基于近似惯性流形的非线性壁板热气动弹性响应降阶方法

康 伟，唐 杨，徐 敏，张家忠

（1.西北工业大学航天学院，西安 710072；2.西安交通大学能源与动力工程学院，西安 710049）

基于近似惯性流形的非线性壁板热气动弹性响应降阶方法

康 伟1，唐 杨1，徐 敏1，张家忠2

（1.西北工业大学航天学院，西安 710072；2.西安交通大学能源与动力工程学院，西安 710049）

基于近似惯性流形理论提出一种用于高温环境下的二维壁板热气动弹性响应分析的降阶方法。其主要思想是将壁板振动方程的解分解为高低阶模态之和，并利用近似惯性流形理论建立高低阶模态之间的耦合关系，用低阶模态来表示高阶模态的影响。通过与传统的伽辽金法比较，结果表明所提方法可以在不明显损失解的精度的前提下降低系统的自由度，提高计算效率。

非线性壁板；热气动弹性；近似惯性流形；降阶模型

壁板热气动弹性响应是指壁板结构在高速气流中，由于惯性力、弹性力、热载荷以及作用于壁板表面上的气动力之间耦合作用而产生的结构响应［1－2］。在超声速和高超声速飞行器高速飞行过程中，壁板热气动弹性振动［3－4］会减少壁板结构的疲劳寿命，甚至会给飞行器的飞行安全带来不利的影响。

在研究壁板热气动弹性问题时，通常采用传统伽辽金方法来求解壁板振动方程的解［5］。但是应用该方法得到的解的精度和计算效率往往得不到兼顾。理论上，只有待求函数选取无穷个模态时才能给出原方程的精确解。当待求函数的模态取得较少时，求得的解的精度达不到要求；当待求函数的模态取得较多时，数值模拟在运行过程中的运算量又会急剧增加，降低了计算效率，并造成误差累积。根据近似惯性流形理论［6－7］，耗散动力系统的解的高低阶分量间存在某种相互作用规律，即解的高阶分量可由其低阶分量表示出来。利用这个规律可以将原高维动力系统转化成有限维动力系统而并不改变系统原来的拓扑性质。

本文在壁板气动弹性耦合［8］的基础上，考虑了高温环境下壁板热气动弹性系统的降阶问题。建立非线性壁板在高温环境下的热气动弹性振动方程，并基于近似惯性流形理论，建立壁板热气动弹性系统高低阶模态之间的耦合作用。使用该降阶方法和传统的伽辽金方法，对二维壁板动力系统响应进行了比较，来验证所提降阶方法的有效性与准确性。

1 非线性壁板热气动弹性力学模型

考虑展向无限长的各向同性平板，其中壁板上表面流过超音速气流，且处于高温环境中［9－10］，如图1所示。

图1 壁板热气动弹性力学模型Fig 1 Aero-thermo-elasticmodel of panel system

式中：w为壁板的横向位移，Nx为面内载荷，Mx为弯矩，qa为气动力。

由Von Karman大变形理论可得非线性应变－位移关系为

根据Kirchhoff理论，壁板振动方程为

式中：T（x，z）为壁板表面的温度载荷，E，μ，αT分别为弹性模量，泊松比和热膨胀系数。

基于准定常的热应力公式，将温度考虑为均匀的温度场，即T（x，z）＝T。温度升高引起壁板材料的机械性能发生改变，这里将E和αT表示为：

式中：E0，α0为加热前材料的弹性模量和热膨胀系数；E1，α1为温度每升高一度材料的弹性模量和热膨胀系数的变化量。e＝E1／E0，α＝α1／α0。一般来说，材料的弹性模量随温度升高而下降，而热膨胀系数随温度升高而增大，因此有E1＜0，α1＞0。

则壁板所受载荷可以表示为

式中：ρ为壁板密度，h为壁板厚度，D＝Eh3／［12（1－μ2）］为弯曲刚度。

将式（6）代入式（1），可得壁板热气动弹性振动方程为

2 基于近似惯性流线的降阶方法

截取N个少量的模态（N＝2n，n为非零自然数）对壁板系统的动力学方程进行空间离散。视前n个分量为解的低阶模态，后n个分量为解的高阶模态。用Pn表示解空间的低阶模态投影算子，记ln为解在Pn下的投影，有

用Qn＝I－Pn表示解空间的高阶模态投影算子，记hn为解在Qn下的投影，有

式（17）和（18）可将壁板的横向位移表达为高低阶模态之和的形式：

显然，式（19）中如果只考虑低阶模态的影响，即为传统的伽辽金法。根据近似惯性流形理论［6，11］，在气动阻尼作用下，壁板横向位移的高阶模态相对于低阶模态会很快衰减掉，即高阶模态所对应幅值的各阶导数为零，则高阶模态满足：

该式给出了高低阶模态幅值间的相互关系。利用这个关系，就可以用低阶模态幅值直接求得高阶模态对应的幅值。由牛顿迭代法即可求得壁板横向位移对应的高阶模态系数。这样在相同的模态数下，所提的降阶方法避免了高自由度的数值积分过程的同时，保证了计算精度。

3 结果与分析

为了说明所提方法在壁板热气动弹性系统动力行为描述上的准确性，图2给出了模态数为8时利用TGM方法和AIM方法得到的λ＝160时以Rt（温差）为分岔参数的分岔图。从图中可以看到两种方法所得的分岔点吻合良好，系统都经历了稳定的平衡点、周期解（Hopf分岔）、倍周期分岔，最终进入混沌状态。这说明文中所提的AIM方法能够有效捕捉系统的非线性特征，准确描述系统的动力学行为。

