数学“童画”：让儿童的思维过程看得见

【摘要】数学“童画”是一种基于儿童的可视化学习方式，其价值指向学习本体、儿童天性和数学思维，具有儿童性、可视性、动态性、结构性等特征。在数学教学中，教师应注意通过“童画”形式的抽象、示例、解释、预测、建构等活动，不断优化学生的学习方式，提高学生的数学思维能力。

【关键词】数学“童画”;儿童化;可视化;看得见;思维过程

【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）41-0031-03

【作者简介】杨友平，江苏省宜兴市阳羡小学（江苏宜兴，214200）副校长，高级教师，无锡市数学学科带头人。

时下，变革学习方式的研究与讨论颇热。究竟什么样的方式最好？“用感性的方式表达理性”（黑格尔语）是最美的方式。笔者尝试用数学“童画”的方式引导学生开展可视化学习，收到了较好的效果。所谓数学“童画”，就是引导儿童用自己理解和亲近的画图方式，将数学知识、数量关系、公式规律等直观地表达出来，并主动进行观察、比较、猜想、推理、分析、综合等思维活动。

一、价值指向：从“本生”到“生本”

儿童的学习是一个“自己掌握”的过程。数学“童画”主张以“生本”为出发点，用儿童的视角审视，用儿童的方式表达，用儿童的心智思考，以真正实现促进儿童自身发展的教育本义。

1.回归学习本体。真正的学习只能依靠学生自己来完成。传统的画图策略偏重于画图规范，体现教师意志。数学“童画”指向学生本身，注重将知识、资源、方法等围绕学生去展开，为他们提供自由表达、自我解读、主动参与观察、发现、思考活动过程的机会，强调“回到学生，依靠学生，为了学生”。

2.顺应儿童天性。儿童生性好问、好玩、好涂鸦，这决定了他们的学习带有鲜明的感性色彩。数学崇尚理性，但不能排斥感性。因为学习的核心除了“形成知识”，还要生发思想、涵育情感、生长道德，否则将会进入“具有一切知识却迷了路”的困境。数学“童画”是可玩的，一个符号、一个简图、一种思考均从儿童出发，携带着儿童的认识、经验与独特想法，尽管不完备，可能很幼稚，却是儿童思维生发的原点。

3.学会数学地思维。数学“童画”主张让儿童尝试从自己的角度观察，学着用数学的眼光把握、抽象事物，用图式的方式表述、搜索、推论、构建和整合，突破线性思维，培养符号意识、创新意识和思维能力。数学“童画”建立在个体的数学现实基础上，以可视化的方式（如符号表述、图式构建、信息搜索、直观推论、系统整合等）促进学生学会数学地思维。

二、特征把握：从被动“会学”到主动“学会”

数学“童画”不等同于传统教学中的教学生画图分析问题，也有别于用画图法来解决问题，它除了具有一般性、知识性、综合性的特征之外，还具有儿童性、可视性、动态性、结构性等特征。它的儿童性、可视性便于学生发现知识、规律和关系。它的动态性、结构性有利于学生进行思维导视、问题解决和知识重构。

1.儿童性。数学“童画”源于儿童本身，必然带有儿童特有的情趣、认知、想象、经验等，一个符号、一幅图画、一种模型都是一种儿童化的图式，既契合儿童的视角、思考方式和语言特征，又能反映客观事物的必要与非必要特征，还渗透着某种数学思想。

2.可视性。“从某种层面上说，让学习方式看得见，其本质就是让学生的思维看得见，让思维可视化。”[1]心理学研究表明：小学生的思维处于以具体形象思维为主导并逐渐向抽象逻辑思维过渡的阶段。可见，通过符号、图画、图表、模型、数轴、线段图等数形结合的数学“童画”这一“桥梁”，可以帮助学生直观地理解数学概念和数量关系。

