完善概念意象 理解概念本质

【摘要】青年教师基本功竞赛中一道关于“分数”判断题的答题情况引发了广泛思考：形式上的不平均分，为什么会对分数概念的形成产生影响？通过科学选取三至六年级部分学生为样本，采用书面测试和访谈的形式，探究学生对于“平均分”理解上的偏差，并分析产生这种偏差的原因，其中学材的影响是关键因素，进而提出防止和纠正这种偏差的策略措施，概念教学需要完善概念意象，才能促进学生掌握概念本质。

【关键词】概念教学;分数;学材;概念意象

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）41-0036-03

【作者简介】张所滨，江苏省泰州市教育局教研室（江苏泰州，225300），高级教师，江苏省数学特级教师。

一、缘起

一次青年教师基本功竞赛中，有这样一道判断题：下图因为不是平均分，所以阴影部分不能用 表示。（ "）

部分参加测试的教师打“√”，理由是图形没有平均分，阴影部分不能用分数表示。教师对分数概念的本质尚且存在模糊认识，那么学生的认识情况又如何呢？

带着这样的疑问，笔者用同样的题目，对随机选择的一所学校三至六年级各两个班学生进行了测试，测试结果如下：

从表中数据可以看出，三、四年级学生的正确率较低，五、六年级学生的正确率均超过了50%。

二、追问

这一现象引起了笔者的思考，为什么三、四年级与五、六年级测试的结果差异较大？其核心影响因子是什么？

在访谈时，五、六年级答对的学生陈述了三种理由，第一种，用等分法（如图1）;第二类，用割补法（如图2）;第三类，拼接法（如图3）。

（图1） " " "（图2） " " "（图3）

从这里，我们不难发现，五、六年级学生由于有了多边形面积的知识基础，从而想到了如图2、图3的方法来解答，而三、四年级学生还没有这样的知识基础，只有少数学生是通过图1的方法获得结果。

其实，用分数表示阴影部分，实际上就是用一个数来表示阴影部分与整个图形面积之间的关系，而与所分图形的具体形状无直接关系。

但是，为什么很多学生、甚至教师对分数概念的认识容易受到直观图形的影响，而出现认识偏差呢？带着这样的思考，笔者对三、四年级学生又进行了一项测试：下面哪些图形中的涂色部分表示的是 ？

（图4） " " （图5） " "（图6） " "（图7）

前三个图形学生的判断结果高度一致，但对图形7的意见出现了很大分歧。

师：请认为可以用 表示的同学说说理由。

生：平行四边形被平均分成了4份。

此时，有学生说这不是平均分。

师：为什么你认为不是平均分？

生：两个三角形的形状不一样。

显然，这些学生对于形状不同的两个三角形是否一样大不能确定。笔者为了让学生看得更清楚，指着图引导学生。

师：平行四边形被平均分成了几个小平行四边形？

生：两个。

师：左边平行四边形被平均分成了几份？

生：两份。

师：右边平行四边形被平均分成了几份？

生：两份。

师：那整个平行四边形被平均分成了几份？

生：4份。

师：阴影部分是不是 ？

…………

在刚才的对话过程中，学生的思维清晰地显示出来，他们认为只有分得的每个部分形状一样才能叫平均分。而对于笔者的引导，显然理解起来有一定的难度。

笔者研究了几种不同版本的教材，对“认识分数”的内容编排进行了比较，发现每个版本的教材在初次认识分数时，提供的图形都是平均分成形状相同、大小相等。同时，教师教学过程中提供给学生的自然也是分成形状相同、大小相等的图形，学生经过反复的感官刺激，自然就会产生这样的认知偏差。

三、重建

基于上述分析，笔者以三年级学生为研究对象，在没有相关面积知识基础的情况下，尝试通过完善概念的意象，引导学生正确认识与理解图形的平均分，来理解“分数”概念的本质。

首先引导学生折出一张长方形纸的 ，并进行比较（如图8～图10）。尽管分法不一样，但只要平均分成两份，每份都可以用 来表示，学生对于分数的意义就会有更为深刻的理解。

