阵列校正中导向矢量内插的条件*



阵列校正中导向矢量内插的条件*

张兴良，王可人，金虎

(电子工程学院，安徽 合肥230037)

摘要：阵列模型误差对阵列信号处理影响严重，且建模困难，实际工程中通常采用内插技术进行阵列误差校正。在对导向矢量内插法进行分析的基础上，提出运用该方法的4个条件，即稳健性、可插性、单调性和叠加性，并给出了定义。这4个条件是误差校正后的阵列有效工作的前提，仿真实验验证了该结论。提出的条件对工程实践具有一定的指导价值。

关键词：阵列信号；模型误差；导向矢量；叠加性

0引言

阵列信号处理是信号处理领域里的一个重要分支，广泛应用在雷达、通信、水声和地震等诸多领域，其物理基础是阵元输出信号之间具有严格相关性，且这种相关性可以用阵列模型描述。然而，在进行阵列信号处理前，需要先对天线接收的信号进行放大和变换，不可避免地导致阵元输出信号之间的相关性降低，影响阵列信号质量。此外，天线加工的工艺、阵元布置的精确性等许多实际因素都会影响阵列信号质量，因此实际的阵列信号与理想的阵列模型之间存在误差，称这种误差为阵列模型误差。阵列模型误差的类型[1]主要有阵元方向图不一致性误差、通道幅相误差、阵列位置误差和阵元之间的互耦误差等。模型误差校正是阵列信号处理研究的一个重要课题。

传统的误差校正方法是导向矢量内插法[2]，该方法直接对误差条件下的导向矢量进行离散测量、内插，工作量较大。近年来，参数化校正方法是研究热点，参数化校正方法对模型误差进行参数化建模，估计模型误差的参数，校正精度高。参数化方法又可以分为有源校正[3-4]和自校正[5-6]，有源校正需要设置方位精确已知的校正源对阵列误差进行离线估计，而自校正则不需要，自校正对阵列误差和入射信号方向进行联合估计，或只对入射信号方向进行估计。王布宏等[7]提出辅助阵元法(instrumental sensor method,ISM)，通过增加位置精确校正的辅助阵元对方位依赖的幅相误差进行自校正，王鼎等[8-9]又将辅助阵元法应用到阵元位置误差、幅相误差、互耦误差等具体场合。辅助阵元法依然对模型误差进行建模处理，但在实际中，模型误差的类型非常多，且阵列中往往同时存在多种类型的误差，难以预测，因此对模型误差准确建模难以实现，因此参数化校正方法效果并不明显，导向矢量内插法依然是最实用的误差校正方法。

不同类型的模型误差具有不同的特性，对阵列输出信号的影响也不一定都是线性的，因此工程中对模型误差校正是有条件要求的。例如在理想条件下，只要阵元间隔小于入射信号半个波长，则阵列是无模糊[10]的，但当阵列中存在模型误差时则不然。本文提出运用导向矢量内插法的4个必要条件，即稳健性、可插性、单调性和叠加性。这4个条件对MUSIC算法[11]等阵列信号处理算法至关重要，仿真实验将证明本文的结论。

1基于内插技术的阵列误差校正

1.1理想阵列模型

以均匀线阵为例，均匀线阵的阵列结构如图1所示。相邻阵元之间的间隔为d，d≤λ/2，λ为信号波长；第i个入射信号的方位角为φi，π/2≥φi≥-π/2。当有D个信号入射时，阵列输出信号为

x(t)=As(t)+n(t),

(1)

式中：

x(t)=(x1(t),x2(t),…,xM(t))T，

(2)

n(t)=(n1(t),n2(t),…,nM(t))T，

(3)

s(t)=(s1(t),s2(t),…,sD(t))T，

(4)

(5)

(6)

图1　均匀线阵结构图Fig.1　Configuration of a uniform linear array

1.2模型误差存在条件下的导向矢量

(7)

式中：⊗表示点乘；F为通道误差矢量，F=(F1，F2，…，FM)，Fm为第m个阵元的通道误差。

(8)

1.3导向矢量内插法

首先，在观测方向范围内按一定步进选取离散方向点。然后，利用方向精确校准的信号源依次从各离散方向上入射阵列，由阵列输出信号逆向求解导向矢量。最后，对导向矢量进行多维内插得到其他方向上的导向矢量。

