数学课程体系中的知识组织方式

张月莲周启元 刘丽芳 陈晔



数学课程体系中的知识组织方式

张月莲,周启元, 刘丽芳, 陈晔

(湖南文理学院数学与计算科学学院, 湖南常德, 415000)

以无穷小量、重要极限、微分中值定理及泰勒公式等知识点为例,探讨了课程体系中科学合理的知识组织方式, 并分析了不同的组织方式对教学效果的影响。结果表明: 知识内容在体系中相互渗透, 联系客观存在; 合理的知识组织方式及课程知识体系的更新对知识的充分理解、正确接受有重要帮助。因此, 探讨数学课程体系中知识组织方式是十分必要的。

数学课程体系; 知识组织方式; 探讨

无论是国内, 还是国外, 由于数学在自然科学和社会科学中的地位和作用, 以及数学的历史性和社会性, 对数学的课程体系、教学内容、教学方法、教学手段的探讨一直是数学教育和教育数学长期而持久的课题。对数学教育进行研究的目的, 归根结底是让数学容易学, 让学习者认识到数学体系的价值, 使数学服务于人类, 造福人类[1]。怎样让数学容易学, 不同的知识组织方式会有截然不同的效果。近些年, 教学手段和教学方法的不断推陈出新, 对教学内容进行了强化, 也不断调整了知识的组织方式。在近年来不断改版和重新编写的教材中, 这种调整只限于现有指定教材内容模块的组合, 而没有反思教材本身的组织方式是否是最佳的方式。因此, 探讨相关知识内容的相对较好的组织方式对数学学习的难易有十分重要的影响, 也有十分重要的意义。

1 知识组织方式的客观性与必要性

已有的相关文献只是在现有教材内容基础上, 探讨教什么和怎么教的问题, 而没有注重教材本身的体系和知识组织方式的问题。进入了课堂的数学内容, 是不同的人在不同的时间、不同的地点, 为解决不同的问题而创造出来的, 它们中的大部分并不是为了教学目的而设立的, 这些内容是否相互结合得很好, 适合教授和学习都是值得探讨的。本文以高等数学中的某些知识点为例探讨知识组织方式的客观性与必要性[2]。

无穷小量是高等数学中十分重要的概念。什么是无穷小量？为什么要学习无穷小量？无穷小量的价值和意义应该以什么样的方式传授给学习者？后继的概念和理论是怎样使用无穷小量的? 等等这些问题的解答都需要客观而综合的相关知识组织体系。事实上, 牛顿和莱布尼茨从直观的无穷小量出发建立了微积分, 这门学科早期也称为无穷小分析, 如后面课程中的导数概念就是2个无穷小量的商的极限问题。只有对课程体系中的无穷小量相关知识选择符合学生认知过程的组织方式, 才能最恰当地让学习者准确快速弄清楚无穷小量这一概念。因此,对现有知识组织方式做合理及必要的调整是有意义的, 其客观性与必要性也是显而易见的。

2 知识组织方式的理论性与渗透性

数学家是为了解决问题, 通过提出理论以获得更为深刻的理解而工作的。数学家所追求的是“在极度复杂的事物中揭示出的极度的简单性; 在极度离散的事物中概括出的极度的统一性; 在极度无序的事物中发现的极度的对称性; 在极度平凡的事物中认识到的极度的奇异性。”[4–5]

数学家的研究成果若写进教材, 教师应立足于实际的教学问题和教学对象, 使新获得的知识与已有的知识经验之间产生更为广泛的联系, 从而真正成为很好地组织起来的整体性知识的一个有机组成部分。如微分中值定理这一内容中介绍的3个定理: 罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理, 教材中只是强调其理论性即结论和证明, 而对其进一步的渗透性即价值和地位表述甚少。事实上, 罗尔定理与拉格朗日定理将函数与函数的导数紧密相连。在已有知识体系中, 有限增量公式与费马定理建立起了这种联系。费马定理: 导函数′()的零点与原函数()的极值点有关系, 原函数()是可能的极值点, 若函数在区间内部取得最大(小)值, 则该最大(小)值点就必然是函数的极值点, 于是保证函数()的导函数′()存在零点的问题就转化为只要能够保证()在区间的内部至少取得最大值或最小值之一, 且在最大值点与最小值点处可导, 而这正是罗尔定理的条件。罗尔定理的第3个条件() =()是很重要的, 它是构造辅助函数的前提, 为证明提供了方向。取消该条件后既是拉格朗日中值定理: 若()在[,]上连续, 在(,)内可导且() ≠(), 则至少存在使, 变形为, 就又转化为在内的零点存在问题, 从而构造出辅助函数, 在不改变导数表达式的前提下, 修改函数1()为, 最终使得()满足罗尔定理的第3个条件, 从而完成了拉格朗日定理的证明[6]。罗尔定理指出了极值点和驻点的关系, 为求最大最小值提供了理论支持。拉格朗日定理对函数性态的研究, 对微积分基本公式的证明, 对微分与增量之间关系的研究都提供了技术支撑, 而柯西定理以更广阔的视角提供了用导数求极限的不可多得的好方法。因此, 在认知者的知识储备和认知能力及讲授时数都受限的情形下, 知识的组织方式就显得极为关键和重要, 探讨知识组织方式的理论性与渗透性是非常必要的。

