理清来龙去脉，把握教学节点，促进有效建构——“面积的意义”一课的教学研究

浙江宁波市镇海区骆驼中心学校（315200） 朱杰涛

“面积”作为小学数学进行几何初步知识教学、建立空间观念的重要内容，是学生的思维从一维空间转向二维空间的开始，许多教师在展示课和研讨课中都选择此内容进行教学。但面积的概念具有较强的抽象性，学生初次接触时一般都难以理解面积是怎么一回事，学习存在一定困难，教师在教学这一课时也会出现许多的困惑与问题。我有幸参加市高研班学习，在观摩专家的课堂教学后，对本课的教学进行了再研究。

把握起点·分析学情·立足教学之本源

为更好地进行教学，我对自己学校的三年级学生开展关于面积认识的前测，以此了解学生对面积有着怎样的前概念。而在此之前，我重新梳理了学生的认知起点，以便更好地设计前测问题。

一、从关联内容看学生的认知起点

认知起点1：

关联内容 图形的认识 学习年段 一年级梳理感悟：人们认识事物一般是从粗略的整体感知开始，然后对物体进行细致观察和局部研究。现实生活中常见的物体一般以长方体、正方体、圆柱体等直观形象出现，难以找到与平面图形相似的物体的某一部分。基于学生这样的认知规律和生活经验，教材安排一年级上册认识立体图形及立体图形的拼组，一年级下册学习从立体图形中抽象出平面图形，然后认识平面图形和平面图形的拼组。在认识平面图形时，教师让学生先摸一摸再说感受，其实也进一步渗透“面”的概念。

认知起点2：

关联内容 长度单位 学习年段 二年级梳理感悟：二年级学生对长度已有认识，但长度与面积分别属于一维空间和二维空间的内容，它们既有紧密的联系，又有着本质的区别。学生容易受到长度单位的负迁移影响，在表示图形面积时常描述成图形的周长，交流中把面积说成了周长。

认知起点3：

关联内容 对称、平移和旋转 学习年段 二年级梳理感悟：教材在二年级下册安排了对称、平移和旋转的内容，这其实也是从运动的角度去探索和认识图形与几何的知识。虽然观察图形的平移和对称时，只需要观察图形上任意一点的平移过程，但这些任意一点组合起来也就是整个面在运动，为三年级的面积教学做好了铺垫。

二、从校内前测看学生的前概念

有了以上的认识，我设计3个问题来对学生进行前测。

问题1：你认为什么是面积？

设计意图：了解大约有多少学生已经知道了面积。

测试结果：

测试结论：三年级学生对面积并不是一无所知的，但也表现出学生对这一内容的认知十分模糊，所以教师在教学中要帮助学生由对面积的模糊经验走向逐步清晰。

问题2：用你喜欢的方法表示出该图形的面积。

设计意图：考查学生能否表示出一个图形的面积。

测试结果：

测试结论：即使是三年级的学生，还是有一部分学生对面积所指的区域不清楚，而且周长是影响学生认识面积的一个重要因素。

问题3：哪个图形的面积最大？

设计意图：考查学生对图形表面大小的认识。

测试结果：

测试结论：在比较两个面积比较相近的图形时，有一部分学生就束手无策了，不知道该如何是好。因此，课堂教学中，教师要着重设计帮助学生用面积单位来说明面积大小的探索活动。

通过前测分析，我认为面积的教学要遵循学生的认知发展规律。在建立面积概念时，教师需要引导学生对同一封闭图形的周长和面积进行直观对比，使学生明确两者之间的区别，完善学生的认知结构，提高学生的数学思维能力。同时，教师在教学中要继续加强学生的探索，强化学生的体验学习，让学生在认知冲突中发现问题、提出问题，在解决问题中提炼出面积和面积单位的本质属性。