(9)

(10)

则其归一化导向矢量为

(11)

2导向矢量内插法的条件

导向矢量内插法虽然可以避免复杂的模型误差建模，但要使该方法行之有效，需要满足以下条件：

(12)

则认为阵列导向矢量是稳健的。

(2) 可插性

对离散点方向的导向矢量测量相当于对真实的导向矢量进行采样，而非离散点方向上的导向矢量则需要通过内插获得。内插是有信息损失的，其结果不可能与真实数据完全一致，只能尽可能逼近真实数据。如果内插的结果与真实数据较为接近，则称导向矢量具有可插性。当导向矢量不具有可插性时，通过提高离散点方向的密度可以改善导向矢量的可插性，但会增加实际工作量。

设判断导向矢量是否可插的门限值为Tv，φ为任意方向，若

(13)

(3) 单调性

导向矢量表征的是信号入射方向与阵列之间的关系，一个导向矢量只能对应一个入射方向，否则将会产生模糊。导向矢量与信号入射方向之间一一对应的映射关系，称为导向矢量的单调性。在理想阵列模型条件下具有单调性的导向矢量，由于模型误差的存在，也有可能不具有单调性。设导向矢量单调性的门限为Tc，φ1和φ2为任意2个方向，若

图2中竖坐标表示子批量，纵坐标表示选择的工艺路线，横坐标表示工艺路线下的所有工序；式(25)中，数组O=[ot,r]4×r分别记录了工序加工所选择的机床、刀具、夹具、搬运设备，r表示工序个数；式(26)中，数组W=[we,r]w×r存储了调度过程中工序在机床上加工的顺序。

(14)

则认为导向矢量具有单调性，Tc

(4) 叠加性

阵列有可能同时接收多个不同方向的信号，每个信号对应一个导向矢量，这些导向矢量可能会相互影响，发生紊乱，这是阵列信号处理所不能接受的。当阵列同时接收多个不同方向的不相关信号，这些方向对应的导向矢量之间没有影响，则该阵列满足叠加性。当任意D个方向将φ1，φ2,…,φD信号入射阵列时，D

Λ(φ1,φ2,…,φD)=(a(φ1),a(φ2),…,a(φD)).

(15)

阵列输出信号的协方差矩阵为

R=E[xxH]=ASAH+σ2I,

(16)

式中：S=E[ssH]；σ2为噪声的方差；I为单位矩阵，σ2I=E[nnH]。对R进行特征分解，并对特征值按降序排列可得

λ1≥λ2≥…≥λD≥λD+1=…=λM，

(17)

与λ1,λ2,…,λM相对应的特征向量记为e1,e2,…,eM，前D个特征向量所张成的子空间记为ES，ES=(e1,e2,…,eD)，后面的M-D个特征向量张成的子空间记为EN，EN=(eD+1,eD+2,…,eM)。

如果该阵列满足叠加性，根据子空间理论，ES与Λ(φ1,φ2,…,φD)等价，EN与Λ(φ1,φ2,…,φD)正交，则

(18)

由于噪声等因素存在，αi不为0，但接近于0，即

αi

(19)

式中：tε为门限，是大于0但接近于0的常数。

式(19)即为判断阵列是否满足叠加性的依据，如果阵列不满足叠加性，则不能用于接收多信号。

3仿真分析

仿真1：五元均匀线阵，阵元间距为0.3 m；利用导向矢量测量法得到离散点方向导向矢量，相邻离散点间距为3°，通过线性插值，相邻插值点间距为0.5°；空间有一2 GHz的信号从30°方向入射。当导向矢量的稳健性较好(扰动很小)时，通过MUSIC算法计算空间谱，见图2。当导向矢量稳健性较差时，假设相对于测量得到的归一化导向矢量，幅度扰动在[-0.06,0.06]的区间内均匀分布，相位扰动在[-0.05π，0.05π]的区间内均匀分布，基于MUSIC算法的空间谱图见图3。

