关于孤立导体在点电荷静电场中的感应电荷分布情况探讨

陕西宝鸡中学 林嘉豪

1 引言

导体中存在着大量可以自由运动的电荷，称为自由电荷。当孤立导体处于静电场中时，自由电荷将在电场力的作用下发生移动并聚集在导体表面，这种现象称之为静电感应现象[1]。导体表面的感应电荷将在导体内部建立起与原静电场方向相反、大小相等的电场，从而使得导体内部为等势体，不存在任何电场分布，此时导体的状态称之为静电平衡状态[2]。对于静电平衡态时导体表面的感应电荷分布情况，已经有一些理论推导和定性分析[3-7]。然而这些分析都没有直观的给出导体的感应电荷分布情况及其影响因素。本文通过有限元方法对点电荷静电场中的孤立导体进行建模仿真，并定量分析其感应电荷的分布情况及其影响因素。

2 静电感应现象理论基础

通过查阅高等电磁理论可知，麦克斯韦方程组可以描述一切电磁场相关的物理规律，其中关于电场的高斯定理可以描述静电场相关的现象。因而本文从电场的高斯定理出发，采用有限元方法建立二维模型对孤立金属球在点电荷静电场中的感应电荷分布情况进行了定量的数值仿真分析，相应的电势分布及电场线如图1所示。其中Q0表示源电荷的带电量，D表示金属球与源电荷的距离，R表示金属球的半径。以金属球的球心为坐标原点，如图1(a)建立坐标系（本文中均采用这一坐标系定义）。则当金属球半径R已知时，可以用.表示金属球表面上任意一点。由图1可见，将孤立金属球导体放入点电荷产生的静电场中，会显著影响静电场中的电势即电场线分布，即是静电感应的结果：1)金属导体为等势体，导体内部电势处处相等；2）金属导体内部没有电场线，说明导体内部没有电场分布；3）金属导体附件的电场线被截断，部分电场线从源电荷出发止于金属导体表面，还有部分电场线从金属球表面出发，说明金属导体表面存在着感应电荷分布，根据电场线的方向可以进一步判断出金属球左右两侧感应出的电荷为异种电荷。下面将进一步具体分析这些感应电荷的分布情况及其影响因素。

图1

图1 圆形导体在点电荷电场中的静电感应现象：(a)等势线；(b)电场线。其中Q0=10 C，R=10 cm，D=10 cm。

3 感应电荷分布的影响因素

由图1(a)可知，上述静电感应模型包括3个参数，即源电荷带电量Q0，金属球半径R，金属球与源电荷距离D。接下来逐一分析这几个参数对感应电荷分布情况的影响。

通过有限元方法的数值仿真，我们可以得到金属球表面上任意一点的感应电荷密度 。如图1(a)所示，在金属球表面靠近源电荷的区域会感应出异种电荷，在距离源电荷最近的点（）感应电荷的密度最大。而且随着与源电荷距离的增加，感应电荷密度逐渐减小，直至为。此后随着与源电荷距离的增加，感应电荷变为源电荷的同种电荷，而且电荷密度逐渐增大，直至距离最远点时（）电荷密度最大。在R、D保持不变的情况下，进一步对比分析源电荷带不同电荷量时的感应电荷分布：随着源电荷带电量的增加，金属球上任意一点的感应电荷密度都会等比例的增加。即不同源电荷带电量下 的分布曲线都完全重合，如图所示。因此，在后续分析R、D对感应电荷分布的影响时采用归一化感应电荷密度（）来表征以便排除源电荷带电量对分析结果的影响。

图2(b)所示的是在D=10 cm时分析R对感应电荷的影响。由图可见，1）无论R如何变化，金属球表面距离源电荷最近点（）的归一化感应电荷密度都不变且为最大,原因在于这一点到源电荷的距离不随R而变化且最近；2）随着R的增加，距离源电荷最远点（）的电荷密度逐渐减小；3）随着R的增加，金属球表面感应电荷密度为0的点对应的 向着远离源电荷的方向移动。同理，可在R=10 cm时分析D对感应电荷的影响，如图2（c）所示。随着D的增加，金属球表面距离源电荷最近点（）以及距离源电荷最远点（）的归一化感应电荷密度都会显著减小；而金属球表面感应电荷密度为0的点对应的也向着远离源电荷的方向移动。

为了进一步分析其对金属球总体感应电荷量的影响，我们对整个金属球表面感应电荷密度进行积分求和，最终发现金属球整体带的电荷总量为0。说明静电感应现象并没有产生电荷，只是将金属中的正负电荷分开了而已。为了分析被分开的电荷总量Q随R、D的变化关系，我们将金属球表面归一化感应电荷密度为正的所有区域进行积分求和，可得归一化总感应电荷量Q/Q0，如图2(d(所示。归一化总感应电荷量会随着D的减小而显著增加，随着R的增加也会有所增加但增加量不够显著。这一现象说明金属球归一化总感应电荷量受R、D两个参数的共同影响，但其中D对其的影响更为显著。

图2

4 结论

综上所述，本文从麦克斯韦方程组中的电场高斯定理出发，利用有限元数值计算方法定量仿真分析了金属球在点电荷静电场中的感应电荷分布情况。当将孤立金属球放置到点电荷附近时，在静电场的作用下金属球内部的正负电荷会分开，从而产生感应电荷。感应电荷仅分布着金属导体表面，其靠近源电荷端感应出异种电荷且与源电荷距离最近点的感应电荷密度最大，同时远离源电荷端会感应出源电荷的同种电荷且与源电荷距离最远点的感应电荷密度最大。进一步分析发现：1）随着源电荷带电量的增加，金属球上任意一点的感应电荷密度都会等比例的增加，即源电荷带电量不会影响归一化感应电荷密度的分布；2）金属球的半径R越大、金属球与源电荷的距离D越小，相应的感应电荷量就会越多，而且其中D的影响更为显著。上述的分析方法是从最基本的理论基础出发，因而可以推广到任意形状孤立导体在任意源电荷电场中的静电感应分析，具有广泛的应用价值。

图2归一化感应电荷密度分布随(a)源电荷带电量、(b)金属球半径R、(c)源电荷距离D的变化关系的变化关系；(d)归一化总感应电荷量（Q/Q0）随金属球半径R、源电荷距离D的变化关系。

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