一类竞争模型正解的唯一性和多重性

李海侠

（宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013）

0 引 言

生态学经历了漫长的发展过程，已成为一个多学科交叉的综合性学科.种群生态学是其中一个重要的分支，它是描述种群与环境及种群之间相互作用的动力学关系的学科.生物学家和生态学家把自然界中种群与环境以及种群之间相互竞争、捕食与被捕食、互惠作用等具体情况建成数学模型，近年来受广大学者们关注的一类模型是Lotka－Volterra 模 型［1－3］.然 而，经 典 的Lotka－Volterra模型中的反应函数为一条无界的直线，并不能准确反映种群间的相互作用关系.在不断的探索和研究过程中，人们根据一些具体的生态背景提出更合理更符合实际的功能反应函数.Holling［4］于1965年提出了Holling型功能反应函数：

对带有Holling Ⅰ和Holling Ⅱ型功能函数的模型已有很多研究结果［5－9］.另外，国内外很多专家也考察了带有Holling Ⅲ型功能函数的捕食－食饵模型［10－12］，其中文献［12］在Nuemann边界条件下研究了一类带有Holling Ⅲ型功能函数的捕食－食饵模型，得到了正解的局部和全局稳定性.然而目前带有Holling Ⅲ型功能函数的竞争模型的研究很少见.因此本文研究一类带有Holling Ⅲ型功能函数的竞争模型，包括其正解的存在性、唯一性、全局稳定性和多重性.

1 预备知识

为了得到重要的结论，先给出一些预备知识.

则λ1（q）连续依赖q，λ1（q）是简单的.而且，如果q1≤q2，q1q2，则λ1（q1）＜λ1（q2）.为了简单起见，定义λ1（0）为λ1，相应于λ1的主特征函数记为ψ1.

非线性问题

若r＞λ1，则式（1）有唯一正解.定义唯一正解为θr.特别地，θr＜r且θr连续依赖r.

2 正解的存在性、稳定性和唯一性

本文在Dirichlet边界条件下研究如下带有Holling Ⅲ型功能函数的竞争模型：

其中Ω是Rn（n≥1）中具有光滑边界的有界区域，u、v分别表示两竞争物种的密度.系统（2）中的参数a、b、c、d、m均为正常数.

从生物的现实意义上来讲，物种是否能够共存是竞争模型研究中最令人感兴趣的内容之一.因此，本文主要研究系统（2）对应的平衡态系统

正解的存在性、唯一性和多解性.

本文利用不动点指标理论研究系统（3）正解的存在性.首先，运用极值原理、上下解方法以及特征值变分原理易得系统（3）正解的先验估计和正解存在的一些必要条件.

引理1 若系统（3）有非负解（u（x），v（x）），则0≤u（x）≤a，0≤v（x）≤c，x∈Ω.

引理2 若系统（3）存在正解，则a＞λ1，c＞λ1.

引理3 若系统（3）存在正解（u（x），v（x）），则u≤θa，v≤θc.而且，若＞λ1，则u≥θa（1－bc），v≥θc－d／m.

为了计算不动点指数，引入以下记号：E＝C0（Ω）×C0（Ω），其中C0（Ω）＝｛w∈C（Ω）：w（x）＝0，x∈Ω｝；W＝P1×P2，其中Pi＝｛w∈∈E：u＜a＋1，v＜c＋1｝；D′＝（intD）∩W.

为

其中M为充分大的正常数，满足M＞max｛a（1＋2bc），c＋da2｝.故At是紧的且连续可微的.记A1＝A，则系统（3）有正解当且仅当A在D′中有不动点.记

引理4 （1）若a＞λ1且c≠λ1或a≠λ1且c＞λ1，则indexW（A，（0，0））＝0；若a＜λ1且c＜λ1，则indexW（A，（0，0））＝1；

（2）indexW（A，D′）＝1；

（3）设a＞λ1.若c＞c＊，则indexW（A，（θa，0））＝0；若c＜c＊，则indexW（A，（θa，0））＝1；

（4）设c＞λ1.若a＞λ1，则indexW（A，（0，θc））＝0；若a＜λ1，则indexW（A，（0，θc））＝1.