对比解读·研究本质·思辨教学之载体

通过前测，我欣喜地发现，学生缺少的、我们在教学中要重点把握的，正是2011版义务教育教科书数学三年级下册关于“面积的意义”教学所呈现的内容。那么，义务教育教科书相对于实验教材到底有哪些细节上的变化呢？研究其他版本教材对面积教学的编排有何异同，有助于教学的进一步优化。

一、实验教材与2011版义务教育教科书（以下简称2011版教材）之间的对比

1．主题图的变化。

实验教材 2011版教材 变化探析2011版教材将实验教材中的老式电视机改成了液晶电视，删去了墙报内容，同时增加了国旗。这样的改变使整个主题图更加突显“面”的特征，主题也更加突出了。

2．例题的第一个变化。

面积和面积单位 面积和面积单位观察黑板面和国旗的表面，说说哪一个面积较大。黑板表面的大小就是黑板面的面积。国旗表面……黑板面比国旗面大你能像这样说说其他物体的表面的面积吗？课桌表面的大小就是课桌面的面积。数学书封面的大小就是数学书封面的面积黑板与电视机的屏幕哪个大？数学课本和练习本的面积，哪个大？做一做摸摸你的字典的封面和侧面，说说哪一个面的面积比较小。下面两个图形，哪个面积大？用重叠的方法也比较不出来，怎么办？实验教材 2011版教材 变化探析2011版教材删去了面积的定义，采用描述的方式让学生理解面积的含义，同时增加了“做一做”的内容，要求学生摸一摸字典的侧面和封面并比较这两个面的大小。这两个图形，哪个大？ 看不出哪个面积大？物体的表面或封闭图形的大小，就是它们的面积。

3．例题的第二个变化。

用什么样的图形表示面积单位比较合适？ 可以选用一种图形作单位来测量。选用 不合适。选用 测量不合适。 面积 作单位来量我选 来量常用的面积单位有平方厘米、平方分米和平方米。 我选 来量（1）边长1厘米的正方形，面积是1平方厘米。 1平方厘米 用哪种图形作面积单位最合适？为什么？哪个手指甲的面积最接近1平方厘米？做一做下面图形的面积各是多少？（2）边长1分米的正方形，面积是1平方分米。（2）边长1分米的正方形，面积是1平方分米。实验教材 2011版教材 变化探析2011版教材更加重视用统一的单位进行测量的形成过程，让学生在自主选择、拼摆、比较的过程中，体会到正方形“既能密铺所测图形，且拼摆方便”的特点，并通过各种情况的直观对比，使学生明确用正方形作面积单位合适。这个知识点与面积单位分课时教学。个个个

与实验教材相比，2011版教材主要体现以下两个特点。

1．关注学生对面积概念的真正理解。

删去面积的定义和采用描述方式说明面积的含义，既避免学生死记硬背定义，又不使教师将工夫用在指导学生叙述面积的定义上，而忽视引导学生对面积含义的真正理解。

2．注重对面积概念认识的全面性。

由于学生常常误认为只有向上摆放的“面”才有面积，因此2011版教材增加了“做一做”的内容，使学生对面积的认识更加广泛。同时，为避免学生一提到面积就想到长方形和正方形，2011版教材在练习中还增加了不规则图形面积的比较，以突出面积概念的本质。

