电桥电路的一组等效电阻公式的推导证明及与此相关的电路特点分析

袁 航

（苏州高等职业技术学校，江苏 苏州 215009）

0 引言

本文所指的电桥电路如图1所示。此类电桥电路的等效电阻公式可以用电阻的星三角变换方法来推导得出，也可以用假设电源配合复杂直流电路分析方法来推导得出，但所得等效电阻公式结构较为复杂，规律不易见。通过具体化电路图1中五个电阻的阻值，并进行等效阻值的计算，再记录和分析计算过程中的一些特殊参数，不难推测电桥电路的等效阻值与图2、图3、图4等电路的阻值间存在着一定的数学关系。下面主要就该数学关系进行推导证明，并对与此相关的若干电路特点进行阐述。

图1 电桥电路

图2 R短电路

图3 R断电路

图4 R中电路

图5 星三角变换

1 电桥电路的一组等效电阻公式的推导证明

1.1 设立特殊参数

（1）图2为R0取短路情况时的电桥电路，此时电桥的等效阻值为桥臂阻值固定的所有情况中的最小值，设为R短，计算式为：

（2）图3为R0取断路情况时的电桥电路，此时电桥的等效阻值为桥臂阻值固定的所有情况中的最大值，设为R断，计算式为：

（3）设如图4电路的等效阻值为R中（该阻值参数的意义稍后叙述），计算式为：

1.2 公式推导

电桥电路等效电阻公式采用星三角变换的方法有多种，本文采用如图5所示方法进行电路的等效变换。图5为图1电路中作三角形连接的三个电阻R0、R1、R3等效变换为星型连接后的电路，其中：

按图5的电阻连接方式，等效电阻公式的推导过程如下：

整理后可变换为如下等效电阻计算式：

经过公式变换，可得如下关系式：

2 电桥电路的若干有趣的特点

2.1 中间值特点

由公式（3）可知，当R0=R中时，电桥等效阻值R=（R短+R断）/2，恰好为桥臂阻值固定的所有情况中最小等效阻值和最大等效阻值（即两个极值）的中间值（因此命名为R中），此间关系如图6所示（图中带阴影的电路仅表示此电路等效阻值，下同）。

图6 电桥电路相关特点一

2.2 等效阻值的比例分割特点

由公式3可知，电桥的等效阻值R位于上述最小等效阻值R短至最大等效阻值R断值域内的某个特殊位置，该位置恰好将整个值域划分为比例为R0：R中的两份。此概念下的电桥等效电阻可视为R0与R中进行比例计算，从而在R短和R断间按比例匹配位置的结果，此间关系如图7所示。

图7 电桥电路相关特点二

2.3 极值的比例对称特点

设如图8所示电路CD间的等效阻值为R短2，则计算式如下：

可得关系式R断：R短=R中：R短2，可见四桥臂组成的四端电路，将端点划分成两组各两端AB和CD，再分别取断路和短路时的等效电阻之比完全相等，此间关系如图9所示。

图8 R短2电路

图9 电桥电路相关特点三

3 总结

本文所得各规律公式是从电桥的平衡状态入手进行计算分析及寻找规律，再逐渐过渡到对比较特殊的非平衡状态的电桥电路的计算分析及寻找规律，最终在非特殊的非平衡状态的电桥电路中推测出规律公式并通过数学方法予以证明。公式（1）（2）虽然未必精简，但已经具有了某种数学上的对称性和规律性，甚至是趣味性，这在一定程度上方便了理解和记忆，对进一步探寻更精简更本质的电桥电路等效电阻公式也是有益的。

［1］姚东来，吴银忠.无规电阻网络的等效电阻［J］.大学物理，2003（3）.

［2］谭志中，方靖淮，罗达峰.2×n阶网络对角等效电阻的另一种公式［J］.南通大学学报（自然科学版），2009（8）.