证明 因为（1）～（4）的证明类似，所以在此只证明（3）.根据定义得｛P2＼｛0｝｝.于是A′（θa，0）（ξ，η）＝（ξ，η）等价于

（i）因为c＞c＊，所以则存在ψ＞0满足（－Δ＋令t0＝1／μ，则0＜t0＜1且（I－t0A′（θa，0））（0，ψ）∈S（θa，0），因此A′（θa，0）在W（θa，0）上具有α性质.由文献［1］中定理1知，indexW（A，（θa，0））＝0.

（ii）假设A′（θa，0）在上具有α性质，即存在t0∈（0，1），（ξ，η）∈＼S（θa，0）使得（It0A′（θa，0））（ξ，η）∈S（θa，0），则由于c＜c＊，因此［r（－Δ＋矛盾.故A′（θa，0）在上不具有α性质，由文献［1］中定理1得indexW（A，（θa，0））＝（－1）σ，其中σ为A′（θa，0）所有大于1的特征值的代数重数之和.再利用c＜c＊易得A′（θa，0）没有大于1的特征值，从而σ＝0，故indexW（A，（θa，0））＝1.□

由引理4和度的可加性得到系统（3）正解的存在性定理.

定理1 若a＞λ1且c＞c＊，则系统（3）至少存在一个正解.

接下来将运用椭圆方程正则性理论及其线性算子扰动理论讨论参数b充分小时正解的唯一性和稳定性.首先考察下述方程：

易知，当c＞c＊时，方程（4）有唯一的正解，记为v＊.

引理5 如果a＞λ1，c＞c＊，则当b→0＋时，系统（3）的任意正解（u，v）都满足（u，v）→（θa，v＊）.

证明 设bi→0＋（i→∞），（ui，vi）是b＝bi时系统（3）的正解，那么（ui，vi）满足

由引理1知，（ui，vi）关于i一致有界.根据椭圆方程正则性理 论关于i有界，从而存在｛（ui，vi）｝i∞＝1的子列（仍记为它自身）及非负函数，使得在中（ui，vi）→在式（5）中令i→∞可得

显然上述方程有4 个非负解（0，0），（θa，0），（0，θc），（θa，v＊）.下证

假设≡0，则ui→0.记那么Ui满足

定理2 若a＞λ1，c＞c＊，则存在充分小的正常数b＊，当b≤b＊时，系统（3）有唯一正解，且该正解是全局吸引的.

证明 令

则T（b，u，v）＝0的解即为系统（3）的解.由于a＞λ1，c＞c＊，因此（b，u，v）＝（0，θa，v＊）是系统（3）的解.令

则L（φ，ψ）＝0等价于

显然φ≡0.由得ψ≡0.因此0不是L的特征值.另外，由Riesz－Schauder定理易推出L的特征值都大于0，故（θa，v＊）非退化和线性稳定.

记L为系统（3）在（u，v）处的线性化算子，那么由引理5知，当b→0＋时，L→L.由线性算子扰动理论知，的所有特征值实部都大于0，故当b→0＋时，系统（3）的任意正解都非退化和线性稳定.又由于系统（3）是一个单调动力系统，利用文献［8］中的引理2.3（c）知，系统（3）至多有一个正解.结合定理1知系统（3）有唯一正解.再次运用文献［8］引理2.3（b）可得系统（3）的唯一正解是全局吸引的.□

3 正解的稳定性和多重性

本章以c为分歧参数应用分歧理论和度理论讨论系统（3）正解的多重性.为此引入空间

由Crandall－Rabinowitz分歧定理［13］易得

定理3 设a＞λ1固定，则（c＊，θa，0）是系统（3）的分歧点且在（c＊，θa，0）的邻域内系统（3）存在形式 为（c（s），u（s），v（s））＝（c（s），θa＋s（φ1 ＋r（s）），s（1 ＋t（s）））（0＜s＜＜1）的正解，这里1是c＊对应的主特征函数且而且，c（0）＝c＊，r（0）＝0，t（0）＝0，r，t∈Z，其中X＝span｛（φ1，1）｝Z.

