几何画板在算法教学中的应用

金淑兰

摘要摘要：中学数学教学存在一些传统教学手段难以解决的知识难点，如多次计算、重复作图等，这些问题利用算法和程序设计则较易解决。考虑到目前中学数学教师编程能力较弱，且学生普遍难以接受编程学习，因此采用目前比较流行的几何画板的迭代功能来代替编程功能，既可将教师们从繁琐的重复劳动中解放出来，又有助于学生对算法的理解接受。教学实践表明，几何画板有助于降低难度，透视本质，创建模型，能提高学生的作图能力、解题能力、编程能力，全面提升学生的数学才能。

关键词关键词：几何画板；算法教学；信息技术

DOIDOI：10.11907/rjdk.151021

中图分类号：G434

文献标识码：A文章编号文章编号：16727800（2015）004017303

0引言

算法是高中数学教学中的重要内容，属于高考必考范畴，对于培养学生的抽象思维能力和逻辑思维能力具有重要意义[1]。但由于高考并不进行上机操作，一些教师本着应试教育的态度，只要求学生能看懂框图，对学生能力的培养不够重视。算法和程序设计需要较高的抽象思维能力和逻辑思维能力，探索出一条有效的教学方式，既能使学生掌握理论知识，又能在一定程度上培养学生动手能力，是一个颇具意义的研究课题。

直接让学生上机编程，对高中生而言有一定难度。因此在高中阶段，教学生算法，培养其动手能力需要找一个初级入门的阶梯。近几年的教学实践表明，可利用几何画板作为踏板，帮助学生入门[23]。在教学中引入几何画板符合学生认知规律，遵循先易后难、先具体后抽象、先基本后提高的教学原则，让学生逐步掌握知识、逐步深化学习。几何画板的操作与数学思维完全吻合，可见即可得，简单的操作能实现丰富的图形效果，有助于提高学生兴趣，激发学生学习的主动性与积极性。

1几何画板的迭代功能

几何画板是一款优秀的教学辅助软件，由人民教育出版社从美国引进并汉化。几何画板与其它软件平台如Flash、Powerpoint 相比，具有无需程序设计、操作界面直观、能组合各类数学教学资源、易学易用等优点。这些优点使其受到了越来越多人的青睐，几何画板教学逐渐成为21世纪的动态几何[4]。

几何画板不需编程，是指不需要像Flash那样用具体的程序语言编程，但编程思想在几何画板中却得到了充分体现。在计算机编程学习入门阶段，当学习了赋值语句和FOR循环语句等基础知识后，通常教材上会给出这样一个例子：求和S=1+2+3……100。此题因高斯而出名，答案为5 050。若用计算机编程，步骤也相当简单：

（1）新建参数S和i，分别赋值为0和1（初始状态的S可以看作是一个没装东西的大容器） 。

（2）将S+i赋值给S，将i+1赋值给i。

（3）新建循环参数n，赋值为100，并将步骤（2）重复n次（此时的S是动态变化的，该过程可看作是陆续往一个大容器向里面加“数”）。

（4）循环结束，输出最后结果S。

利用几何画板来解决此题的思路如下：

①新建参数S和i，分别赋值为0和1；

②计算S+i，i+1，新建循环参数n，赋值为99；

③依次选中S、i、n，按住Shift作深度迭代：S—>S+i，i—>i+1，如图1所示；

④生成迭代数据，如表1所示。

笔者对迭代的本质作如下理解：迭指的是多次，代指的是替换，迭代就是指一个动作或操作重复多次，每一次迭代得到的结果作为下一次迭代的初始值。具体到代数计算，迭代可看作使用输入值来计算输出值的不断重复计算过程，重复地将前一个计算中得到的计算结果作为下一个计算的输入值。

由此可见，几何画板具备一定的“编程”能力。类似例子还有很多，如∑ni=1i2、∑ni=11i2。高中教材上的等差、等比数列，大学教材上的泰勒展式等计算都可以用这种方法。如果将加法换为乘法，或将加法与乘法相结合，还可计算如n！、∑ni=1i！等。

2几何画板迭代功能应用

2.1微积分课件制作

在教学中，将三角形的高n等分，做出n-1个矩形，用迭代来表现当n增大时矩形面积的和与三角形面积的接近程度，其方法如下：

首先需要作“任意等分线段”。①作线段AB为被等分线段；②建参数n，作为线段的等分数，计算1n、n-1；③点A为放缩中心，以1n为放缩比，放缩点为B，缩放后得到点B′；④依次选中点A、n、n-1，以n-1为参数作深度迭代，A—>B′，n—>n-1，得到图2；⑤意调整参数n，等分数随之变化，真正做到任意等分线段，如图3所示。

