关于丢番图方程1+5x+2y11z=2u·5v·11w的研究

陈小燕

(琼台师范高等专科学校 数理系, 海口 571100)



关于丢番图方程1+5x+2y11z=2u·5v·11w的研究

陈小燕

(琼台师范高等专科学校 数理系, 海口 571100)

讨论了丢番图方程1+X+Y=Z的一个特殊情形.借助计算机,用初等方法给出了指数丢番图方程1+5x+2y11z=2u·5v·11w的全部非负整数解.

指数丢番图方程;同余解;非负整数解;计算机辅助解法.

0 引言

设x,y,z,u,v,w为非负整数,考虑指数丢番图方程

1+5x+2y11z=2u·5v·11w.

(1)

显然,方程(1)是丢番图方程

(2)

的一种特殊情况,这里p1,p2,…，pt是素数,S是给定的有限集.方程(2)的解可用于有限群的分类[1].例如曹珍富[2]定出了阶为2α13α25α37α4pα5的单群.虽然形如(2)的某些具体方程不借助计算机也可以求解[3],但是借助计算机则计算时间将大大减少.如，Alex L.J和Foster L.L[4]借助计算机，并采用初等方法给出方程1+x+y=z,xyz=2r3s7t的所有非负整数解.文[5-6]用计算机辅助解法分别给出了指数丢番图方程2x+2y+3z11u=3v11w与px-qy=2的的全部非负整数解.在本文中,我们借助计算机,用初等方法给出了(1)的所有非负整数解.

1 引理

引理1 若(x,y,z,u,v,w)是方程(1)的任一解，则必有

(i)min{y,u}≤1; (ii)min{z,w}=0．

证明：(i)假如y,u≥2,则对(1)取模4,得1+5a≡0(mod4)的矛盾(因5a≡1(mod4)).

引理2 设(x,y,z,u,v,w)是方程(1)的任一解,

(x,y,z,u,v,w)≡(a,b,c,d,e,f)(mod60,60,120,60,60,120),

则满足0≤a,b,d,e≤59,0≤c,f≤119的所有(a,b,c,d,e,f)(称为(1)的同余解)由表1给出．

证明:设(x,y,z,u,v,w)是方程的解,由于

260≡1(mod52·7·9·11·13·31·41·61)

560≡1(mod24·7·9·11·13·31·41·61)

11120≡1(mod25·52·7·9·13·31·41·61).

令s=min{b,d,4},t=min{a,e,2},则a,b,c,d,e,f满足

1+5a+2b11c≡2d·5e·11f(mod2s·5t·7·9·13·31·41·61)

(3)

本文编写了简单的UBASIC程序,在0≤a,b,d,e≤59,0≤c,f≤119的范围内对(3)进行检验,考虑到引理1,分

0≤a≤59,0≤b≤1,c=0,0≤d≤59,0≤e≤59,0≤f≤119;

0≤a≤59,0≤b≤1,1≤c≤119,0≤d≤59,0≤e≤59,f=0;

0≤a≤59,0≤b≤59,c=0,0≤d≤1,0≤e≤59,0≤f≤119;

0≤a≤59,0≤b≤59,1≤c≤119,0≤d≤1,0≤e≤59,f=0;

四种情形在计算机上检验仅得到(a,b,c,d,e,f)如表1的7组值．

表1 方程(1)的同余解

易知表1的7组数(a,b,c,d,e,f)都是方程(1)的解.

2 定理

定理1 丢番图方程

1+5x+2y11z=2u·5v·11w

的全部非负整数解(a,b,c,d,e,f)可由引理2中的表1给出.

证明:设(x,y,z,u,v,w)是方程(1)的任一非负整数解,令

(x,y,z,u,v,w)≡(a,b,c,d,e,f)(mod60,60,120,60,60,120),

则(a,b,c,d,e,f)是引理2中表1的任一组数.因

x=a+60k,y=b+60i,z=c+120j,u=d+60l,v=e+60m,w=f+120n,

只需证明k=i=j=l=m=n=0.若k=i=j=0或l=m=n=0,则k=i=j=l=m=n=0.因(a,b,c,d,e,f)是方程(1)的解,故有

5a(5060k-1)+2b11c(260i11120j-1)=2d·5e·11f(260l560m11120n-1).

(4)

当(a,b,c,d,e,f)=(1,4,0,1,0,1)时,有

5a(5060k-1)+24(260i11120j-1)=2·11 (260l560m11120n-1).

(5)

依次对(5)取模5,25,4,25,得m=k=l=i=0,再模11,得j=0,从而n=0.故有

(x,y,z,u,v,w)=(1,4,0,1,0,1).