图2　空间谱图(稳健性较好)Fig.2　Plot of spatial spectrum with great robustness

从图中可以看出，当导向矢量稳健性较好时，MUSIC算法能够比较准确地测出来波方向。但当稳健性较差时，不仅方向估计误差较大，而且分辨率较低。导向矢量的稳健性是MUSIC算法的高分辨率的重要保证。

图3　空间谱图(稳健性较差)Fig.3　Plot of spatial spectrum with poor robustness

仿真2：五元均匀线阵，阵元间距为0.3 m，进行外场试验，利用导向矢量测量法得到离散点方向导向矢量，再进行线性插值。当离散测量间距为2°、插值间距为0.25°时，插值后的导向矢量见图4；当离散测量间距为6°、插值间距为0.25°时，插值后的导向矢量见图5。空间有一2 GHz的信号从31°方向入射，在两种插值情形下的空间谱图分别为图6和图7。

图4　导向矢量图(离散测量间距为2°、插值间距为0.25°)Fig.4　Plot of steering vectors when the measuring step is 2° and the interpolated step is 0.25°

图5　导向矢量图(离散测量间距为6°、插值间距为0.25°)Fig.5　Plot of steering vectors when the measuring step is 6° and the interpolated step is 0.25°

图6　空间谱图(满足可插性)Fig.6　Plot of spatial spectrum with great insertability

图7　空间谱图(不满足可插性)Fig.7　Plot of spatial spectrum with poor insertability

图4和图5截取了一部分阵列流型的幅度图和相位图，其中通道1(阵元1)是参考通道，故未显示。在误差存在条件下，从阵列流型幅度图和相位图中很难发现规律性，说明误差对阵列流型的影响时比较明显的。当离散测量间距为2°时，阵列流型的细节变化比较清楚；当离散测量间距为6°时，阵列流型信息损失严重。图6中的来波方向估计误差较小，而在图7中误差较为严重，说明空间谱估计对阵列流型误差较为敏感，式(13)可以检验阵列流型的可插性。

仿真3：五元均匀线阵，阵元间距为0.3 m；测量得到离散点方向导向矢量并进行插值，相邻插值点间距为0.5°。由于模型误差的影响，30°方向和-22°方向的导向矢量非常接近。空间一信号从-22°方向入射阵列，空间谱图见图8。

MUSIC算法通过辨别导向矢量获得入射信号的方向，当导向矢量不具有单调性时，MUSIC算法无法有效辨别入射信号方向。因此，虽然空间只有一个信号从-22°方向入射，但是在图8中可以看出30°方向的峰值也非常明显，严重影响着基于MUSIC算法的来波方向估计结果。MUSIC算法的有效性非常依赖导向矢量的单调性。

仿真4：五元均匀线阵，阵元间距为0.3 m；测量得到离散点方向导向矢量并进行插值，相邻插值点间距为0.5°；两信号入射，入射方向分别为-30°和20°。当阵列满足叠加性时，其空间谱估计结果如图9。当2个入射方向的导向矢量受到影响时，不妨将其受到的影响等效为扰动，并假设扰动与方向无关，仅与方向差有关。设幅度扰动在[-0.06Δθ,0.06Δθ]的区间内均匀分布，相位扰动在[-0.05πΔθ，0.05πΔθ]的区间内均匀分布，其中Δθ为方向差。此时空间谱估计结果如图10所示。

图8　空间谱(不满足单调性)Fig.8　Plot of spatial spectrum with poor monotonicity

图9　空间谱图(满足叠加性)Fig.9　Plot of spatial spectrum with great superposition

图10　空间谱图(不满足叠加性)Fig.10　Plot of spatial spectrum with poor superposition

MUSIC算法通过辨别导向矢量估计来波方向，当导向矢量发生紊乱时，MUSIC算法失效不可避免。图9中可以识别来波方向，但在图10中，由于导向矢量不满足叠加性，来波方向不明显，且估计不准确。阵列导向矢量的叠加性是MUSIC算法的前提。

4结束语

对阵列模型误差进行参数化建模的误差校正方法在实际工程中并不实用，导向矢量测量法是一种较为有效的模型误差校正方法，但运用该方法是有条件要求的。本文给出了4个条件，即稳健性、可插性、单调性和叠加性，仿真实验证明了这4个条件是导向矢量测量法行之有效的必要条件。实际上，参数化建模的校正方法也是有条件要求的，有待后续研究提出。

参考文献：

[1]柳艾飞. 阵列测向与阵列校正技术研究[D]. 西安: 西安电子科技大学, 2012: 21-25.

