带扰动的广义Erlang(n)风险过程最大亏损问题研究



带扰动的广义Erlang(n)风险过程最大亏损问题研究

王健，王传玉，周金乐

(安徽工程大学 数理学院,安徽 芜湖241000)

摘要：运用Laplace变换，研究了带扰动的广义Erlang(n)风险模型最大亏损的分布，求得满足生存概率的一个积分-微分方程的解。它的解可以表示为2n阶线性独立特解的一个线性组合，当n=2时，得到最大亏损分布的精确表达式,再通过一个实例来说明该研究结果。

关键词：带扰动的广义Erlang(n)风险模型；广义Erlang(n)索赔间隔；积分-微分方程；最大亏损

风险理论是对风险定量分析和预测的一种理论。保险公司在经营过程中面临许多潜在风险，严重影响着保险公司的经营成果。当保险公司赔付发生后，其盈余可能为负，这时如果保费收入远小于保险公司的赔付，就会导致保险公司破产。最大亏损(公司盈余首次为负后的最大破产值分布)是研究保险公司破产的一个重要指标，保监会也需要通过这个指标来衡量保险公司的风险承受能力。研究最大亏损量可以有效控制保险公司的经营风险，保护保险公司的经营成果，所以对保险公司最大亏损的研究具有非常重要的现实意义。

破产理论的研究可以追溯到瑞典精算师Filip Lundberg在1903年发表的博士论文[1]。在这篇论文中，Lundberg首次提出了一类重要的随机过程Poisson过程，但Lundberg的工作还是不太符合现代数学的严格标准。后来以Harald Cramer为首的瑞典学派将Lundberg的工作奠定在坚实的数学基础之上，同时Cramer也将破产论建立在随机过程理论的基础上，并发展了随机过程理论。Bergel等[2-3]研究了Erlang(n)风险模型和广义Erlang(n)风险模型下的Lundberg方程，运用得到的结果去计算出破产最大亏损的分布，然后考虑一个利息力，研究了预期红利贴现，考虑一般索赔额分布，通过Albrecher[4]所提出的更一般的方法去代替。Li等[5]研究了Erlang(n)风险过程中破产前的最大盈余分布所满足的积分-微分方程及其边界条件，它的解可以表示为n个线性独立特解的一个线性组合。特别地，当索赔服从有理分布时，给出了精确结果。最后运用以上结果表示出最大亏损的分布和在一个常利率情况下考虑一个障碍策略。

国内学者，张春生等[6]主要研究了带干扰的Erlang(2)风险模型中的生存概率问题。王珊珊等[7]研究了带干扰的广义Erlang(n)风险模型破产前资产余额的最大值的分布问题，推导出破产前资产余额的最大值满足具有一定边界条件的齐次积分微分方程，与单纯的广义Erlang(n)风险模型相比较，他们的论证更为复杂，结果更为精细。江五元等[8]考虑了索赔时间间距为广义Erlang(n)分布的带干扰更新风险过程，建立了破产前最大盈余所满足的积分微分方程，讨论了索赔量分布为Km分布时的特殊情形。以上研究结果都对本课题的研究提供了理论方法上的借鉴。

本文将在带干扰的广义Erlang(n)风险过程，通过Laplace变换求出一个积分-微分方程的解，继而对最大亏损进行研究。

1模型的建立

本文中，我们将通过以下模型来研究盈余过程：

(1)

我们对(1)模型中感兴趣的主要研究对象，设置一些数学定义：

定义1破产时刻表示为

当且仅当∀t≥0,U(t)≥0。

定义2最终破产概率定义为Ψ(u)=P(T<∞)和相应的不破产概率(生存概率)

定义3盈余水平从最初盈余水平u达到水平b(不包括第1次跌破0)的概率为

其中τb=inf{t>0:U(t)≥b|U(0)=u}表示盈余水平第1次达到水平b的时刻。

2积分-微分方程

定理1χ(u,b)满足一个n阶积分-微分方程，表示为以下形式：

(2)

其中，D表示一个微分算子，

是一个2n阶线性微分算子。

证明：通过Gerber等[9]，我们可以得到定理中需要的积分-微分方程。

通过积分微分方程定理[5]，方程(2)的一般解形式为：

(3)

其中，对i=1,2,…,2n，vi(u)是(2)式的2n个线性独立的特解，ηi(b)是任意实数。这样得到：

(4)

其中，η1(b)、η2(b)、…、η2n(b)由下列线性方程组决定

(5)

(6)

通过上述分析，为了方便，我们设v(u)表示(2)式的特解。下面我们对v(u)进行精细的分析。

3积分-微分方程的解

定理2假设ρ1、ρ2、…、ρn、ρ0=0是互不相同的，下列方程是积分-微分方程(2)的线性独立特解：

(7)

其中，

证明：首先，由文献[10]中的(12)式，我们知道

(8)

这是一个广义的Lundberg方程。设ρ1,ρ2,…,ρn,ρ0=0是方程(8)的实部大于0的2n个根。

定义积分实函数f算子[11]Tr为

r∈C,R(r)≥0,x≥0

对方程(2)两边同时进行Laplace变换，左边有：

右边有：

这样得到：

则得：

(9)

因为ρ1,ρ2,…,ρn互不相同，根据拉格朗日插值定理得：

通过差分定理得：

这样，(9)式可以写为：

(10)