3．加强用统一的面积单位进行测量的辨析比较。

2011版教材全面呈现了利用正方形、三角形和圆拼摆后得到的不同结果，并通过操作、对比，以一种强烈的视觉冲击来引发学生选择合适的面积单位进行测量的需求。

二、不同版本教材之间的对比

各版本教材都在三年级下册安排了“面积的认识”这一内容，但在具体编排上又有所不同。如下表：

教材比较内容版本引出面积的主题图素材对面积的定义统一面积单位的必要性面积单位人教版面积和面积单位黑板和电视机的屏幕哪个大？黑板和国旗。数学课本和练习本的封面哪个小？采用“黑板表面的大小就是黑板面的面积”的描述方式说明面积的概念。单独安排例题进行教学。这两个图形哪个大？物体的表面和封面图形的大小，就是它们的面积。比较看不出大小的长方形和正方形面积，提供正方形、圆、三角形让学生摆一摆，使学生从中体会到正方形“既能密铺所测图形，且拼摆方便”的特点，明确用正方形作面积单位合适。北师大版比一比，哪个图形的面积大？剪下附页2中图3试一试。物体的表面和封面图形的大小，就是它们的面积。量出每边的长度，再加起来比较。你比的是周长，而不是面积。你可以剪一剪，摆一摆。我用小正方形，摆一摆。语文书和数学书封面、1元硬币和1角硬币正面、两片树叶。下定义：物体表面和封闭图形的大小就是它们的面积。比较看不出大小的长方形和正方形面积，让学生辨析周长和面积的区别；在用重叠法不能比较面积大小的情况下，引出在格子图中比一比的方法；再通过将语文和数学课本封面置于单元格大小不同的方格图中，以此制造认知冲突，引出统一面积单位的必要性。在统一面积单位必要性的基础上马上学习。苏教版看一看黑板和课本的封面，说一说哪个面比较大，哪个面比较小。黑板面的大小是黑板面的面积，课本封面的大小是课本封面的面积。黑板面的面积比课本封面的面积大。摸摸课桌面和椅子面，比比哪一个面积比较大，哪一个面积较小。你能指出一物体的面，并比较它们的面积吗？把下面两个图形涂上颜色，再说说哪个图形的面积大一些。黑板面和课本封面。采用“黑板面的大小就是黑板的面积”“课本封面的大小就是课本封面的面积”的具体描述方式。先比较通过观察法或重叠法能得出结果的正方形和长方形面积，再比较不能通过观察法和重叠法得出结果的两个长方形面积，引出放在格子图中比大小的方法。最后，通过创设测量课桌面大小的情境，引出统一面积单位的必要性。在统一面积单位必要性的基础上马上 学习。

由上述比较中不难发现，三个版本的教材在整体编排上呈现了以下的相同点：先认识面积和面积单位，再探究长方形和正方形的面积计算公式，最后学习面积单位之间的进率；通过看一看、比一比的内容，安排两个图形比较大小的实践操作活动，让学生体会面是有大小之分的；在比较两个图形的过程中，都通过重叠和摆一摆的方法来认识面积单位。同时，这三个版本的教材在细节上又各有不同：在材料的呈现上，人教版教材和苏教版教材都采用了规则的表面为长方形的实物，而北师大版教材将长方形、圆和不规则封闭图形都呈现出来；在概念的呈现上，人教版教材和苏教版教材均采用具体描述的方式，北师大版教材依旧采用下定义的方式；在统一面积单位的教学中，人教版教材比较直接，更注重对拼摆结果的比较分析，而苏教版教材和北师大版教材注重比较的层次性，且将统一面积单位的必要性安排在教学的引入中。

兼容并施·有效建构·丰富教学之内涵

根据本校学生关于面积的学情以及对教材的进一步解读，我在自己的教学实践中，主要通过以下几个方面来组织学生开展对“面积”的研究学习。

一、抓住知识的生长点，拓展关于“面积”的内涵

教师的教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础。学生在平时的生活中已经知道物体有“面”，知道这些“面”有大有小，这是十分宝贵的教学资源，也是让学生进一步掌握面积知识的基础。学生能轻松地找到黑板表面、课本封面以及比较出它们的大小，但这仅仅只是生活经验的再现。为了消除学生因生活经验而产生的定式，人教版教材安排关于字典的侧面的认识，教师在课堂中可按照以下几个层次进行教学：（1）直接告诉学生“数学书封面的大小就是数学书封面的面积”，并通过板书让学生模仿着说，规范学生的语言，让学生逐步内化所学概念。（2）鼓励学生寻找身边一些物体的面，先摸一摸，再说一说，前者是让学生用动作来表示对面积的认识，后者是要学生用含有面积的词来进行解释。（3）先通过比一比，引导学生比较各个面积的大小，再让学生体会每个面都是有大小的。在学生交流举例时，教师一定要要求学生边指边说，形成正确、清晰的知识表征。（4）制造或利用学生的认知冲突，解决面积并非只是物体的封面或底面的问题，并将教材中的字典换成数学书，用比较小的侧面来强化学生的认识——原来这里也有面积，完成对物体表面面积概念内涵的一次澄清。

