小学数学教学中数学模型的建构策略

罗萍萍

《义务教育数学课程标准》（2011年版）明确指出：在数学教学中应当引导学生感悟建模过程，发展“模型思想”。“模型思想”作为一种数学思想，是沟通数学知识与数学应用之间的桥梁，是链接数学核心知识与外部世界的途径。教师要善于挖掘模型素材并引导学生领悟数学模型思想。

一、在生活原型中建构概念型数学模型

课件依次呈现：平衡（空天平）——不平衡（天平的左边放入两瓶200克的牛奶）——平衡（天平的右边放入400克砝码）。学生边观察天平，边说出变化过程。当天平保持平衡，教师提问：如果从左边拿走一瓶牛奶，天平还平衡吗？当不知道具体是多少时，可以用字母来表示。随后，课件呈现：天平左边放入3个苹果，右边放1500克砝码。学生交流，列出算式：3X=1500。结合这些算式，教师提问：这些式子可以分为几类？学生容易想到两类：一类是等式;一类是不等式。教师追问：它们之间又有什么不同之处呢？学生总结出不含未知数的等式表示的是已知量之间的相等关系，含有未知数的等式表示的是已知量和未知量之间的相等关系，进而得出“含有未知数的等式叫做方程”这一概念。

在小学数学教材中，方程是一种典型的数学模型。在这个案例中，从生活中的天平这一生活原型出发，引导学生逐步体会和理解等式和方程的含义。通过天平一边放入物品导致两边不平衡到天平两边都放物品达到两边平衡，学生理解了等式的含义。从放入已知物品的重量后平衡到放入未知物品的重量后平衡，学生体会了方程的含义。直观的天平原型为抽象的方程概念提供了鲜活的学习载体。对学生来说，方程概念变得形象、具体、直观。这种基于生活原型建构概念模型的方法，有助于学生对概念的本质建立正确而清晰的认识。

二、在符号表达中建构方法型数学模型

课始，课件呈现购物情境：一件短袖衫32元，一条裤子45元，一件夹克衫65克。买5件夹克衫和5条裤子，一共要付多少元？教师板书：（45+65）×5=45×5+65×5。教师提问：这两个算式之间为什么可以用等号连接起来？你还能说一组这样的算式？根据学生回答，教师设疑：这个规律一定对吗？在其他算式中还能成立吗？学生又通过举例来验证这个结论。在此基础上，教师又让学生思考：从算理上来说明理由。有学生结合例题来解释：把45个5加上65个5，合起来就是110个5，所以左右两边相等。教师肯定学生的想法后，提问：怎样才能把这些等式都概括起来？教师依次呈现学生的三幅作品：①（a+b）×c=a×c+b×c;②（□+○）×☆=□×☆+○×☆;③（爸+妈）×我=爸×我+妈×我。学生分别说出每道算式中表示的意思。教师引导学生给这些规律取个名字，学生说出乘法分配律。最后，教师小结：字母、图形、文字都是一种符号，用符号来表示这些等式的规律，既简洁，又易记。

乘法分配律是一种比较重要的运算定律。这种运算定律其实就是一种方法模型。“观其形，悟其神”。学生可以通过观察这类算式的特征，就能运用乘法分配律进行计算。但如何帮助学生建构这种方法模型，显得尤为重要。在这个案例中，从购物情境出发，引出两道不同的等式，进而大胆猜测规律，学生通过举例进行验证，在此基础上，引导学生从乘法意义的角度阐述等式左右两边相等的关系，进而让学生用自己的方式来抽象表示出乘法分配律这个数学模型。学生的智慧是无穷的。字母、图形、文字，虽然形式上不同，但实质上相同，都是乘法分配律的模型。

三、在多维变式中建构思想型数学模型

教师在引导学生掌握“鸡兔同笼”的题目特征、解题方法后，“龟鹤问题”、“人狗问题”、“鸡兔问题”都是同一个模型。接着，教师进一步拓展出人马问题、三轮车和小轿车的轮子问题等。随后，师生共同研究“一个信封里有10张纸币，有5元的和2元的，共38元。这个信封里5元和2元的纸币各有多少张？”教师引导学生与“鸡兔同笼”问题进行比较：2元的纸币相当于2只脚的鸡，5元的纸币相当于5只脚的怪兔。这几道题，其实都可以上升到一种模型。解决问题的时候，需要有“模型”意识，这样才能越来越接近问题的本质。

“鸡兔同笼”问题隐藏着丰富的“模型”因素。从内容层面来看，“鸡兔同笼”问题的题型结构的本质是已经两个未知量的和与两个未知量之间的关系，求两个未知量分别是多少;从方法层面来看，“鸡兔同笼”问题的解题思路是多样的，可以采用画图、列举、替换等;从应用层面来看，“鸡兔同笼”问题存在的价值，或者说对于解决其他问题会起到什么样的作用。以上案例中，从“龟鹤问题”“人狗问题”到“人马问题”“三轮车和小轿车的轮子问题”，再到“5元和2元纸币的张数问题”，充分体现了“鸡兔同笼”问题的应用价值。仅仅就每道题而言，它们是各自独立的，经过观察、比较、变式，就能发现它们有着相同的题型结构、固有的数学模型。从“一道题”到“一类题”，实现了完整的“模型”建构。

（作者单位：江苏海安县李堡镇中心小学）endprint