通过数学试题考查小学生文字理解能力应分清主次

王志东

数学的魅力在于它有许许多多引人深思的问题，人们在学习数学时之所以并不感到枯燥，是因为数学中有内容丰富的习题与试题。很难想象，假如数学没有了习题与试题会是怎样的一种情况。数学的习题与试题通常是通过书面语言来呈现的，因此文字理解能力对于学生的数学学习是非常重要的。数学考试的主要目的，是要通过我们所研制的数学试题，考查学生数学概念的理解与应用水平，考查数学思想与数学方法的掌握情况。通过数学试题考查小学生文字理解能力时，要把注意力集中在小学生对数学概念或数学名词的理解方面，数学概念或数学名词范畴之外的文字理解能力的考查应该列为我们的次要目标，也就是说通过数学试题考查小学生文字理解能力时应分清主次。但在小学数学教学实践中也会出现一些主次不分的案例，引发了不必要的争议，造成了教学的混乱。只有对出现的案例进行认真的分析与研究，才能够消除争议，摆脱教学中所遇到的困扰。

一、 一个引发争议的案例

一次到某小学调研，见到了一位有二十多年教龄的专任数学教师，她给我介绍了她工作中遇到的一个案例：她所教的二年级学生的期末考试试卷中有一道判断题：“从8600起，一百、一百地数，数到第四个数是9000。”对于她和她的学生来说这样的问题并不陌生。她是这样教的：“从8600起，一百、一百地数，8600就是要数的第一个数，要数的第二个数就是8700，第三个数就是8800，第四个数就是8900，因此‘数到第四个数是9000’这一结论是错误的。”她的学生对于这类问题按她所教大都掌握得比较好，但在这道题上大多数学生却丢了分，因为孩子们的答案与标准答案是不一致的。出这套试题的教研人员认为：“8700才是要数的第一个数，8800是第二个数，8900是第三个数，所以‘数到第四个数是9000’这一结论是正确的。”如果出题者的观点是正确的，那么就意味着这位小学数学教师教错了。但她是一位认真而且不服输的人，她并不认为自己教错了，于是就找到出题者与出题者一起探讨这一问题。出题者给出的解释是：“这一问题和度量问题相似，度量可以从‘0’刻度开始，量一个单位，对应的量数就是1，量几个单位，对应的量数就是几，这里的8600就相当于‘0’刻度，100就相当于度量单位，因此，8700才是要数的第一个数，数到第四个数就应该是9000。”粗略一看，这一解释似乎也有一定的道理。但这一观点并未被这位小学数学教师所接受，就这一问题她又分别请教了市里的两位研究小学数学问题的专家，可是这两位专家的观点竟然也是不一致的，一位认同这位小学数学教师的观点，另一位则认同出题者的观点。专家的观点都不尽相同，今后究竟应该按照哪一个观点来进行教学呢？这位小学数学教师的内心十分纠结。

二、 分析与思考

一个问题既然能够引起争议，说明问题的表述存在不尽如人意之处，就有必要慎重对待，对问题进行深入细致的分析研究，辨明是非，消除争议。

1.这一问题所涉及的自然数的理论知识

这一问题涉及了自然数的基数与序数两个方面。在教育部审定的义务教育教科书人教版《数学》一年级（上册）的第三单元“1～5的认识和加减法”中，第三部分是“第几”，就介绍了自然数的基数与序数两个方面。自然数的基数理论认为，自然数是一类有限等价集合的共同象征，这一理论在小学数学一年级教学内容“1～5的认识”中得到了充分的体现。自然数的序数理论是由意大利数学家皮亚诺所建立。1889年，皮亚诺提出了著名的皮亚诺公理，认为 “1”是最小的自然数。皮亚诺在1894年出版的《数学论集》的续集中对他1889年所提出的公理作了修改，用0替代了1，皮亚诺公理就有了第二个版本，认为“0”是最小的自然数。皮亚诺在研究数列问题时，同许多其他数学家一样，把数列的起始项记为a0，这种做法在今天人们也常常会用到。当然更多的情况是，人们也把数列的起始项记为a1。这和教儿童数数的情况是相似的，最初，数数一般都是从1数起，很少有教师或家长教儿童数数从0数起，但事实上数数也可以从0数起。在这一争议问题中，“一百、一百的数”中的“一百”是基数，说明这一问题与自然数的基数理论相关。另一方面，“数到第四个数”的“四”是序数，则表明它又与自然数的序数理论有关。