在教学中，学生对铅笔盒盖的面积产生了争论，教师没有打断和直接告诉学生到底什么是铅笔盒盖的面积，而是给予生生之间足够多的交流时间，引导学生通过相互间的质疑、解释，总结出铅笔盒盖的面积，最后及时进行评价。

片断：物体表面的大小是物体表面的面积

师：手掌的大小就是手掌的面积。（板书）轻声读一读这句话，与同桌边指边说说什么是手掌的面积。（师示范，学生模仿说什么是黑板表面的面积）

师：在身边找一个物体，边摸边说说什么是这个物体表面的面积。

生1：铅笔盒的大小是铅笔盒表面的面积。

师（指铅笔盒盖）：铅笔盒的表面包括六个面，我猜刚才这位同学说的是铅笔盒上面的大小是它上面的面积，是吗？

生2：铅笔盒一圈和上面不是平平的，铅笔盒底面是平的，所以底面的大小是铅笔盒底面的面积。

师：关于铅笔盒某个面的面积，其他同学的意见呢？生3：我认为铅笔盒盖虽然高高低低，但也是有面积的，把它拉平后的大小仍是上面的面积；铅笔盒下面的大小是它下面的面积。

师：你的总结真好，还能举例吗？

……

师：将课桌面的面积和黑板面的面积比比大小。（生动手操作并相互举例）

师：同学们，我们刚才观察到各种物体的面，它们有大有小，并且每个面都有它确定的大小。数学上，我们把物体表面的大小称为物体的表面积。

……

二、抓住知识的矛盾点，促进关于“面积”的内化

尽管修订后的人教版教材不再用下定义的方式来揭示面积的意义，但教师的教学若停留在此是远远不够的。而且，学生是在认识周长的基础上来学习面积的意义的，所以教师教学中要通过大量直观的、日常生活中的实例，引导学生充分感知、认识面积与周长的不同，并用对比的教学手段，帮助学生正确区别周长与面积的不同含义。但对于更加抽象的平面图形，周长和面积对于学生而言更易混淆。因此，教师需要制造认知矛盾，激发学生主动内化所学知识的欲望。

第一个矛盾点，让学生用彩色粉笔表示出长方形的面积。学生出现“描边”和“涂面”两种不同的意见，但大多数学生选择“涂面”，说明他们对图形面积的概念有了一定的认识，没有受到周长知识的负迁移影响。

第二个矛盾点，为学生准备一个角，让学生再次来表示出它的面积。此时学生相当一致地认为不能表示出面积，并通过与长方形对比得出角不是封闭的，所以面积无法确定，从而更进一步让学生感受到封闭图形的大小就是它的面积。

片断：封闭图形的大小叫做面积

师：物体的表面有大小，那平面图形有大小吗？（出示长方形）你能用彩色粉笔表示出长方形的面积吗？（生1用粉笔描出长方形一周的边线，其他学生不同意，说“描的是长方形一周的长，是周长”；生2用粉笔涂了长方形的面，多数学生赞成）

