两个趣味数字问题

本期我们介绍2个趣味数字问题，它们的形式是相似的：给定1个含有未知数字的算式，要求根据算式推算出其中的未知数字。这2个问题，第1个改编自1个历史悠久且流传广泛的趣味数字问题；第2个则是我自己最近的创作。这2个问题有2个共同点，一是它们都包含有趣味数字；二是它们所需的知识只是小学算术，但需要较强的分析思考能力才能解决。因此，这2个问题不仅锻炼我们的分析思考能力，同时也介绍了2个有趣的数字。

问题1：设A、B、C、D、E、F分别表示1个十进制的数字，ABCDEF表示1个其个、十、百、千、万、十万位依次是F、E、D、C、B、A的6位数。将ABCDEF的前3位挪到后面，得到另一个6位数DEFABC。已知这2个6位数满足等式ABCDEF×6=DEFABC。

试问：A、B、C、D、E、F分别是什么数字？

解：为讨论方便，我们用2个变量分别表示3位数ABC及DEF，即记：x=ABC，y=DEF。据此，我们有（103×x|y）×6-103×y|x移项整理，易得5999*x=994×y。用辗转相除法求得5999与994的最大公因数为7。将上述等式两边同时除以7，我们得到857*x=142xy。由于y是1个3位数，因而据以上等式的左边，可得x=142，y=857。因此，我们得到：

A、B、C、D、E、F依次是l、4、2、8、5、7。原问题中的乘法算式则是：142857×6=857142。

很多读者可能以前就知道，142857是个有趣的数字，它乘以l、2、3、4、5、6所得的结果，仍然是由l、4、2、8、5、7构成的6位数，并且数字间的顺序非常有规律：

142857×1=142857； 142857×2=285714；

142857×3=428571； 142857×4=571428；

142857×5=714285；

142857×6=857142。更有趣的是：142857其实是循环小数l/7的循环节，即：

l/7=0.142857142857……。

问题2：设A、B、C、D、E、W、X、Y、Z分别表示l，2-9中的1个数字，它们所表示的数字各不相同。DCBAOWXYZ与ZBOYDEWAC是各有1个O及8个未知数字的2个9位数，它们满足

DCBAOWXYZ×E=ZBOYDEWAC。

试问：A、B、C、D、E、W、X、Y、Z分别是什么数字？

解：由于1个自然数乘以10以内的自然数只可能进l位，因此上述已知等式可以拆成如下2个等式：

①DCBA×E=ZBOY；②WXYZ×E=DEWAC。

我们从讨论E的数值人手。

（l）由于②式的乘法结果进位，所以E不可能等于l。由于①式没有进位，所以E不可能等于9。再有，所有字母所代表数字各不相同，而乘以5的结果是1个尾数为0或者5的数，所以E不可能等于5。

（2）假设E=2。则由②式知，左边4位数乘以2的结果是1个万位数字等于D的5位数，因此D=l。此时，②式即为：WXYZ×2=12WAC。

上式右边为12WAC，故其左边之W=6，此式化为：

6XYZ×2=126AC。据此，容易得到X的值：X=3。

现在考虑①式，由D=l及E=2，知等式为ICBA×2=ZBOY，其右边的首位只能是2或者3，这与E=2及X=3相矛盾！因此E不能等于2。

（3）现在，假设E=3。则由②式知，D=l或D=2。

若D=l，则②式为：WXYZ×3=13WAC。将右边除以3，得左边的首位数字W的值等于4。据此，②式即化为：4XYZ×3=134AC。此式右边为134AC，这不难推得左边第2数字X也是4，与W的取值相矛盾！因此，D只可能等于2。

现在设D=2，则②式右边为23WAC，故左边的W等于7。因此，②式右边为237AC，这使得左边为79YZ。这样，我们得到：YZ×3=AC。

这个等式没有进位而被乘数等于3，因此Y小于4。由于Y已不可能等于2或3，故Y=l。

回头考虑①式，由Y=l，知此式为：

DCBA×3=ZBOI。A乘以3得到尾数l，因此A=7。然而这不可能——因为它与W的值相同！

综合以上，我们知道E不能等于3。

（4）接下来，我们假设E=4。据①式我们知道ZBOY是4的倍数，而ZBOO是100的倍数，因而也是4的倍数，所以Y也是4的倍数。由于假设E等于4，所以Y只能等于8。据此，将②式约去4，我们得到：DCBA=25×ZB+2。