当(a,b,c,d,e,f)=(0,1,0,2,0,0)时,有

(5060k-1)+2(260i11120j-1)=22(260l560m11120n-1).

(6)

对(6)取模4,得i=0,模8，得l=0.若k≠0，模5,得-1≡-4(mod5)或是-1≡0(mod5)的矛盾.故k=m=0.此时(6)变为2·11120n-11120j=1.若n≠0,对上式取模11,则有-1≡1(mod11)或是0≡1(mod11)的矛盾.故n=0,从而j=0.故有(x,y,z,u,v,w)=(0,1,0,2,0,0).

同理，当(a,b,c,d,e,f)=(1,2,0,1,1,0)和(a,b,c,d,e,f)=(0,3,0,1,1,0)时,必能推出

(x,y,z,u,v,w)=(1,2,0,1,1,0)和(0,3,0,1,1,0).

当(a,b,c,d,e,f)=(1,1,0,3,0,0)时,有

5(560k-1)+2(260i11120j-1)=23(260l560m11120n-1).

(7)

对(7)式取模5,得m=0,取模4,得i=0,取模16,得l=0,模25得k=0,此时(7)变为1(11120j-1)+23(11120n-1),即(2·1160n)2-(1160j)2=3,解得j=n=0.

故有(x,y,z,u,v,w)=(1,1,0,3,0,0).

当(a,b,c,d,e,f)=(1,2,1,1,2,0)时,有

5(560k-1)+22·11(260i11120j-1)=2·52(260l560m11120n-1).

(8)

依次对(8)式取模25,4,得k=l=0,模8,得i=0,模11,得n=0.由于δ23(560m)=δ23(11120j)=11,δ67(5060m)=δ67(11120j)=11,在0≤j,m≤11范围内取模23,67,可得m≡0(mod11),如图1所示，取模112,得j=0,从而m=0.故有(x,y,z,u,v,w)=(1,2,1,1,2,0).

图1 22·11(11120j-1)≡2·52 (560m-1)(mod23·67).的检验结果

当(a,b,c,d,e,f)=(3,1,0,7v0,0)时,有

53(560k-1)+2(260i11120j-1)=27(260l560m11120n-1).

(9)

对(9)取模4,得i=0,模5,得m=0.若j≠0，模11,得-2≡7· (260l·11120n-1)(mod11),若n≠0,则有-1≡-7(mod11)的矛盾.若n=0,则有-2≡0(mod11)的矛盾.故j=n=0.由于δ97(560)=8,δ97(260)=4,δ193(560)=16,δ193(260)=8,在0≤k≤16,0≤l≤8范围内取模97,193,可得k≡0(mod16),如图2所示.由于5960≡1(mod28),取模28,可得l=0,从而k=0.故有(x,y,z,u,v,w)=(3,1,0,7,0,0).

图2 53(560k-1)≡27 (260l-1)(mod97·193).的检验结果

[1]曹珍富.丢番图方程引论 [M].哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社,2012．

[2]曹珍富.关于阶为2α13α25α37α4pα5的单群[J].数学年刊(A辑),1995,16(2):244—250.

[3]Brener J L， Foster L L.Exponential diophantine equations [J].Pacific Math, 1982,101：263—301.

[4]Alex L J.Foster L L. On the Diophantine Equation 1+x+y=z,with xyz=2r3s7t[J].Forum Math,1995,7(6):645-663.

[5]刘静,邓谋杰.关于丢番图方程2x+2y+3z11u=3v11w[J].黑龙江大学自然科学学报,2012,29(6)：723—726．

[6]周小娥,邓谋杰.关于丢番图方程px-qy=2[J].海南大学学报(自然科学版),2013,31(2): 100—102,105.

Diophantine Equation 1+5x+2y11z=2u·5v·11w

CHEN Xiao-yan

(Department of mathematics and Physics, Hainan Qiongtai Teacher’s College, Haikou 571100,China)

The research of a special case of the Diophantine equation 1+X+Y=Z is conducted in the current paper. With computer assistance, all the nonnegative integer solutions to the exponential Diophantine equation 1+5x+2y11z=2u·5v·11ware determined by the elementary method.

exponential Diophantine equation; solutions in nonnegative integers; congruence solution; computer-aided solution

2015-05-30

陈小燕(1982-)，女,海南临高人,琼台师范高等专科学校讲师,硕士，研究方向为初等数论.

A

1008-6722(2015) 05-0010-03

10.13307/j.issn.1008-6722．2015．05．03