概率与统计

余树宝

由于概率与统计知识与生产生活实际有着非常密切的联系，并在现实中应用广泛，加之高中阶段开设此部分内容对大学数学学习起着承上启下的作用，所以近年来概率与统计内容一直是高中教学的重点内容，也是高考考查的重点、热点内容. 尤其是新课程改革之后，高考对此部分内容的考查都不低于课程标准的要求，因此应引起广大考生的重视.

从高考分值比例来看，理科更注重对概率与统计内容的考查；从考查内容上来看，理科注重的是概率内容，文科注重的是统计内容；从题型上来看，选择题或填空题至少一题，解答题或有一题（由于各省、市自主命题，如2014年江苏卷、浙江卷中的解答题就没有考查概率与统计内容）；从难度上来看，小题容易大题稍难，尤其是理科.

高考中，新课标卷更注重考查概率与统计知识在现实中的应用，对概率与统计的考查基本上都是联系当前生活实际，具有鲜明的时代性，这反映了概率与统计内容贴近生活，也反映了在众多的高考考点中概率与统计内容的具有突出的应用性.

高考中，常见的抽样问题一般包含两种题型：一是给定某一总体，选择适宜的抽样方法；二是采用某一抽样方法，如何实施抽样过程，抽样的结果如何. 这些问题主要考查简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等三种抽样方法，其中又以考查分层抽样为主. 本知识点一般在选择题或填空题中进行考查，难度属于中等偏易.

（1）理解随机抽样的必要性和重要性.

（2）会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样的方法.

掌握三种抽样方法适用的总体类型及各抽样方法的特点对此类问题的解决非常关键.

（1）当总体中的个体数较少时，适用简单随机抽样方法.

①用简单随机抽样方法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为 ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率均为 ；

②简单随机抽样的特点是：逐个抽取，且各个个体被抽到的概率相等；

③简单随机抽样方法，体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础.

（2）当总体中的个体数较多时，适用系统抽样方法.

①系统抽样与简单随机抽样的联系在于将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；

②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的；

③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样.

（3）当已知总体由差异明显的几部分组成时，适用分层抽样方法.

①分层抽样是等概率抽样，它也是客观的、公平的；

②分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此在实践中有着非常广泛的应用；

③在各层抽样时要按照各部分所占的比例进行抽样.

例1 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名. 现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

破解思路 题设中明确要求用分层抽样的方法，因此我们要依据分层抽样的特点，在各层抽样时要按照各部分所占的比例进行抽样.

答案详解 设从高二应抽取x人，则有30∶40=6∶x，解得x=8，选C.

例2 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调査，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）

A. 7 B. 9 C. 10 D. 15

破解思路 此题考查的是系统抽样方法. 在解决的过程中，一是在分组或分段时要注意需不需要剔除少量个体，二是要注意抽取多少个体就要分成多少组，三是要注意间隔是多少.

答案详解 要分为32组，每组有30个个体，由于第一组抽取的号码是9，所以各组的号码应该是9+（k-1）·30，k=1，2，…，32. 由451≤9+（k-1）·30≤750得16≤k≤25，因此做问卷B的人数为10，故选C.

1. 某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4，12，8. 若用分层抽样的方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为______.

2. 某高中有学生270人，其中高一年级108人，高二、高三年级各81人，现要利用某抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按高一、高二、高三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2， …，270，并将整个编号依次分为10段. 如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169， 196，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180， 195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173， 200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192， 219，246，270.

关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）

A. ②③都不能为系统抽样

B. ②④都不能为分层抽样

C. ①④都可能为系统抽样

D. ①③都可能为分层抽样endprint