五连杆机器手臂拦截问题的最优化控制策略

湛志勇， 李学文

（1.东莞市清溪科技创新服务有限公司，广东 东莞 523000；2.东莞市三润田自动化设备有限公司，广东 东莞 523640）

0 引言

机器手臂轨迹的最优化控制一直以来是研究的重要方向，同时也是工业应用中研究的重要课题，为有效地应对机器手臂的重复性任务，以及能源紧张的情况，提高能耗利用效率，降低机器手臂运动能耗是目前十分重要的问题，有着非常大的现实意义。本文涉及到的DCNLP法，是将最优控制问题转化为非线性规划问题进行求解，建立起能耗方程，以获得机器手臂完成所规定任务的最小能耗，经仿真结果分析发现，采用DCNLP法进行求解，具有良好的鲁棒性与适应性。

1 五连杆机器手臂及机器人动力学研究方法

如今，机器手臂已经大量应用于工厂的生产线，随着我国逐渐进入老龄化，使用机器手臂来对老人进行照顾或者辅助患者进行复健也已成为了新的研究方向与发展趋势，如上肢康复机器人等。上肢康复机器人包括了最基本的、最重要的5个自由度，即肩部、肘部、腕部的屈与伸，肩部的外展与内收，以及腕部的旋内与旋外。机器手臂模拟人体上肢的运动，安装在高度可调的支架上，以适应不同患者的康复训练要求，完成患者的坐姿与站姿的训练，同时，由于机器手臂的上臂、前壁与位姿能够进行调节，因此能够实现左右的穿戴，满足患者的一定需求。在机器手臂的研究领域中，其动力学研究方法有多种，包括拉格朗日方程法、牛顿-欧拉方程法、凯恩方程法等。

拉格朗日方程：在系统的动力学方程建立中，因为多刚体系统较为复杂，因此采用系统的、独立的拉格朗日坐标也就十分困难，而采用笛卡尔广义坐标方便简单。对于具有多余坐标的完整或非完整约束相同，可采用带乘子的拉氏方程来进行规范处理。牛顿-欧拉方程：刚体在空间中的运动通常可分解为随其上某点的平动和绕该点的转动，所以可分别地采用牛顿定律和欧拉方程进行处理。但是通过牛顿-欧拉方法导出的动力学方程包含了大量的、不需要的未知约束反力，所以在牛顿-欧拉方法的运用中需要对约束反力进行重点消除。由于该方法需要消去内力，因此推导起来较为麻烦。凯恩方程法：该方法提供了分析复杂机械系统动力学性能的统一方法，不用动力学函数，也无需求导计算，只需要对矢量点积、叉积进行计算即可。但是该方法并没有给出一个具有通用性的适合于任意多刚体系统的动力学方程，而在广义速度的选择上也需要经验和技巧。三种方法中，前两者为主要的动力学建模方式。

2 机器手臂轨迹最优化相关研究

随着科技的发展，在现阶段机械手臂在工业界已经获得了较为广泛的应用，而其手臂轨迹的最优化一直以来都是重要的研究对象。机器手臂的最优化轨迹即是要实现机器手臂的运动耗时最短、能耗最少。先前学者的有关研究中较多的通过不同的算法来实现对时间的最优化，如李东洁等提出了一种基于遗传算法的轨迹优化控制方法，对时间进行最优化，而罗熊等则提出混合进化计算模拟退火求解算法来实现对时间的最优化。当然也有学者针对能耗最优化的研究，如朱心科等就基于两步链式L-K算法针对水下机器人进行了延长其水下工作时间的研究，而徐海黎等则对工业机器人提出基因环境双演化免疫克隆算法，进行了能耗的优化。党培等提出了一种基于梯形升降速法对机器手臂运动轨迹进行了优化。潘秀强等则提出直接配置非线性规划方法（DCNLP）对机器人手臂运动轨迹进行能耗的最优化。其中，DCNLP法将能耗的最优问题转换成为了非线性的规划问题来求解，进而实现机器手臂在完成既定工作下，能耗最小。

