文就通过列举一些与极限相关的具体定义和定理来说明极限理论在《数学分析》中的重要作用。如连续定义、导数定义、积分定义的应用。

参考文献

[1] 吴振英，陈湛本.论极限的思想方法[J].广州大学学报：自然科学版，2003，5（2）：11-18.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析（上册）（下册）[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（上册）（下册）[M].3版.北京：高等教育出版社，1992.