分类讨论的产生、对策及规避

福建省安溪第八中学 唐继承

笛卡尔说：“把我所考察的每一个难题，都尽可能地化为细小的部分，直化到可以圆满解决的程度为止。”

解答数学题时，由于许多题目不仅涉及的知识范围上带有较强的综合性，而且就问题本身来说也是受到多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，有时很难在整体上加以解决，这时就从分割入手，把整体划分为若干个局部，转而去解决局部问题，最后达到整体上的解决。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以数学中占有重要的位置。

历年高考题中都有分类讨论思想的运用，求解。其思想方法是高中数学的重点，由于这类题目综合性强，逻辑性严密，探索性开放，因而也是学习的难点。

一、分类的原则

分类的对象是确定的，标准是同一的，不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论。即要证明一个命题对于集合P成立，可以将集合P分成若干个子集pi(1≤i≤n)且 满 足P＝P1∪P2∪…∪Pn（其 中Pi∩Pj=φi≠j, 1≤i,j≤n），然 后分别证明命题P1、P2，……，Pn都成立，则命题P成立。

二、分类讨论的一般步骤

一是明确讨论对象，确定对象的范围；二是确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；三是逐类讨论，一一解决，获得阶段性结果；四是归纳总结，得出结论。

三、分类讨论的类型和方法

1.概念型

涉及的数学概念是以分类形式定义的，如绝对值、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、不等式、两直线的位置关系等。有些概念本身有一定限制。如斜率、曲线中二次曲线的分类等。接这类题时，以所定义的概念为依据来进行分类讨论。

例：对x∈R,不等式|x+ 2 |- |x- 1|＞a恒成立，求a的取值范围，通过零点分区间讨论可得f(x)=|x+ 2 |- |x-1|，最小值为－3，所以a＜-3

2.性质型

运用的数学定理公式或运算性质法则是分类给出的。如分母不为零、开偶次方被开方数非负、对数的真数为正、对数及指数由于底数的取值范围不确定而导致的增减性不确定、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)由a的正负而导致开口方向不确定、由a、b的不确定而导致对称轴的不确定等。

例：已知二次函数f(x)=ax2+x适合等 式f(5-x) =f(x-3)且x∈ [m,n](m≠n)时 ，f(x)的取值范围为[3m，3n]，求m，n 。

解：由f(5-x) =f(x-3)得图象对称轴为x=1，从而，以再从区间与对称轴的位置关系进行讨论。

3.含参数型

含有参数的数学问题中，参变量的不同取值会导致不同的结果，因此有必要对参数进行讨论。

例：设0＜x＜1，a＞0且a≠1试比较A＝|loga(1-x)|与B＝|loga(1+x)|的大小。

分析：解题时为了达到比较A与B的大小，必须考虑去绝对值，从而必须为a＞1及0＜a＜1进行分类讨论，从而得出A＞B。

比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。

解∵0＜x＜1

∴ 0＜1－x＜1,1＋x＞1①当0＜a＜1时，loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0，所以

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝loga(1－x)－[－loga(1＋x)]＝loga(1－x)＞0;

②当a＞1时，loga(1－x)＜0，loga(1＋x)＞0，所以

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x) －loga(1＋x)＝－loga(1－x)＞0；

由①②可知，|l o ga(1－x)|＞|loga(1＋x)|。

4.当研究的对象不完全属于一个确定的范畴时引起的讨论、由实际问题引起讨论等

例：已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：①.C ⊂A∪B且C中含有3个元素；②.C∩A≠φ

分析：由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。

解：C112·C28＋C212·C18＋C312·C08＝1084

那么，在具体的教育教学活动中，如何贯彻学好分类讨论的数学思想方法呢？

一是对所学知识内容进行全面复习的基础上，要注意突出数学思维的形式，要重视课本，尤其是重视对每一个基本公式性质的适用条件适用范围对每一种运算的实施条件，要准确理解并把握住。重视对重要概念公式法则的形成过程和例题的典型作用。

二是做好复习工作，是对数学基础知识和基本方法的不断深化，要从本质上认识和理解数学知识之间的联系，从而加以分类归纳综合，形成一个知识的结构系统。在思考问题时，要学会用辨证的思想，力争通观全局，切忌极端和片面。

三是在分类讨论的全过程中，要坚持同一个分类标准，并始终遵循不重不漏的原则。在分类对象确定后，还有一个如何分类与讨论的问题，选择最佳的分类方法。不仅可以防止重复和遗漏，还可以简化运算，避免解题中的错误。

四是数学思想和方法是数学知识在更感高层次上的抽象和概括，它蕴涵于数学知识的发生发展和应用的过程中，对数学思想方法，首先要领悟到蕴涵在数学概念定义定理公式法则中的数学思想方法，它体现了数学知识的发生发展过程。其次对数学思想方法还要理解知识的深化，以问题的发现与解决为途径，提高学生解决问题的能力，发展学生的数学思维能力。

四、分类讨论的避免

有些分类讨论是不可避免的，但有些问题如能变换角度，充分挖掘问题潜在的本质特征，或运用变换命题，将问题转化为另一个较简单，熟悉的数学问题，则可收到意想不到的效果，从而避免分类讨论。

一是从参数入手，巧避讨论。二是掘隐含条件，力避分类讨论。三是整体化思想。四是数形结合。五是正难则反。六是分离参数，转化化归。

总之，只有领悟了蕴涵在问题中的提出完善和深化的全过程，掌握了贯穿在分析问题，解决问题时的数学思维方法，才能达到数学知识和方法的融会贯通，提高综合运用数学知识和方法及解决问题的能力。