使复杂的问题简单化是人类的追求, 更是数学的目标。数学这门学科从诞生之时, 就朝着这个方向在努力。微积分尤其如此, 如用微分代替增量, 用最简单的等价量代换复杂的等价量。泰勒公式就是使复杂的问题简单化的典型, 也是高等数学中非常重要的一个内容。这是一种重要的数学思想, 也提供了一个近似计算的不可多得的好方法。怎样用多项式近似地表示一个函数, 或者说用多项式逼近一个函数, 这对函数值的计算与理论研究都有重要意义。对于一个函数用什么样的多项式去逼近它, 有多种方法, 而泰勒公式是最常用、最基本的一种方法。要在有限的篇幅中讲清楚泰勒公式的内容、意义及其极为广泛的应用, 是需要教育者积极探讨其中知识组织方式的理论性与渗透性的。教材中用一节的篇幅介绍了泰勒公式及其证明, 并举例说明了它的应用。这种知识的组织方式无疑强调了泰勒公式的理论价值, 但削弱了公式的实践价值, 让学习者在很长一段时间里不知道泰勒公式的实际意义和实用价值。用多项式来近似代替函数这是一种用简单代替复杂的有效而实用的方法。由此可见, 对于这些知识点和教材本身的知识体系, 探讨其组织方式的理论性与渗透性是非常必要的。充分挖掘微分中值定理、泰勒公式等这些定理的广泛渗透性, 让所有定理都成为学生的关注点和兴趣所在, 并且爱上定理、寻找定理背后的真理, 这才是数学真正的价值和教育目标。

3 结论

信息时代的来临只是改变了教师讲授知识的手段, 课程中的深层次的知识体系的组织与链接的探讨是十分必要的。本文结合多年的教学实践, 就某些内容的知识组织方式进行了具体的教学尝试, 收到了一定的成效。学生的认知能力有显著提高, 实践能力也有较大的改善。对课程体系的组织与知识体系的更新及对知识的充分理解、正确接受、合理调整、准确表述, 是教育数学和数学教育永恒的话题。因此, 探讨数学课程体系中知识组织方式是十分必要的。

参考文献：

[1] 张楚廷. 数学文化[M]. 北京: 高教出版社, 1999: 310–316.

[2] 李尚志. 数学的神韵[M]. 北京: 科学出版社, 2010: 26–32.

[3] 刘光旭, 萧永震, 樊鸿康. 文科高等数学[M]. 天津: 南开大学出版社, 2005: 55–57.

[4] Rota G C. The phenomenology of mathematical beauty [J]. Syntheses, 1997, 111(2): 171–182.

[5] 萧昌建. 人文数学导引[M]. 成都: 西南交通大学出版社, 2006: 169–173.

[6] 同济大学应用数学系. 高等数学[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社, 2012: 158–162.

(责任编校:刘刚毅)

The arrangement methods of knowledgein mathematics curriculum system

Zhang YueLian, Zhou QiYuan, Liu LiFang, Chen Ye

(Department of Mathematics and Computational Science, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

In order to infinitesimal, important limit, differential mean value theorem and Taylor formula knowledge point as an example, discusses the scientific and reasonable way of knowledge organization system of curriculum, and analyzes the influence of teaching effect of different knowledge organization mode. The results show that: knowledge permeates in the curriculum system, and the contact between knowledge is external existence; reasonable way of knowledge organization and update of knowledge system of the courses can be helpful to fully understand, accept the knowledge correctly. Therefore, to explore the knowledge organization of mathematics curriculum system is very necessary.

mathematics curriculum system; arrangement methods of knowledge; discussion

10.3969/j.issn.1672–6146.2015.02.019

G 642.0

1672–6146(2015)02–0067–03

张月莲, 601357303@qq.com。

2014–12–15

湖南文理学院教改项目(JGYB1213, JGYB1427, JGYB1428)。