2.争议的焦点与问题的变换

在这个案例中，争议的焦点其实是“从8600起，一百、一百的数”到底应该从几数起。刚开始遇到这一问题，觉得没什么，但仔细一想，似乎又难以分辨。为了看得更清楚，我们可以将问题做一个变换：如果想让孩子们数出从1到10的十个自然数，我们应该如何表述呢？人们通常会说“从1数到10”，所表达的意思就是“从1数起，一个一个的数，数十个数”。对此，我们做了一个调查，大多数小学数学教师对此表示认同。而如果按照那位出题者的“度量”说，对照着一个有刻度的直尺，1可以看作是“0”刻度，同时1也可以看作是度量单位，从1起，满一个单位数一下，第一个要数的数应该是2。要想让学生数出从1到10的10个自然数，按照那位出题者的“度量”说，应该表述为“从0数起，一个一个的数，数十个数”，简述为“从0数到10”。两种表述哪一个更为合理？为此我们做了一个调查，调查结果表明，接受调查的小学数学教师都不会采用后一表述。“从1起，（一个一个的）数三个数”要表述的意思是数“1，2，3”，学生所做的第一个动作是数“1”，而绝对不会是“2”。一般而言，从1数起，第一个要数的数就是1，从2数起，第一个要数的数就是2，从几数起，第一个要数的数就是几，几就是第一个数，几就是起始数。因此，从序数理论的视角来看，“数数问题”与“度量问题”是不同的，也就是说那位小学数学教师的观点也是大多数人的观点，是可取的，她并没有教错。

在实际问题情境中，上述结论也能够得到印证。假如我们开车上高速公路，如果看到的第一个里程标牌上的数字为86，那么我们看到的第4个里程标牌上的数字应该是89而不是90。这类问题也属于数数问题。

3.对“度量说”与这道题的质疑

本来这个问题是一个单纯的数数问题，主要应考查小学生对序数概念的理解，而“度量”说则把注意力集中在了对“从几数起”的不同理解上，也就是把注意力集中在了次要目标上，这种做法有何实际意义？没有资料显示小学数学中有“度量”说这样的特别约定，因此“度量”说比较牵强。

我们还应该特别地注意到，出题者的解释遵循了一个“数数”时的潜规则“从小往大数”或“从前往后数”。数数一定是“从小往大”数吗？从1数起时没什么问题，而从一个大于1的数数起时，是否还应该考虑数的方向？“从8600起，一百、一百地数”是否还可以有其他的理解？比如8600，8500，8400，…，如果学生这样做了，我们又该如何面对？

三、 启示与建议

通过小学数学试题考查学生文字理解能力时，如果没有很好地分清主次，引发不必要的争议造成不必要的混乱就是在所难免的，因此一定要分清主次，不应纠缠于次要目标。同时我们也应该认识到，像这样可以有多种理解进而能引起争议的表述一定是有问题的表述、不严密的表述和应该规避的表述。纵观我国的数学教育教学史，“出题不严学生愁”的事情经常会发生，这就要求我们这些出题者，在编制新题的时候，一定要慎重，要遵循“确定性优先于简明性”的原则，对问题的表述进行反复推敲，即所要表述的意思必须是确定明了的，只能有一种解释，尽量避免可以有多种解释的情况出现，进而避免引起争议，在此基础上进一步追求表述的简明性。否则，学生和教师将会无所适从。

对于前面所讨论的引起争议的问题，如要表述那位小学数学教师所理解的意思，建议稍加改动，把“从8600起，一百、一百地数”改为“从8600数起，由小往大数，一百、一百地数”，这样意义就更为明确了；如果想要表述那位出题者的本意，也可以把“从8600起，一百、一百地数”改为“从8600起，由小往大满一百数一下”，就不会产生理解方面的偏差了。只要我们认真思考，细致地进行辨析，问题是可以解决的，争议也是可以消除的。

【责任编辑：陈国庆】