浅谈勾股定理教学中常见问题解析

在初中数学教学过程中要运用恰当、科学的教学策略，根据教材的具体内容制定科学的教学策略，以提高教学质量和学生学习的质量。在进行教学时一定要遵循直观性原则、因材施教原则、理论联系实际原则、科学性等原则。

一、历史典故

在我国最早的数学著作《周髀算经》的开头，有一段周公与商高的“数学对话”：

周公问：“听说您对数学非常精通，我想请教一下：我们一没有登天的云梯，二没有丈量整个地球的尺子，那么我们怎样才能得到关于天地之间的数据呢？”

商高回答说：“我们已经在实践中总结出了一些了解天地的好方法。如当直角三角形（矩）的一条直角边（勾）等于3，另一条直角边（股）等于4的时候，那么它的斜边（弦）就必定是5。这就叫做勾股弦定理，是在大禹治水的时候就总结出来的一个定理。”

二、定理定义

在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。又称为“商高定理”。在外国称为“毕达哥拉斯定理”。

直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方之和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么勾股定理的公式为a²+b²=c² 。勾股定理现发现约有400种证分明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股数组不定方程a² + b² = c²的正就整数组解为a，b，c。a=3，b=4，c=5就是一组勾股数组。 由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无穷多组解。

三、验证推导

证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

其证明如下：

1.设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。

2.其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

3.画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。

4.分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。

5.∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是共线的，同理可证B、A和H共线。

6.∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。

7.因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须相等于△FBC。

8.因为A与K和L在同一直线上，所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD。

9.因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。

10.因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF = AB²。

11.同理可证，四边形CKLE必须有相同的面积ACIH = AC²。

12.把这两个结果相加，AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC

13.由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD（BK + KC） = BD×BC

14.由于CBDE是个正方形，因此AB² + AC² = BC²。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

四、几何原理

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，需要四个辅助定理如下：

（1）如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）

（2）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

（3）任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

（4）任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的概念为：

把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下：

设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。

其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。

分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对应的，同理可证B、A和H。

∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。

因为AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须全等于△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四方形BDLK必须二倍面积于△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。

因此四边形BDLK必须有相同的面积BAGF=（AB）²。

同理可证，四边形CKLE必须有相同的面积ACIH=（AC）²。

把这两个结果相加，（AB）²+（AC）²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD（BK+KC）=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此（AB）²+（AC）²=（BC）²。

五、主要意义

1、勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。

2、勾股定理导致不可通约量的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数\"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。

3、勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。

4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。

（作者单位：江西省赣州市龙南县杨村初级中学）