直接配置非线性规划方法（Direct Collocation with Nonlinear Programming，DCNLP），可将所需的各个关节的驱动器输出转矩进行计算，确定出最优化的指标为“最低能耗”，并获得各个关节相应的位移与角速度。在G-H公约所描述的及其手臂几何结构下，可应用Mathematica软件符号语言来推导出机器手臂的动力学方程EOM，并采用Euler必要条件为最优化的理论基础将最优化过程中的两点边值问题（TPBVP），转化成一般的线性规划问题，并进行数学求解。DCNLP法针对五连杆机器手臂在医疗看护中的基本动作“拦截”与“对接”进行了最优化研究。

3 基于DCNLP法在五连杆机器手臂拦截问题的最优化控制

3.1 五连杆机器手臂的建模

五连杆机器手臂包括5个关节，关节2、关节4负责上下转动，关节3和关节5负责左右转动，设机器手臂的关节转动角度为θ1（t）、θ2（t）、θ3（t）、θ4（t）、θ5（t），然后根据DH公约建立起五连杆机器手臂模型。

3.2 动力学方程

引入Euler-Lagrange（拉格朗日-欧拉）公式来对机器的系统运动学与控制输入间的关系进行描述。求出5个关节驱动器产生力矩的矢量和τ→，由于机器手臂连杆为细长的刚性连杆，因此求得其转动惯量矩阵Ji。为了解决拉格朗日方程推导的困难，采用符号编程方法来解决，求得 τ（t）、θ¨（t）。

3.3 最优化控制与直接配置

求出θ¨后，采用DC直接配置来对TPBVP两点边值问题进行解决，并利用最优控制方法实现机器手臂运动的能耗最小化控制。

第二步，进行直接配置非线性规划。DCNLP法将传统的TPBVP问题转化为一般的非线性规划问题，求出x˙（t），λ˙两者的解也就能够找到最优的解决方案。但是，xi（t）、xj（tf）和λk（tf）在最初与最后时刻的端点值缺乏，也就造成了x˙（t），λ˙差分方程迭代过程变得较为复杂。DCNLP 法将连续的TPBVP问题分隔为n段，因此也就将时间节点划分为了n+1个，节点上的值则设为Xi，采用Hermit插值方式对两节点间进行三次多项式的定义，该三次多项式既包含了Xi值，同时也包含了Xi+1的值。通过DCNLP计算出两节点间的中心点斜率X′c，进而与fc逼近系统方程实现最终的吻合。经多次迭代后，插值斜率与其中心点系统差分方程相一致。θ¨（t）中包含了10个状态差分方程，根据时间历程将其划分为512份，并由此获得限制方程△5120个，期望收敛为0。

第三步，进行能耗方程的设计。根据机器手臂动作，以达到最小能耗为重点设计能耗方程J。

4 仿真与分析

设机器手臂初始状态的转动角度与角速度分别为0，设定机器手臂取自由落体的球，球的初始状态为0，经求解，机器手臂成功地接到了目标球，时间为0.8512，能耗为15.9329。对机器手臂接球轨迹进行Matlab仿真，则该轨迹也就是能耗得到最优控制的接球轨迹。

5 结语

DCNLP法将TPBVP问题成功地转化为非线性规划问题，使得机器手臂能耗最优化问题，通过性能指标和边值问题的构建，能耗方程的设计获得了最优化的解。通过仿真结果也证实，DCNLP法能够为机器手臂运动控制提供高质量的解。

［1］ 潘修强，梅成才，陈军杰.五连杆机器手臂拦截问题的最优化控制研究［J］.系统仿真学报，2012（9）：1772-1776.

［2］ 梅成才，潘修强，陈军杰.应用DCNLP法求解五连杆机器手臂对接问题［J］.小型微型计算机系统，2012（12）：2749-2752.

［3］ 潘修强，梅成才，陈军杰.基于DCNLP的机器手臂最优化控制及拉格朗日因子研究［J］.计算机应用与软件，2013（5）：140-144.

［4］ 朱雪枫.五自由度上肢康复机器人数学建模与仿真［D］.沈阳：东北大学，2011：36.