MATLAB中隐函数绘图方法探究

杨海勇

摘 要：MATLAB作为一种功能强大的仿真软件，在科学计算和工程绘图方面也有广泛的应用。针对隐函数求解不便并且图形难以手工绘制的问题，该文研究用MATLAB软件绘制二维隐函数曲线和三维隐函数曲面的方法：利用软件提供的ezplot函数可以直接绘制二维隐函数曲线，并讨论了二维隐函数带变量使用的情况；采用等值面计算函数isosurface和面元渲染函数patch可以分步实现三维隐函数曲面的绘图。根据上述方法给出一些具体应用实例和绘图结果。实践表明，MATLAB软件能有效解决比较复杂的隐函数绘图问题。

关键词：MATLAB 二维隐函数 三维隐函数 绘图

中图分类号：TP31 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）11（a）-0011-02

MATLAB是当今流行世界的仿真软件，更是一种效率高、功能强的工程数学软件，它具有出色的图形处理能力，在科学计算和工程绘图方面有大量的应用。

对于一些多元函数特别是隐函数类的数学问题，其求解和图形绘制工作仅仅依靠人工是难以实现的，而MATLAB软件正是解决这类复杂数学问题的一种很好的工具。

MATLAB软件包含了一系列种类齐全的绘图函数，例如二维图形中基本的plot函数、三维曲面的mesh函数。在隐函数绘图方面，软件提供了ezplot函数可以直接绘制二维隐函数曲线，但在解决三维隐函数曲面的图形绘制方面，却仍然是一个难题，因为软件里并没有提供能直接绘制三维隐函数曲面的函数，需要我们寻找其他方法解决这一问题。

该文主要探讨利用MATLAB软件绘制二维隐函数曲线和三维隐函数曲面的方法，并给出具体应用实例。

1 二维隐函数绘图

二维隐函数是指满足方程f（x，y）=0的x，y之间的关系式，由于隐函数求解不便，很多都无法求出x、y之间的关系，也就不能写成y=f（x）的形式，因此基本的二维绘图命令plot（x，y）是不能应用的。对于这类隐函数的图形绘制问题，MATLAB提供了函数ezplot（ ）可以直接绘制隐函数f（x，y）=0的曲线。

1.1 函数ezplot基本格式及绘图应用

对于隐函数f=f（x，y），ezplot的基本调用格式是：ezplot（f），这是在默认区间-2pi

也可以人工指定区间范围：xmin

例如要绘制隐函数

的曲线，可以采用下列两种语句：

执行后得出如图1所示的绘图结果，这是一种心形线。

1.2 隐函数带变量使用的情况

隐函数带变量的情况也很常见，例如隐函数。

根据实际需要可将a事先具体赋值，但使用中应注意，绘图语句不能简单采用前面基本格式的形式，例如a=2；ezplot（'x^2+y^2+a*x-a*sqrt（x^2+y^2）'），这样并不能执行绘图。因为函数包括单引号时，相当于是符号表达式，变量a的值作为一个参数，不能传进函数，导致ezplot（）不能正常绘图。

要把参数a的值传进函数，就不能用单引号括起函数，因此正确的做法是先利用syms函数定义多个变量，再用ezplot（）对隐函数画图，应注意函数不带单引号。绘图语句如下，绘图结果和前面图1完全相同。

1.3 带有多个变量的隐函数组的绘图

已有方程组f（x，y）=x+y^2=a，g（x，y）=x^2-y=b，（a，b均为常数），可以方便地解决这类带有多个变量的隐函数组的绘图问题。以a=3，b=-3这种情况为例，给出绘图的语句和绘图结果图2。

其中hold on语句的作用是将当前已有图形保持，并允许添加新绘制的图形。title（ ）的作用是给图形加题头。

2 三维隐函数绘图

三维隐函数是指在满足方程f（x，y，z）=0的条件下，z关于x、y的关系式，即z=g（x，y），这里g（x，y）的显式表达式无法求取，不能采用普通的绘图函数来绘制其曲线。下面主要探讨采用等值面计算函数isosurface（）和面元渲染函数patch（ ）来分步实现三维隐函数曲面的绘图方法。

2.1 三维隐函数分步绘图步骤

首先对要使用的两个重要的图形函数做一些简要介绍。

isosurface的调用格式：[f，v] = isosurface（x，y，z，val，isovalue），它是等值面计算函数，其作用是返回由isovalue指定的某个等值面的表面（Faces）和顶点（Vertices）数据，并存放在结构体f、v中。对于画隐函数v=f（x，y，z）=0的三维图形，则isovalue=0。

patch是面元渲染函数，对曲面进行修饰。它的调用格式包括：

patch（x，y，z，c）以三维坐标（x，y，z）为顶点，构造三维曲面，c是RGB颜色向量。

patch（f，v）通过包含Faces、Vertices两个域的结构体f、v来构造三维曲面，f和v可以由等值面函数isosurface计算而得。

对于三元显函数v=f（x，y，z）来说，当v=0时的等值面就是z=g（x，y）的三维曲面。isosurface函数可以计算v=0的等值面，返回结果包括表面和顶点数据，并存放于结构体f、v中，再输入给patch函数，能构造三维曲面，还可以根据需要设置颜色、亮度、三维视角等。

根据上述方案可以归纳出三维隐函数的分步绘图步骤。

（1）用meshgrid函数产生网格点，同时可确定坐标范围。

（2）引用隐函数表达式计算格点函数值val。

（3）调用[f，v]=isosurface（x，y，z，val，0）计算隐函数等值面并返回到f、v。

（4）调用patch（'Faces'，f，'Vertices'，v，'facecolor'，'none'，'EdgeColor'，'flat'）对曲面修饰。

2.2 三维隐函数绘图应用举例

以心形图函数

为例，按照上述绘图步骤，给出程序语句和三维心形图的绘图结果图3。

3 结语

该文介绍了利用MATLAB软件中的绘图函数ezplot（）直接绘制二维隐函数曲线的方法，以及采用等值面计算函数isosurface（）和面元渲染函数patch（ ）分步实现三维隐函数曲面的绘图方法。实践表明，上述方法效率高、容易实现，能有效解决比较复杂的隐函数绘图问题。

参考文献

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