LIU Ai-fei. Research on Direction Finding and Array Calibration Techniques[D]. Xi′an: Xidian University, 2012: 21-25.

[2]SCHMIDT R O. Multilinear Array Manifold Interpolation[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1992, 40(4): 857-866.

[3]PARK H Y, LEE C Y, KANG H G, et al. Generalization of Subspace-Based Array Shape Estimations[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering, 2004, 29(3): 847-856.

[4]WANG D,WU Y. Array Errors Active Calibration Algorithm and Its Improvement[J]. Science China Information Sciences, 2010, 53(5): 1016-1033.

[5]FRIEDLANDER B, WEISS A J. Direction Finding in the Presence of Mutual Coupling[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1991, 39(3): 273-284.

[6]WIJNHOLDS S J, VEEN A J. Multisource Self-Calibration for Sensor Arrays[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(9): 3512-3522.

[7]王布宏, 王永良, 陈辉, 等. 方位依赖阵元幅相误差的辅助阵元[J]. 中国科学: 信息科学, 2004, 34(8): 906-918.

WANG Bu-hong, WANG Yong-liang, CHEN Hui, et al. Array Calibration of Angularly Dependent Gain and Phase Uncertainties with Carry-on Instrumental Sensors[J]. Science in China Series E: Information Sciences, 2004, 34(8): 906-918.

[8]王鼎, 吴瑛. 阵元位置误差自校正的累积量域辅助阵元法[J]. 系统工程与电子技术, 2010, 32(7):1357-1364.

WANG Ding, WU Ying. Cumulants-Based Instrumental Sensors Method for Self-Calibration of Sensor Position Errors[J]. Systems Engineering and Electronics, 2010, 32(7):1357-1364.

[9]王鼎, 吴瑛. 基于辅助阵元的阵列误差有源校正算法[J]. 中国科学: 信息科学, 2011,41(5): 626-637.

WANG Ding, WU Ying. Array Errors Active Calibration Algorithm Based on Instrumental Sensors[J]. Science in China Series E: Information Sciences, 2011,41(5): 626-637.

[10]何子远. 稀疏阵DOA估计及模糊特性研究[D]. 成都: 电子科技大学, 2009: 57-78.

HE Zi-yuan. Research on DOA Estimation and the Ambiguities for Sparse Arrays[D]. Chengdu: University of Electronic Science and Technology of China, 2009:57-78.

[11]张小飞,汪飞,徐大专. 阵列信号处理的理论和应用[M]. 北京:国防工业出版社,2010.

ZHANG Xiao-fei, WANG Fei, XU Da-zhuan. The Theory and Application of Array Signal Processing[M]. Beijing: National Defense Industry Press,2010.

[12]CHAPRA S C, CANALE R P. Engineering Numerical Methods [M]. New Delhi: Tata McGraw-Hill, 2002.

Requirement of Steering Vector Interpolation in Array Calibration

ZHANG Xing-liang，WANG Ke-ren，JIN Hu

(Electronic Engineering Institute,Anhui Hefei 230037, China)

Abstract:Array signal processing is adversely affected by array model errors. Considering that model errors are difficult to be modeled, the interpolation technology is usually used to calibrate them in practice. Based on the analysis on the method of steering vector interpolation, four defined requirements, i.e.robustness, insertability, monotonicity and superposition are proposed to apply this method. Those requirements are prerequisites for array working. This conclusion is demonstrated by the results of simulation experiments. Therefore, the proposed requirements are valuable in engineering practice.

Key words:array signal; model error; steering vector; superposition

中图分类号：TN911.23

文献标志码：A

文章编号：1009-086X(2015)-02-0076-06

doi:10.3969/j.issn.1009-086x.2015.02.013

通信地址：230037安徽省合肥市黄山路460号402室E-mail：305755450@qq.com

作者简介：张兴良(1985-)，男，安徽庐江人。博士生，研究方向为阵列信号处理。

* 收稿日期：2014-04-23；
修回日期：2014-05-21