互补设计在广义离散偏差下的均匀性

李洪毅, 黎奇升, 欧祖军*

(1.吉首大学 师范学院, 湖南 吉首 416000; 2.吉首大学 数学与统计学院, 湖南 吉首 416000)



互补设计在广义离散偏差下的均匀性

李洪毅1,2, 黎奇升2, 欧祖军2*

(1.吉首大学 师范学院, 湖南 吉首 416000; 2.吉首大学 数学与统计学院, 湖南 吉首 416000)

互补设计; 广义离散偏差; 混水平因子设计; 均匀设计

1 基本概念

记d(n;q1s1q2s2)为一具有n次试验,s1个q1水平因子和s2个q2水平因子的设计, 其中s1+s2=s.d(n;q1s1q2s2)可看成是n×s的矩阵d=(dij), 其中前s1列取{1,2,…,q1}中的元素,余下的s2列取{1,2,…,q2}中的元素,d的每一行对应于一次试验,每一列对应于一个因子. 若d(n;q1s1q2s2)中的任意1列中的所有水平数出现相同的次数,则称该设计为U型设计,记为U(n;q1s1q2s2), 所有这样设计的集合记为U(n;q1s1q2s2).

(1)

对于n次试验s个因子的设计d, 定义

其中,k1和k2是d的两次试验,dH(k1,k2)为k1与k2的Hamming距离, 向量(E0(d),…，ES(d))被称为设计d的距离分布.

对于一个n次试验s个q水平因子的部分因子设计d, 定义

(2)

Ma和Fang[4]基于向量(A1(d),…，AS(d))给出了如下的最小广义低阶混杂(MGA)准则.

定义1对两个设计d1(n;qs)和d2(n;qs), 设r为使得Ar(d1)≠Ar(d2)的最小整数,如果Ar(d1)

现在来简单的描述最小投影均匀性(MPU)准则. 基于中心化L2偏差, Fang和Qin[5]对于设计d∈U(n;2s)利用Ii(d)来衡量设计d的i维投影均匀性, 其中,

向量(I1(d),…，Is(d))被称为设计d的均匀性模式[5-6].

引理1设d∈U(n;2s), 对任意的j(1≤j≤s),Aj(d)和Ij(d)有如下的线性关系:

(3)

定义2对两个设计d1∈U(n;2s)和d2∈U(n;2s), 设r为使得Ir(d1)≠Ir(d2)的最小整数,如果Ir(d1)

关于二水平设计的投影均匀性模式的下界,Zhang和Qin[6]给出了下面的结论:

引理2设d∈U(n;2s),则

(4)

其中,Rn,l为n除以2l的余数,1≤l≤s.

2 主要结论

(i) [DDd((a1,b1),(a2,b2))]2=

(5)

(ii) [DDD(a1,b1)]2=

(6)

其中,

证明只考虑(6)式的证明, 其余等式可类似证明. 据(3)式和(5)式可得

根据Zhang和Qin[6]给出二水平设计的投影均匀性模式的下界, 有下面的定理3.

[DDd((a1,b1),(a2,b2))]2≥

LDDd((a1,b1),(a2,b2)),

(7)

其中,

Rn,l为n除以2l的余数,1≤l≤s1.

证明只考虑(7)式的证明, 其余的可类似的证明.由(4)式和(6)式即可得(7)式.

3 例子

DD22122211121111121122221221222111211121221133212212221111121133331112122122211133331111111121221222122123123321111212212222213233211321112122122232132123332211121221223231321222222111212213133323322312221112122332221331322122211121232312221312

a1a2b1b2[DDd((a1,b1),(a2,b2))]2LDDd((a1,b1),(a2,b2))110.250.30.0833000.0833000.500.40.0831900.0831900.750.50.0813100.0813100.80.250.30.0071600.0071600.500.40.0071200.0071200.750.50.0066500.0066500.70.250.30.0016500.0016500.500.40.0016300.0016300.750.50.0014200.0014200.60.250.30.0003020.0003020.500.40.0002950.0002950.750.50.0002110.000211

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Uniformity in complementary designs in term of generalized discrete discrepancy

LI Hongyi1，2， LI qisheng2， OU Zujun2

(1.Normal College， Jishou University， Jishou， Hunan 416000;2.College of Mathematics and Statistics， Jishou University， Jishou， Hunan 416000)

complementary design; generalized discrete discrepancy; mixed level factorials; uniform design

2014-12-10.

国家自然科学基金项目(11201177);湖南省教育厅优秀青年项目(14B146);湖南省教育厅科研项目(12C0287);吉首大学校级科研项目(13JDY041);吉首大学学成返校博士科研项目(jsdxxcfxbskyxm201113).

1000-1190(2015)04-0492-05

O212.6< class="emphasis_bold">文献标识码： A

A

*通讯联系人. E-mail: ozj9325@mail.ccnu.edu.cn.