为了后面需要，给出如下引理.

引理6c（s）在s＝0处的微分满足c′（0）＝

证明 将（c（s），u（s），v（s））＝ （c（s），θa＋s（φ1＋r（s）），s（1＋t（s）））代入式（3）的第二个方程中，两边同除s，关于s微分并令s＝0，可得上式两边同乘1 并在Ω上积分知结论成立.

于是根据线性算子的扰动理论和分歧解的稳定性理论有

引理7 如果I＞0且0＜s＜＜1，则定理3得到的正分歧解（u（s），v（s））稳定.

接下来，将局部分歧延拓为全局分歧.

令U＝θa－u，V＝v.则U，V≥0满足

令ci（μ）（μ≥1）是如下特征值问题

－μΔV＝，x∈Ω；V＝0，x∈Ω的特征值，则ci（μ）关于μ≥1递增，可排列为0＜c1（μ）＜c2（μ）≤… →∞且c1（1）＝c＊.

通过类似于文献［6］的方法得当c＜c＊时，i（T（c，·），0）＝（－1）0＝1.当c＊＜c＜c2（1）时，i（T（c，·），0）＝（－1）1＝－1.于是由文献［14］的全局分歧定理可知存在从（c＊，θa，0）分歧出来满足G（c，U，V）＝0的连通分支γ.而且，γ－｛（c＊，θa，0）｝满足下列条件之一：

（i）γ－｛（c＊，θa，0）｝连接点（c＊，θa，0）和（，θa，0），其中c＊≠；

（ii）γ－｛（c＊，θa，0）｝在R＋×X内延伸到∞；

（iii）γ－｛（c＊，θa，0）｝包含点（c，θa－u，v）和（c，θa＋u，－v），其中（u，v）≠（0，0）.

定理4 设a＞λ1.则

（a）γ－｛（c＊，θa，0）｝在P内从点（c＊，θa，0）出发延伸到∞；

证明 （a）首先证明γ－｛（c＊，θa，0）｝P.假设γ－｛（c＊，θa，0）｝P，则存在序列｛（cn，un，vn）｝∈γ∩P和点P，使得因为所以或者且存在x0∈Ω使得或者且存在x1∈Ω使得＝0.由强极值原理可知u≡0.类似可知v≡0.因此于是考虑如下3种情况：

（A）设≡0且≡0.则（cn，un，vn）→（c，0，0）.令则Un满足－ΔUn＝U（

n a－由Lp估计和Sobolev嵌入定理可假设当n→∞时，在C1（）中Un→U≥0，0.则U满足－ΔU＝aU，x∈Ω；U＝0，x∈Ω.又由强极值原理可知U＞0，x∈.因此，a＝λ1，矛盾.

（B）如果≡0且0，即类似于（A）的分析可得a＝λ1，矛盾.

（C）如果0且≡0，即则令则Vn满足＝0，x∈Ω.类似于（A）的分析可得＝c＊，矛盾.因此，γ－｛（c＊，θa，0）｝P.于是，（i）和（iii）是不可能的.只有情况（ii）.

（b）由引理1、Lp估计和Sobolev嵌入定理可知γ在R＋×X内延伸到∞的唯一方式就是随着参数c到∞.最后，由引理2得｛c：（c，u，v）∈γ｝＝其中＝inf｛c＞λ1：（c，u，v）∈γ｝.