师：为什么不同意生1的表示？

生3：他描的是边框，没有表示出里面的面。

师：用手势比划一下，长方形的面在哪里？什么是面积？（板书：长方形的大小是长方形的面积）

师（出示角）：老师这里还有一个图形，你能表示出它的面积吗？（生齐声说“不能”）说说你们的理由。

生4：长方形是封闭的，角是不封闭的，所以面积无法确定。

……

三、抓住认知的层次性，完善关于“统一面积单位”的学习

个人认为，北师大版教材和苏教版教材中“统一面积单位”这一板块的内容更加饱满、充实，遵循了学生的认知规律。因此，在进行“统一面积单位”的教学时，我根据观察法、重叠法、比较法，设计了三个不同层次的教学活动，使学生在已有经验的基础上无法比较出两个图形的大小，从而产生认知冲突，激发学生进一步探索比较方法的强烈愿望。这里，教师适时为学生提供所需要的素材，让学生摆一摆、想一想，再通过不同小组间对成功和失败的讨论，最终使学生深刻认识到必须用形状相同、大小相同的小图形去摆，也就是用统一的面积单位来进行测量。这一系列的探究学习活动，有利于学生知识的形成和建构，培养了学生的探索意识和合作能力。

片断1：统一面积单位

师（出示两个大小相似的长方形）：现在有两个长方形，你能看出谁大谁小吗？

生1：把两个图形重叠起来。

生2：我觉得重叠不行，因为重叠后要把两个图形多余的部分剪下来再进行比较。

师：看来，有时候用重叠的方法无法比较图形的大小。有同学想到了剪拼的方法，如果现在不破坏这两个图形，有更好的比较方法吗？

生3：先在两个图形上摆一些图形，然后看看摆的数量就能知道图形面积的大小了。

师：大家同意吗？想不想试一试？（生动手操作验证）有结果了吗？

生4：我们在一个长方形上面摆了15个小正方形，在另一个长方形上面摆了14个小正方形。

生5：我们组的工具不能用，因为一个是圆形，一个是三角形，不好比较。

生6（将作品展示，用于比较的正方形有大有小）：我们的工具也不好用。

师：你发现了什么？

生6：要用同样大小的正方形比较合适。

师：说得真好，在计算面积时就要用面积单位。

……

片断2：选择合适的面积单位

（生选择图形拼摆，看看能摆多少个同样的图形）

师：同学们通过摆一摆，摆出了这样几幅作品（如下图），谁能说说看，你觉得哪一幅作品更棒？

生1：我喜欢第一幅和第四幅作品，因为它们不仅选择了同一种图形，而且摆好以后没有空的地方。

生2：我最喜欢第一幅和第四幅作品，可能有时候没法用其他图形摆出来。

师：同学们说得非常棒，既说明了理由，又考虑到了要根据图形来选择合适的面积单位。

……

四、弥补认知的不足点，丰富关于“面积”的外延

在整个研究过程中，学生对面积的认识停留在对长方形和正方形的大小上。三个版本的教材都涉及关于圆和其他不规则的封闭图形，对于刚开始在长方形和正方形周长的基础上认识面积的学生来说，北师大版教材在一开始时就给出变式，我认为这会对学生建构面积的意义造成新的困难，因此更倾向于在练习中进行突破。

片断：图形方向、形状不同，面积可以相同

出示练习要求：在练习纸上画一个与这个图形面积一样的图形，并想一想它们的面积为什么相同。

（学生思考后反馈交流）

第一种：形状相同。

第二种：形状不同。

师：为什么这些图形的面积相同呢？

生1：因为它们都是用了4个小正方形。

师：我们再来看几个形状不同的图形，它们的面积相等吗？（生答略）老师也画了两个图形（如下图），你们觉得它们的面积一样吗？

师（总结）：形状的变化，对于图形的面积没有影响。任何的封闭图形都有面积。

……

通过让学生整体感受度量的学习，体会到所要测量的面的实际意义，势必对度量的本质有整体认知。这样的学习方法还将迁移到体积和体积单位的学习，具有举足轻重的作用。所以，教师要善于从学生的学情出发，为符合学生认知的理解而教；善于确定教材的重、难点，为学习内容的本质而教。