浅析排列组合中的三类问题

董新青

摘 要：排列、组合问题的背景丰富，情景陌生，题型多彩，变化万千，方法多样，似乎无特定的模式和规律可循，学生学习起来，大多无从下手，难度很大。本文从万千题型中，归纳总结出三类问题，这三类问题，虽远不能涵盖所有的排列组合问题，但掌握了它，通过“举一反三”，对于学好排列组合问题将大有裨益。

关键词：合并；取法数；模型

1 涂色问题

涂色问题是排列、组合问题中的一类，也是近年来高考的热点，下面就几例高考题浅谈一下这类题型的解法。

例1 将3种农作物种植在如下图的5块试验田里，每块种植一种农作物且相邻的试验田不能种植同一农作物，不同的种植方法共有多少种。

解： 第一步，根据题目要求，将5块[A＼&B＼&C＼&D＼&E＼&]试验田合并为3块，有如下7种方法：

①（A、C）、（B、D）、E；②（A、C）、（B、E）、D；③（A、D）、（B、E）、C； ④（A、D）、（C、E）、B；⑤ （A、E）、（B、D）、C；⑥ （B、D）、（C、E）、A；⑦ （A、C、E）、B、D

第二步，将3种农作物种在如上 “3块”试验田里，有种方法。

根据乘法原理，故不同的种植方法种数为：7A=42。

例2 如图，一地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色。现有4种颜色供选择，则不同的着色方法共有多少种。

解：本题有二类涂法。

第一类：用3种颜色涂。

第一步，将5个区域合并为3个区域，只有一种方法：（2、4）、（3、5）、1；

第二步，选3种颜色，共有C种方法；

第三步涂色，3种颜色涂在3个区域，共有A种方法；由乘法原理，不同的着色方法种数为：C·A=24

第二类：用4种颜色涂。

第一步，将5个区域合并为4个区域，只有2种方法：（2、4）、1、3、5，（3、5）、1、2、4；

第二步，用4种颜色为“4个区域”涂色，共有A种方法，由乘法原理，不同的涂色方法种数为：2A=48。

综上，涂法总数为：24+48=72。

由上例可知，求解涂色问题，先要根据题意，理清完成涂色任务至少需要几种颜色，然后按所需颜色种数进行分类。解每一类，根据题意把所有区域合并，其合并数为所用颜色数，然后进行涂色（排列），得出这一类的不同涂色种数。最后由加法原理得出涂法总数。

2 分组问题

分组问题是排列组合问题中较为重要的一个问题，它是解决某些分配问题的基础，要求学生必须掌握。

例1 4个不同的小球，放入编号为1、2、3、4的4个盒子里，恰有一个空盒的放法共有多少种

解：依题意，4个不同的小球放入3个盒子里，必有一个盒子有2球，其余2个盒子各一球。第一步，4个小球分为3组，共有种方法，第二步，从4个盒子中取3个，共有C种方法；第三步，3组小球放入3个盒子里，共有A种放法。因而不同的放法总数为：CA=144种。

例2 6本不同的书分给4个人，每人至少一本，共有多少不同的分法。

解：依题意，有两类分法，一类为：一人2本，一人2本，一人1本，一人1本；另一类为：一人3本，其余3人各1本。

第一类：第一步，将6本书按上述要求分成4组，共有种方法；第二步，将4组书分给4个人，共有A种方法。故不同的分法种数为：A=1080种。

第二类：第一步，将6本书按上述要求分成4组，共有种分法；第二步，将4组书分给4个人，共有A种分法。故不同的分法种数为A=480种。

综上，不同的分法总数为：1080+480=1560种。

解决分配问题的原则是：先分组后分配（排列），因而，掌握分组的规律至关重要。

3 相同元素的分配问题——隔板法

排列、组合针对的是不同元素的分配问题，因而，有些相同元素的分配问题不能直接利用排列、组合求解。它的解法比较特殊，需要我们建立合适的数学模型。下面就几个具体实例说明这类题型的解法。

例1 12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的4个盒子里：①每个盒子至少一个小球的不同放法有多少种；②如果允许每盒可空，那么不同的放法有多少种；③如果要求每个盒子中的小球数不小于其编号数，则不同的放法有多少种？

解：①将这12个小球排成一排，则其中间产生11个空档；利用3个隔板放入小球之间，可将小球方分成4部分。因而，從11个空档中选出3个来放隔板，不同的放法，对应不同的分法。故分法种数为：C=165种。

②因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，插入法不再适应。现建立如下数学模型：将3个隔板（把球分成4部分，需3隔板）和12个球排成一排，共需15个位置，从这15个位置中任取3个放隔板（当然，其余位置放小球），不同的放法，对应不同的分法。（例：一排排列如又所示：000—00000——0000，则1盒放3个，2盒放5个，3盒放0个，4盒放4个）因而，小球不同的放法种数为：C=455种。

③解法一：用①的处理方法。

首先，4个盒子里分别放入0个、1个、2个、3个小球，则剩余6个小球，它们之间产生5个空档。然后，利用插入法，从5个空档中取3个放隔板，则共有不同的分法：C=10种。

解法二：用②的处理方法。

首先，每个盒子里放入与其编号数相同的小球，用去10个小球，还剩2个小球，此时允许每个盒子可空。2个小球与3个隔板排成一排，共需5个位置。然后，从5个位置中任取3个放隔板，则不同的分法共有：C=10种。

例2 某校高二有7个班，从中选择10人参加数学竞赛：①每班至少一人，共有多少不同的选法；②如果允许有的班无人参赛，共有多少不同的选法？

解：参赛的10人，在此题中为10个名额，它们是相同的元素。因而，需用隔板法来处理。

①10个名额之间产生9个空档，从中任取6个放隔板，可将10个名额分成7部分。则不同的选法数共有：C=C=84种。

②10个名额和6个隔板（把10个名额分成7部分只需6个隔板）排成一排，共占用16个位置，从中任取6个位置放隔板，则不同的选法数共有：C种。

参考文献：

[1]刘强主编.《轻巧夺冠》.

[2]高峰主编.《状元之路》.