定理5 设a＞λ1且I＜0，则存在常数∈（λ1，c＊）使得当时系统（3）至少有两个正解；当c∈［c＊，∞）时系统（3）至少有一个正解.

证明 首先由定理1可知当c＞c＊时系统（3）至少有一个正解.需要证明当时系统（3）至少有两个正解且c＝c＊时系统（3）至少有一个正解.

定义算子Bτ：D′→W为

这里Q充分大使 得Q＞max｛a（1＋2τbc），c＋τda2｝且τ∈［0，1］.显然系统（3）有非负解当且仅当B1在D′中有不动点.

设Dε＝｛（u，v）∈W：（u，v）－（θa，0）E＜ε｝，由前面的讨论可知存在常数ε和∈（λ1，c＊）使得对于c∈［，c＊）系统（3）有唯一正解（uc，vc）∈Dε.因此，只需要证明对于系统（3）在D′＼Dε上有正解即可.

令D1＝D′＼Dε.由引理1可知Bτ在D1上没有不动点.于是根据不动点指数的同伦不变性可知indexW（B1，D1）＝indexW（B0，D1）.显然B0在D1内有不动点（0，0），（0，θc），（θa，θc）.用文献［1］中定理1易证indexW（B0，（0，0））＝indexW（B0，（0，θc））＝0.另一方面，由（θa，θc）非退化和线性稳定 得I－B′0（θa，θc）在上 可逆，且由＝S（θa，θc）知B′0（θa，θc）在上没有α性质.于是indexW（B0，（θa，θc））＝（－1）δ.利用特征值的比较原理易得δ＝0.因此，由文献［1］中定理1 知indexW（B0，（θa，θc）） ＝1.于是，indexW（B1，D1）＝indexW（B0，D1）＝indexW（B0，（0，0））＋indexW（B0，（0，θc））＋indexW（B0，（θa，θc））＝1.最后结合引理4 得indexW（B1，D1）＝indexW（B1，（0，0））＋indexW（B1，（0，θc））＝0，这表明系统（3）在D＼Dε内至少有一个正解.

4 数值模拟

在一维情形Ω＝（0，l）下利用Matlab工具做数值模拟来验证前面研究得到的理论结果.取l＝2π，计算可得λ1＝1／4.取初值为为初值系数.

根据定理1的条件取值进行数值模拟，验证系统（3）正解的存在性，其中的两个例子见图1，这与定理1的结论一致.在定理2的条件下取值进行数值模拟，发现系统（2）的正解与时间t无关，即达到平衡态，其中的例子见图2，参数取值为a＝7，b＝0.3，c＝5，m＝4，d＝3，初值系数r＝0.1.另外，为了验证正解的稳定性，在确定的参数下，选取不同的初值进行模拟，结果发现有唯一的正解且该正解稳定，见图3，参数取值为a＝7，b＝0.3，c＝5，m＝4，d＝3，初值系数r＝0.5，1.5，3，5，8，这与定理2的结论吻合.

图1 平衡态正解模拟图Fig.1 The simulation diagram of positive steady state solutions

图2 正解（u（x，t），v（x，t））模拟图Fig.2 The simulation diagram of positive solution（u（x，t），v（x，t））

图3 正解（u（x，t），v（x，t））对初值依赖性模拟图Fig.3 The simulation diagram of the dependence of positive solutions on the initial values

5 结 语

本文讨论了一类带有HollingⅢ型功能反应函数的竞争模型正解的性质.利用不动点指标理论、扰动理论和分歧理论得到了正解的存在性、唯一性、稳定性和多重性.结果表明，当参数满足一定条件时，系统存在稳定的共存态.通过全局分歧理论考察系统（3）关于（θa，0）处产生全局分支走向时，带有HollingⅢ型功能反应函数竞争模型的全局分支沿着分歧参数c延伸到∞，这是与带有HollingⅡ型功能反应函数竞争模型的不同之处.

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