这种等分线段的思想是动态的，即要将AB线段n等分，只要在作好点B′后，将B′B线段n-1等分。

接下来彻底解决该问题：①作任意△ABC，新建参数n，将n-1作为矩形个数；②用放缩变换，即可轻松作出图4；③作垂线，得到点D、E，依次连接4点，得到第一个矩形，如图5所示；④运用等分线段的思想，依次选中A、B、n、n-1，以n-1为参数作深度迭代，A—>F，B—>G，n—>n-1，得到图6；⑤调整参数n，矩形个数也随之变化，真正意义上做到了动态演示，如图7、图8所示，完整地表现了当n增大时矩形面积和与三角形面积的接近程度。

2.2分形课件制作

分形几何是研究不规则图形和现象的新兴数学分支，是描述复杂形态的一种新的几何语言。教授学生分形知识可以使学生感受数学的美学魅力，培养其对分形的兴趣，建立对分形的初步认识，开阔数学视野，体验观察世界的全新角度和方式，形成关注科技前沿的意识和创新意识，对学生日后的发展具有重要意义。分形具有5个基本特征：形态不规则性、结构精细性、局部与整体自相似性、维数非整数性、生成迭代性，具有如上性质的图形被称作“分形”。通常情况下，分形都是极度对称的，甚至对称到了完美的地步，但生成这种图形不需要非常复杂的程序，它们具有无限的细节表面，可以使用递归算法来实现。本文主要介绍如何运用几何画板来制作谢尔品斯基三角形。

数列xn=axn-1+b是一个非常常见的数列序列，随着参数a、b不同，最终所得结果可能收敛，也可能发散。可利用几何画板来研究该数列所生成的图形。

先给出两个特殊数列：

数列1：任意给定一个数k，将它乘以0.5得到一个新的数，将得到的新数乘以0.5，再得到一个新的数。递推公式为：xn=0.5xn-1。以此类推，由无穷等比递缩数列的性质可知，最后那个数必定是0，而得到0之后，再乘以0.5就不再得到新的数了，可见0是f（x）=0.5x的不动点。

数列2：任意给定一个数k，将它乘以0.5，再加上0.5之后得到一个新的数，然后将得到的这个新数乘以0.5，再加上0.5之后又得到一个新的数。递推公式为：xn=0.5xn-1+0.5。以此类推，由无穷等比递缩数列的性质可知，最后那个数必定是1，而得到1之后，再乘以0.5，加上0.5就不再得到新的数了，可见1是f（x）=0.5x+0.5的不动点。

（1）定义坐标系，作任意点A，测量A的横、纵坐标xA、yA。

（2）计算0.5xA、0.5yA、0.5xA+0.5、0.5yA+0.5，作坐标点B（0.5xA，0.5yA+0.5）、C（0.5xA，0.5yA）、D（0.5xA+0.5，0.5yA+0.5）。

（3）新建参数t=10，选中点A和参数t，按住Shift键，在变换菜单中选择带参数的迭代，点击点B，并按Ctrl+A，添加新的映射，点击点C，再按Ctrl+A，添加新的映射，点击点D。也即将点A依次迭代到B、C、D 三点。这时出现的图像会有杂点。适当调整点A的位置，杂点消失，再隐藏所有点，如图9所示。

（4）如果觉得色彩过于单调，可以在建立BCD三点之后，测量三点的横纵坐标，计算横纵坐标和，并除以2，得到3个数，并将这3个数作为BCD三点的颜色参数（设置颜色参数的方法如下：①选择该点与参数；②在显示菜单中选颜色——参数，然后按确定）。其它步骤不变，得到图10。

2.3几何画板“编程”优势与不足

几何画板迭代完全按数学意义逐步完成，这对训练学生的逻辑思维特别有利，不像Mathematica那样，跳过思维过程只留下最终结果。同时，中学生使用几何画板学习数学，对进一步学习程序语言编程大有帮助。但几何画板也有其不足，其计算只能精确到十万分之一，有时不能满足要求，例如∑ni=11i2的结果只能是1.644 93，而不同于Mathematica算得的精确结果π26。

3结语

从上述例子可知，将几何画板应用于教学十分有趣，常常会给广大师生以惊喜。学几何画板，不能将其看作是一款计算机软件，而应该把它看作是数学思想的一个具体载体。几何画板表面上没有编程功能，但其拥有的迭代功能在一定程度上可代替编程环境，甚至可以说，在中学数学算法教学中，几何画板的这一功能比C、VB等程序语言更合适。如何使几何画板的迭代功能发挥更大作用，尚有待进一步研究。

参考文献参考文献：

[1]宋益大.信息技术和数学教学之关系的思考与研究[J].兵团教育学院学报，2005（1）：5153.

[2]张景中，李浩.实迭代——解数学题的逆向思维[M].长沙：湖南教育出版社，1991.

[3]刘同军.几何画板在数学教学中的应用[M].青岛：中国石油大学出版社，2005.

[4]江春莲，彭翕成，杨世军.促进现代信息技术在农村中学数学教学中的应用——现代信息技术在湖北省农村中学数学教学中实施现状的调查与思考[J].湖北教育，2008（11）：1519.

责任编辑（责任编辑：孙娟）