常微分方程的思想方法与应用

徐 静

(渤海大学数理学院，辽宁 锦州 121013)

前言:在数学知识体系中，最精髓的部分便是数学思想方法，通过数学思想方法，可以将知识有效地转化为能力，并利用这种能力解决实际中遇到的问题。在数学与应用数学专业，常微分方程是一门基础性学科，对于其他专业课程来说，常微分方程起着基础性的作用。鉴于常微分方程思想方法的实际意义，在现在的教学中广泛的应用了其思想方法，有效的提高了教学效果，并且提升了学生的综合能力。

一、常微分方程概述

(一)常微分方程概念

在学习中学数学的过程中，会接触到各种各样的方程，比如二次方程、线性方程、指数方程、对数方程、方程组等。在一个问题中包含已知数和未知数，方程就是研究这二者之间的关系，将包含一个未知数的方程式或者包含多个未知数的多个方程式列出来，将方程的解求出来。但是在实际的工作中，方程是千变万化的，比如在重力的作用下，某个物体做自由下落运动，求下落距离随时间变化的规律，对于这个问题，在求解时要根据现有的数据得出形式上的函数解析式，利用已知数计算特定的未知数的方法是行不通的，在数学上，用函数来描述物质运动和变化规律之间的关系，因此，在解决这个类型的问题时，要求一个或者几个未知的函数，而非固定的数值。在基本思想上，解决这类问题和解方程是相似的，但是在形式、求解的具体方法等方面，这二者之间还存在着很大的差异性。在数学上，凡是表示位置函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做常微分方程。

(二)常微分方程的发展历程

17世纪，常微分方程产生，与之一同产生的还有微积分，而且常微分方程是在微积分的基础上发展而来的，人们生产生活实践的过程中，产生了常微分方程。在18世纪前半叶，常微分方程的发展主要在“求解”上，数学伴随着工业革命逐渐的繁荣起来，在这个过程中，常微分方程的发展也得到了很好的促进，由原来的“求解”发展为探讨解的存在即唯一性，在这个阶段，逐渐的产生了奇点理论、边值解、形式级数解、自守函数论，这使得常微分方程已经发展成为数学的分支，所处的阶段也由实域解析变为复域解析。19世纪后半叶开始，常微分方程再次得到良好的发展，促进了数学思想方法的进步，并且逐渐的建立了微分动力系统。从常微分方程诞生发展至现在，一直具有强大的生命力和活力，并且将其中蕴含的数学思想方法发展的更为丰富。

二、常微分方程的思想方法

(一)方程的思想方法

在函数出现之前，方程就已经出现并且得到了良好的发展，而且在符号化和变元思想的发展方面起到了有效的推动作用，促使数系进行扩展。在17世纪，笛卡尔提出了变量思想和坐标思想方法，这促使方程跨向新的发展领域，并且具有极好的发展活力。人们在研究物体运动的过程中创立了微积分，并形成了微分方程的思想。最初，微分方程出现的方式为数学模型，目的是解决问题，这也是方程思想的基本点。在微分方程思想中，将所求的问题归为未知量，之后与已知量建立等量关系式，从而未知量的解求出。实际上，在整个常微分方程的过程中，都贯穿着方程思想。

(二)数学模型

在各个学科中，都有数学的应用，而其中最主要的应用便于数学模型思想的应用。实际上，常微分方程就是模型的产物，而且这一特征在最初的实域解析理论阶段表现的更为明显，比如波动理论、二体问题、三体问题等问题的提出和研究。随后，在发展的过程中，常微分方程与其他学科之间的联系变得越来越多，其理论也逐渐的发展丰富起来。现今，在各行各业中都应用了数学模型思想，而且随着现代的发展，数学模型也变得更为现代化。

(三)化归与逼近思想方法

在日常生活中，当人遇到问题需要解决时，都会不自觉地应用化归思想方法。在常微分方程数学思想方法中，化归思想方法是非常重要的一种，比如讨论方程求解及解的性质问题，这是常微分方程中的基本问题，化归思想方法从始至终都参与到了讨论过程中。所谓化归方法，是指利用联系、变化的观点，有意识的将问题化繁为简，比如讲一阶线性方程组化为一阶线性方程问题。同时，在数学教学过程中，利用化归思想方法还可以有效的培养学生的数学能力。

(四)抽象化、符号化思想

这种思想是数学一直具备的特点，数学从最初的简单逐步的深化到复杂，这个过程就是抽象化，而常微分发展的过程也是抽象化的过程中。在现代数学中，这种思想表现的更为强烈，数学变得更加的形式化、符号化，从而使数学更为容易的抽象统一。在现代数学发展的过程中，符号化思想方法起了非常重要的推动作用，具有十分重要的现实意义。

三、常微分方程思想方法在教学中的应用

(一)理论结合实际

教师在利用常微分方程思想方法教学时，应注重理论联系实际。在实际教学的过程中，将实际问题引入教学课堂中，让学生充分的了解常微分方程的来源与应用背景，从而引导学生充分的认识到常微分方程思想方法的重要性，培养学生学习的兴趣，提高学生实际应用常微分思想方法解决实际问题的能力。比如在中学数学中经常出现水池一边放水一边注水，多长时间能注满水的问题，在解决这类型问题时，教师可以将数学模型思想方法引入到教学中，通过数学模型思想方法，学生可以快速的掌握解决问题的方法，而且，当学生再次遇到类型题时，可以轻松地利用数学建模解决问题。

(二)整合教学内容

教师在进行教学的过程中，不要只局限于教材内容的教授，将课外的相关例题引入教学中，以便于拓宽学生的知识面，增加学生的知识储备量，同时，还可以培养学生学习的兴趣。另外，学生解决实际问题的能力也得到相应的提高，在解决实际问题的过程中，学生的创新能力和应用能力也会相应的得到提升。

(三)利用现代化教学手段，提高教学效果

随着科学技术的发展，各种现代化的教学手段被发明出来并应用到教学过程中，不仅有效的提高了课堂教学的效率，而且教学质量也得到了全面提升。常微分方程思想方法中，有些思想方法在解决问题时，解题过程比较繁琐，如果只依靠教师的讲解和板书无法让学生直接的观看解题过程，这时，如果教师在教学过程中利用多媒体辅助教学，就可以很好的演示出常微分方程思想解题的过程，而且，在演示的过程中，学生也可以很好的掌握和学习数学思想方法，从而有效的提高自身的解决实际问题的能力。比如在应用化归思想方法解决常系数线性微分方程时，利用化归思想方法，可以降低常系数现行微分方程的难度，并减少运算的过程，有效的提高了运算的速度，但是在演示化归思想方法时，如果教师只是单纯的教授，那么教学效果将会大打折扣，但是经过多媒体的演示之后，学生就可以很好地掌握化归的要领，进而学会正确的解题技巧。

结论

常微分方程诞生于17世纪，在长时间的发展过程中，逐渐的发展完善，并蕴含了丰富的数学思想方法。一般来说，常微分方程的思想方法是用来解决实际问题的，近年来逐渐的应用到了教学中，在实际的教学过程中，教师要充分的理解常微分方程的思想方法，并将其融入到教学过程中，通过制定科学、合理的教学方法，有效地提高学生解决实际的能力以及运用常微分方程思想方法的能开，并切实的提高学生的成绩及教学效果。

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