图2 λ＝160时TGM方法和AIM方法得到的以Rt为分岔参数系统分岔图Fig.2Bifurcationdiagramoftransversedisplacement ofpanelusingTGMandAIMmethodsforλ＝160（Rtisbifurcationparameter）

图3给出了Rt＝2.53，λ＝50时不同模态数下x＝0.75处的壁板横向位移的时间历程。从图中可以看出壁板历经相似的衰减振荡后，最终收敛到相同的稳定的平衡位置。系统从初始的平衡位置＝0.0最终将被吸引到新的平衡位置＝0.5890，这时系统发生了屈曲现象。对比图3（a）和图3（b）可以看到不同模态数时，TGM方法与AIM方法都吻合良好，这说明文中所提方法能够达到传统方法的精度，准确地描述系统的瞬态和稳态行为。表1给出了Rt＝2.53，λ＝50时两种方法的CPU时间比较。当系统取较少模态数时，两种方法的计算量相差并不明显。AIM方法计算时间较TGM方法节省8.3250%。当系统模态数增加至16时，TGM方法耗时30.7188s，AIM方法相对TGM方法节省CPU计算时间9.0541%。

图3 Rt＝2.53，λ＝50时壁板系统x＝0.75处横向位移时间历程Fig.3 Time history of transverse displacement of panelat x＝0.75 for Rt＝2.53，λ＝50

图4给出了Rt＝3.0，λ＝200时不同模态数下x＝0.75处的壁板横向位移的时间历程。在Rt＝3.0，λ＝200时，系统的运动形式较图3中所示的系统行为更为复杂。这时，系统的平衡位置发生失稳，系统变为极限环运动，即颤振。对比图4（a）和图4（b）可以看到选取不同模态数时，TGM方法与AIM方法在系统的瞬态与稳态行为描述上都吻合良好。这时从表1中可以看出模态数分别取8和16下AIM方法较TGM方法分别节省CPU时间26.133 6%，40.273 7%。这说明所提方法能够在保证壁板热气动弹性方程解的精度的前提下有效降低系统的自由度。对于复杂的壁板热气动弹性动力学行为，AIM方法比TGM方法需要较少的计算时间，大幅提高计算效率。

比较壁板两种响应下的计算时间可以看出不同形式的壁板运动形式下，AIM方法减少分析耗费的效果差别较大。这是由于AIM方法的主要思路是通过近似惯性流形所构造的映射（即建立高低阶模态之间耦合作用关系），采用低阶模态迭代计算得到高阶模态的响应。对于壁板发生屈曲变形时，高阶模态快速耗散，系统最终收敛到新的平衡位置。这时，高低阶模态间的耦合相对较弱，采用近似惯性流形理论建立的迭代格式与直接数值积分（TGM方法）在计算效率上差别较小。当壁板发生颤振时，高阶模态与低阶模态发生耦合作用，采用近似惯性流形理论建立的迭代格式能够更好地描述这种耦合关系，因此迭代求解高阶模态响应的计算效率显著高于直接积分方法。而且，当模态数越大时，这种计算效率上的差异越明显。这说明了系统响应能够反映高低阶模态之间的耦合作用程度。当系统处于稳定的平衡位置时，高阶模态逐渐耗散，高低阶模态间的作用较弱。当系统处于周期运动时，高低阶模态耦合变得强烈，高阶模态参与到系统的响应中。

图4 壁板系统x＝0.75处横向位移时间历程Fig.4 Time history of transverse displacementof panel at x＝0.75 for Rt＝3.0，λ＝200

表1 不同情况下壁板热气动弹性动力系统的计算时间比较Tab.1 Com parison of CPU time for aero-thermo-elastic response of panel system

4 结 论

本文针对高温环境下非线性壁板热气动弹性系统，基于近似惯性流形理论建立壁板热气动弹性系统的降阶模型，并与传统的伽辽金方法对二维壁板系统响应进行了比较。研究结果表明AIM方法在相同的模态数下能够与TGM方法达到相同的计算精度，有效捕捉系统的非线性特征，准确描述系统的动力学行为。当系统发生屈曲时，AIM方法采用相同的16阶模态数时，较TGM方法有效提高了计算效率，计算时间减少了9.054 1%；当系统发生复杂的周期运动时，AIM方法在相同的16阶模态时较TGM方法节省CPU时间40.273 7%，表明AIM方法在不明显损失解的精度的前提下降低了系统的自由度，大幅提高了计算效率。

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Reduced order modeling for thermo-aero-elastic responses of a nonlinear panel in supersonic flow based on approximate inertialmanifolds

KANGWei1，TANG Yang1，XU Min1，ZHANG Jia-zhong2

（1.School of Astronautics，Northwestern Polytechnical University，Xi'an 710072，China；2.School of Energy and Power Engineering，Xi'an Jiaotong University，Xi'an 710049，China）

A method of reduced order modeling for thermo-aero-elastic response analysis of a nonlinear panel in supersonic flow was presented based on approximate inertialmanifolds.Itsmain idea was that the solution to the panel vibration equation was set as the sum of two groups including lowermodes and higher ones.The coupled relations between highermodes and lower oneswere established with the theory of the approximate inertialmanifolds，lowermodeswere used to express the effects of higher ones.Compared with the traditional Galerkin method，it was shown that the presented method can reduce DOFs of the system and improve computation efficiency without significant loss of the accuracy of the solution.

nonlinear panel；thermo-aero-elasticity；approximate inertialmanifolds；reduced ordermodels

O241

A

10.13465／j.cnki.jvs.2015.21.009

国家自然基金（11402212973）；国家重点基础研究计划（2012CB026002）；中央高校基本科研业务费专项资金资助（3102014JCQ01002）

2014－06－18 修改稿收到日期：2014－09－30

康伟男，博士，讲师，1983年3月生