假如B是偶数，则25×ZB是10的倍数，故A=2。由于偶数中0、4、8、2已被占用，故B=6。然而，②式右边的尾数C也是偶数，却已无数可用，于是出现矛盾。因此，B只能是奇数，比较以上等式两边的尾数，可得A=7。

25乘以奇数，最后2位数必然是25或75，由B是奇数，及DCBA=25×ZB+2，推得B=7，与A的值冲突！

总之，以上分析证明：E不能等于4。

（5）现在，我们尝试假设E=6。由于①式没有进位，因此D=l，并且②式化为：WXYZ×6=16WAC。将右式除以6得W=2，因而此式化为：

2XYZ×6=162AC。再作除法，知X=7，并且由于27×6=162，故有：

YZ×6=AC。上式左边的乘法结果没有进位，故得Y=l，与D的值矛盾！所以，E不可能等于6。

（6）我们暂且跳过7，先探讨E=8的可能性。由于①式为DCBA×8=ZBOY，乘法结果没有进位，因此DC<13，故D=l，C=2。据此，易得右边首位数字2=9，即：

12BA×8=9BOY。显然，B大干或等于6。将B=6代入，矛盾立即出现。因此，由于8、9已被E、Z占用，B只能等于7。将B=7代入，127A×8=970Y，同样不可能成立。因此，E不能等于8。

（7）现在，只有一种可能：E=7。显然，D=l。因此②式化为：WXYZ×7=17WAC。由右式除以7，易得W=2，②式化为：

2XYZ×7=172AC。再考虑右式除以7，得X=4，并且②式变成：

24YZ×7=172AC。两边减去2400×7，则得：YZ×7=400+AC。据此式，易知Y=5或Y=6。

由于Y是①式的尾数，它等于5将导致A一5这一矛盾结果，故Y=6。将上式两边减去400，我们得到：

20+Z×7=AC。

现将已确定的数字代入①式，得：ICBA×7=ZB06。由Ax7的尾数为6， 故A=8。 由20+Z×7=8C， 可得Z=9，C=3。此时除了5以外的所有数字都已经被占用，故B只能等于5。将所有求得的数字代入①式，即1358×7=9506，等式成立！

综合以上，我们解得：A=8，B=5，C=3，D=l，E=7，W=2，X=4，Y=6，Z=9。而问题中的乘法等式即为：

135802469×7=950617283。

这个问题中只有0是已知的，其他数字全部未知，它看起来似乎非常困难。然而，如上解答所示，只要我们拥有分析思考的能力，小学数学知识就足以解决这个问题！

我们想在这里指出的是，这个问题中的数字也是非常有趣的：等式左边的9位数135802469含有0-9这10个数字中的9个，唯独缺了7这个数字；而等式右边的950617283也一样，它只缺一个4！

现在我们考虑9位数——我们放宽定义，将8位数最前面添加1个0也算成9位数。如果1个9位数含有O-9这10个数字中的9个，而唯独缺少其中的某1个，我们就将它称为一个“独缺数”。显然，最小的独缺数是012345678。然而，有趣的、与本问题中的独缺数相关的，是次小的那个，即012345679。简单验算即可以发现原问题中2个数字与它的关系：

135802469=012345679×ll；

950617283=012345679×77。

那么，012345679是不是还有其他有趣的性质？答案是“是的”，它乘以81以内所有不被3整除的自然数，所得的结果也是1个独缺数！因此，等于012345679的正整数倍的独缺数总共有54个，问题中出现的就是其中的2个。

对于这54个独缺数，我们马上会问2个问题：独缺数缺的是哪个数字？独缺数中数字的排列有什么规律？第1个问题的答案是这样的：如果这个独缺数是012 345 679的N倍，而N除以9的余数等于k，则它所缺的数字是（9-k）。以原问题中的第2个数字为例，它是012345679的77倍，77除以9的余数为5，所以它所缺的数字为4。对于第2个问题，由于答案无法用简单明了的话来概括，我们在这里不作回答，希望有兴趣的读者自行探讨。

最后的问题是：012345679是不是某个循环小数的循环节？答案同样是“YES”——它是l/81的循环节：

l/81=0.012345679012345679……。