初中数学的对称美与应用

张延杰

摘 要：对称，物体或图形在某种变换条件（例如绕直线的旋转、对于平面的反映，等等）下，其相同部分间有规律重复的现象，亦即在一定变换条件下的不变现象。在初中数学的几何知识中，主要有轴对称与中心对称，如果运用得好，解题有事半功倍的效果。像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

关键词：初中数学；对称美；教育

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）07-386-02

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.

一、轴对称

像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.

另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中.

例1，要在河边l修建一个水泵站，分别向A、B两村送水，水泵站应修建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？

分析：要解决这个问题，找出点A关于直线l的对称点 ，连结 交直线 于点P，则点P就是到A、B兩村庄的距离之和最短的点的位置。

由此可见，轴对称帮我们找到了符合要求的点的位置。

该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，触类旁通。

例2、实验探究：

下面设想用电脑模拟台球游戏，为简单起见，约定：

①每个球或球袋都视为一点，如不遇障碍，各球均沿直线前进；

②A球击中B球，意味着B球在A球前进的路线上，且B球被撞击后沿着A球原来的方向前进；

③球撞击桌边后的反弹角等于入射角，如图2，设桌面上只剩下白球A和6号球B，希望A球撞击桌边上C点后反弹，再击中B球。

（1）给出一个算法（在电脑程序设计中把解决问题的方法称为算法），告知电脑怎样找到点C，并求出C点坐标；

（2）设桌边RQ上有一球袋S（100，120），给出一个算法，判定6号球被从C点反弹出的白球撞击后，能否落入球袋S中（假定6号球被撞击后的速度足够大）。

解：（1）作A点关于x轴的对称点 ，连接

因为球撞击桌边后的反弹角等于入射角

则 与x轴的交点即为电脑所要找的C点

（2）因S（100，120）满足直线 的解析式 ，因此，可判定6号球被从C点反弹出的白球撞击后，能落入球袋S中。

二、中心对称

中心对称是指两个图形绕某一点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心。二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

中心对称广泛存在于几何问题中，巧妙利用好中心对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效途径，常能起到化繁为简，出奇制胜的效果。。

例3：如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长.

分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C两点关于O点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积.

用到的知识点：中心对称是指两个图形绕某一点旋转180°后，能够完全重合，这两个图形关于该点对称，该点称为对称中心。二者相辅相成，两图形成中心对称，必有对称中点，而点只有能使两个图形旋转180°后完全重合才称为对称中点。