3.动态性。皮亚杰认为：图式是指动作的结构或组织。作为一种特殊的图式，数学“童画”“构成图式的各个部分即变量有恒定的，也有变化的”，“图式的加工过程是通过对加工的信息进行拟合、优化、评价而进行的，对某些信息的加工甚至有几个图式相互比拟、进行评估，最后才能做出决策”。当图式形象在具体学习情境中得到儿童化、符号化、模型化的描述，学生能及时梳理旧知与经验时，教师应引导学生从以静态知识为特点的形式层面走向以动态思维为特点的发现层面，以促进其进行更积极的思考。

4.结构性。在学生建构知识的过程中，其现有的知识和经验具有重要的作用。“童画”特征的图式可以作为一个模型化的知识“集成”，准确激活旧经验与新知识之间的联系，通过调整、改造建立新的知识结构，反映学生立体的数学思维过程与层次，促进新知从外感到内化的有效转化。

三、学习可视：从学习“发生”到思想“生发”

对要学习的知识进行可视化的表达，可以降低知识的复杂度和难度，实现知识的系统化、结构化。通过数学“童画”，有助于学生的学习发生内在的变化，使其在知识经验之上生发思想，激发他们主动、自觉、深度地学习数学。

1.“童画”抽象，让特征“抓得准”。

数学学习最重要的不是记住多少知识，而是从现实背景中看到数学知识及其意义，学会用数学的方式去探索和思考。数学“童画”能够形象地呈现抽象的内容，为学生提供直观、生动的数学学习背景，有利于学生表征与理解抽象的概念。因此，为学生提供一个有利于模型生成的指涉问题与现实背景十分必要。例如：教学苏教版一下《练习六》“认识单数和双数”时，出示乒乓球、羽毛球单打、双打背景图。教师问：单打是什么意思？双打呢？你能自己画图表示出来吗？学生用小人、圆圈等符号表示并交流：单打就是一方各一个人打比赛，双打就是一方各两个人打比赛。在此基础上，教师出示第六题情景图介绍：左边的门牌号2、4、6、8、10等数是双数，右边的门牌号1、3、5、7、9等数是单数，它们有什么区别？你能再画一画单数和双数吗？引导学生观察图中单数与双数的特点，学生发现单数“最后有一个多余”的本质特征。儿童画出的每一个简图都形象地表征了单、双数的典型特征，为他们理解概念提供了生动的表象。

2.“童画”示例，让思路“看得见”。

小学生的学习过程带有鲜明的直观性特点，对抽象的语言描述、符号意义、复杂问题等在理解、把握上存在一定的困难。数学“童画”具有儿童化的直观示例作用，其抽象出的典型特征可以用特定的示例加以表征，清晰地呈现出指向问题解决的“思维地图”。例如：教学苏教版六上《解决问题的策略：假设》，出示练习题：全班42人在公园划船，租10只船正好坐满，每只大船坐5人，每只小船坐3人，租的大船、小船各有多少只？问题抛出后，教师见学生没有具体思路，提醒学生：10只船中到底有几只大船？可以画一画简图，试一试。如果全部看成小船，可以坐多少人？还有多少人没船坐？如果全看成大船呢？在教师启发下，学生通过画一画、算一算、议一议，独立探索出了多种方法。学生根据图示发现：“如果全看成小船，则还有42-10×3=12（人）没船坐。”教师追问：“为什么会有12人没船坐？”学生答：“把1只大船看成1只小船，会少坐5-3=2（人），因此大船有12÷（5-3）=6（只）。”根据简图直观演示很容易就能计算出大船的只数。还有学生想到“全看成大船”“把5只船看成大船，5只船看成小船”等方法。通过简图示例和教师启发，学生很容易就能找到用假设法解决实际问题的路径。