（图8） " " （图9） " "（图10）

在找到共同点后，笔者再次引导学生比较图8～图10中的阴影部分，让学生发现有什么不同点。经过比较学生发现，在图8～图10中，虽然分法不一样，所得的每一份形状也不一样，但都是平均分，因此阴影部分都是长方形纸的 。找共同点是为了更好地抽象概括，找不同点是为了更好地把握概念的本质。

经过这一比较后，笔者请学生对图7重新作出判断。经过讨论，学生先画出图11并这样解释，将平行四边形平均分成两份，得到两个小的平行四边形，再将每个小的平行四边形平均分成两份（如图12），这样就将整个图形平均分成了四份，因此，阴影部分可以用 来表示。在图13中，两个小的平行四边形也都平均分成了两份，只是分法不同，这样也是将整个图形平均分成了4份，因此，图13（即图7）中阴影部分也可用 来表示。

（图11） " "（图12） " "（图13）

这样，学生经历了长方形纸的 、平行四边形的 的探索过程，丰富了分数概念的意象，在充分感知的基础上明晰了图形“平均分”的内涵。

在进一步认识分数时，笔者安排了这样一道习题：

多数学生这样表示 ：

有一个学生这样表示：

尽管该生结合分数概念讲出了理由，但还是有部分学生无法理解，认为这不是平均分。

经过仔细研究教材，我们发现这里教材安排的习题与例题有以下的共同点：1.在表示平均分时，总是从左往右或从上往下进行平均分;2.在用分数表示时，总是表示左面的部分或上面的部分，也就是按顺序表示。

编者为什么如此编排？这样编排到底给学生怎样的心理暗示？造成怎样的认知影响？

笔者做了个实验，在做完教材上的习题1后，呈现图14，让学生说一说能用分数表示吗？如果可以，用怎样的分数来表示？

（图14）

不出意料，许多学生都认为这不可以用分数来表示，他们认为没有平均分怎么能用分数表示呢？笔者动画演示，将右侧竖着的三个小正方体旋转平放在最上面，变成图15。

（图15）

学生看到此图后立刻明白，可以用 来表示，因为将这些小正方体平均分成了两部分。笔者追问，涂色的个数与未涂色的个数有没有变化？学生回答，没有变化。再次追问，为什么现在可以用 表示？有学生回答，现在平均分成了两份，因为涂色的个数与未涂色的个数相等，各占两排，也就是平均分成了两份。进一步追问，既然涂色的与未涂色的没有变化，并且个数相等，那原题中涂色的小正方体能用 表示吗？此时，笔者出示这样一道习题：有12根小棒，你能拿出其中的 吗？学生回答拿出 的过程与方法：先将12根小棒平均分成2份，取出其中的1份，也就是取出6根。多数学生都经历了先平均分再取的过程。笔者再次提问，你能直接拿出其中的 吗？如果不能直接拿出来，可以先分一分再取一取。学生受到启发，从中取出了4根。笔者进一步追问，可以调换其中的1根吗？学生回答可以，只要取出4根就可以。笔者最后追问，图中涂色的部分能用 表示吗？学生抢答可以，并且说出涂色的与未涂色的尽管位置不是整齐排放，但涂色的个数与未涂色的个数一样多，也就是平均分成了相等的两份。经过这样的教学，让学生准确理解了平均分，剔除了形式上的干扰，突出了平均分的本质。

在概念教学时，为了有利于学生形成正确的概念，我们应给学生提供较为科学、合理而全面的学材，一方面是指素材内容的齐全，但更重要的是呈现方式的多样化，唯有这样才能使概念意象丰盈起来，才能剔除非本质的因素，从而更为准确地理解与掌握所学概念，深刻地把握其本质。