3.“童画”解释，让发现“说得通”。

解释是数学学习的重要方法，依托数学“童画”的可视性指示对输入的信息进行解释，有助于学生把握问题的关键，看清知识的来龙去脉，明晰知识的联系和规律，使问题迎刃而解。例如：教学苏教版五下《和的奇偶性》，学生通过列举若干个“两个数的和”发现：偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，奇数+偶数=奇数。如果就此结束学习和思考，规律仅仅是符号化的记忆素材，如果放手让学生自主解释，就会加深他们对知识的意义构建。因此，教师设计了一个解释意义环节：如何确认发现规律的一般性和合理性？学生答：“多举几个例子。”教师启发：“除了用列举法验证确认，还可以画图来解释，你能试一试吗？”学生画出下图直观解释自己理解的和的奇偶性规律。

4.“童画”预测，让推论“想得到”。

学习是一种自主、自觉的活动。在数学教学中，应重视培养学生的合情推理和演绎推理能力，鼓励学生积极参与知识探索、大胆推理与预测，使他们能清晰地表达自己的想法，再造数学知识生长的过程。例如：教学苏教版三下《长方形和正方形的面积计算》，设计操作环节：（1）预测。在方格纸内（每格1厘米×1厘米）任意围几个长方形，统计它们的长、宽、面积各是多少，操作交流后，预测长方形的面积与什么有关，如何求面积。（2）尝试。用若干个小方块纸片（1厘米×1厘米）量出一张名片的面积。学生摆一摆后通过简图反馈。大部分学生用小方块摆满，得到面积3×4=12（平方厘米）;少数学生用小方块沿长边与宽边分别摆一行和一列，也得出面积。这时，引导学生组织第一次思辨：同样是用摆小正方形的方法求面积，哪种摆法更简便？为什么？引导学生进行合情推理。（3）简化。在第一次优化操作的基础上，呈现小东的照片（5厘米×4厘米），让学生用小方块量出它的面积，看谁摆的小方块最少且速度最快。学生通过操作实物图，推想出下面三种摆法，比较发现，方法3（用一个小方块量一量并做记号）所用方块最少，方法最巧妙，但做记号较慢。（4）优化。简化操作方案后教师继续追问，组织第二次思辨：如果一个小方块也不用，用什么工具可以直接量出长和宽各可摆多少个边长为1厘米的小方块？学生顿悟，发现原来可以用厘米尺量出长、宽的厘米数——也就是各能摆小方块的个数，列出算式4×5=20（平方厘米），回顾预测、观察讨论：长方形的面积与它的长和宽有什么关系？怎样求长方形的面积？这样，在学生亲身感悟的基础上，利用直观图，引导学生独立思考并把自己的新发现、新方法和新体会在组内进行讨论、交流、思辨，逐步构建起具有自己意义的新认知结构。

（方法1） " （方法2） " （方法3）

5.“童画”建构，让关系“理得清”。

根据建构主义理论和图式理论的观点，学习是学习者建构自己的知识经验的过程。在建构知识的过程中，将学生的知识背景和问题情景通过直观的图式呈现，能让学生有意识地从认知结构中提取相关的旧知识经验，自主参与新知识的同化和顺应活动，从而进一步理清数量关系、优化知识结构，提高知识建构的效果。例如：教学苏教版五上《用字母表示数》，可以引导学生用对儿歌的形式探究用字母表示数：1只兔—4条腿，2只兔—几条腿？3只、4只、5只呢？你是怎么想到的？引导学生用3×4、4×4、5×4等算式表示兔腿的个数。接着呈现被遮住一部分兔的图问学生：你能用什么式子来表示共有几条腿？在简图的直观启发下，学生想出了“只数×4”“？×4”“○×4”“A×4”等表示形式，更深刻地感知到符号的价值与意义。

数学“童画”作为一种儿童化、可视化、数学化的学习方式，既能优化教师的“教”，又能激发学生的“学”，有利于培养学生的符号感，使他们自主构建新知识，促进他们数学地思维。

【参考文献】

[1]成尚荣.让学习看得见[N].中国教师报，2013-10-23（12）.

[2]惠莹.试论康德、皮亚杰和现代认知心理学的图式观[J].社会心理科学，2010（9）：21-24.

[3]朱良学.学习可视化的意义与内涵研究[J].软件导刊（教育技术），2013（5）：86-87.