转化(10)式，我们就可以得到定理中的结论。

4最大亏损

假设破产后盈余过程继续，考虑从破产发生时刻到公司再次盈余时公司破产的最大程度。定义以下概念：

定义4破产后盈余过程首次突破0的时刻为T′=inf{t:t>T，U(t)≥0},T为有限的。

定义5盈余在T≤t≤T′的时间间隔中最大破产为

定义6破产发生后，最大破产的条件分布函数定义为

定义7破产发生后，破产发生时的赤字最大为y时的概率为

定理3在模型(1)中，当n=2时，最大亏损可以写成如下形式：

证明由Dickson[12]可知，

(11)

其中，g(u,y)=∂G(u,y)/∂y

当n=2时，由(4)知：

由Wang等[7]得：

则，

(12)

因此，只要知道v2(u),v4(u)就可以得到χ(u,b)的具体表达式了。

Li[13]中给出，

(13)

(14)

同理可得

(15)

综合(12)、(14)、(15)，得到χ(u,b)的具体表达式

根据式(11)，得到

而

整理以上结论得到破产后最大亏损的精确表达式，即定理所给出的形式。

5实例分析

前述给出了公司破产最大亏损的表达式，下面将通过实例来说明。首先，考虑破产概率Ψ(u)=P(T<∞)。

引理1风险模型(1)的最终破产概率为

(16)

其中，R为调节系数。

证明详见文献[14]中的证明。

又由定义(2)得

(17)

考虑调节系数R，文献[15]详细地介绍了干扰项{W(t)∶t≥0}对破产概率的影响，其中最重要的影响就是扰动系数σ对于调节系数R的影响。文中给出调节系数R明显地依赖于布朗运动扰动系数σ，具体来说就是调节系数R与扰动强度σ呈负相关关系，扰动强度σ越大，调节系数R就越小，破产概率Ψ(u)就越大，这与实际情况是相符合的。

例考虑风险模型(1)为索赔额服从参数为β的指数分布，相对安全负载系数c，设ρ1=ρ2=ρ是广义Lundberg方程的一个实部大于0的重根，R为调节系数。

由(17)可得定理3中部分式为：

(18)

(19)

将式(18)(19)带入定理3，可得

(20)

(21)

(22)

综合(21)、(22)式，可得

J(z;u)=0.09η4(0.007e4.596z+0.167e-z+

1.043e-0.768z-0.283)+60.093η2(0.007e4.596z+0.043e-0.768z-0.05)

同理，

当扰动强度σ2=1，调节系数R=0.452时，可得

(23)

(24)

综合(23)、(24)式，可得

J(z;u)=0.18η4(0.011e4.596z+0.098e-z+

1.145e-0.452z-0.667)+60.093η2(0.011e4.596z+0.145e-0.452z-0.119)

当扰动强度σ2=2，调节系数R=0.292时，可得

(25)

(26)

综合(25)、(26)式，可得

J(z;u)=0.045η4(0.009e4.596z+0.064e-z-

0.292e-0.292z-0.862)+60.093η2(0.009e4.596z+0.184e-0.292z-0.154)

最后，运用Matlab软件进行模拟。

当σ2=1时，可以得出如图1结果。

当σ2等于2和0.5时，结合σ2=1可得如图2结果。

图1　σ2=1，J(z;u)的值Fig.1　The results of J(z;u) when σ2=1

图2　σ2为不同值时，J(z;u)值比较Fig.2　The results of J(z;u) when σ2 is different values

由图2可以明显的看出扰动系数越小(σ2=0.5)对保险公司最大破产的干扰就越偏低，扰动系数越大(σ2=2)对保险公司最大破产的影响就偏大，这也是符合实际的。

上例中我们给出了计算保险公司最大亏损的实例，通过图1和图2可以看出扰动的大小对保险公司最大亏损存在着影响。由于本文中所取扰动量相近，图中所呈现的变化不太大，但是在保险公司的实际经营中，干扰的情况会随时的发生，而且每个干扰之间可能有很大的区别，所以可能会给保险公司带来较大的风险。根据以上结果我们建议保险公司在经营时应该保持稳定，避免有大起大落，在签署保单的时候应控制保单的数量和质量，有利于避免骗保现象，防止出现由于大量质量不好的保单造成大额索赔，避免对保险公司经营的干扰。

6小结

最大亏损是研究公司破产的一个重要指标，研究最大亏损量可以有效控制保险公司的赔付，进而有利于保护保险公司和有利于其监督机构对保险公司的监督。本文主要讨论了在带扰动的广义Erlang(n)风险过程中公司盈余首次为负后，盈余过程继续，考虑从破产发生时刻到公司再次盈余过程公司破产的最大程度，并给出n=2时最大亏损的精确表达式。本文在前学者研究带扰动的广义Erlang(n)风险过程的基础上进行了进一步研究，使最大亏损得到更好的表达，以期有利于后来学者对于保险公司破产的研究。

参考文献：

[1] Lundberg F. Approximerad Framstallning av Sannolikhersfunktionen. ⅡAterforsakring av Kollektivrisker[D].Uppsala:Almqvist Wiksell, 1903.

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[13] Li S, Garrido J. On a class of renewal risk models with a constant dividend barrier[J].Insurance: Mathematics and Economics, 2004,35(3):691-701.

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[15] 彭勤文.一个带扰动的风险模型的破产概率[J].杭州电子科技大学学报,2005,25(3):90-92.

(责任编辑：张英健)

The Maximum Severity of Ruin in a Generalized Erlang(n)

Risk Process Perturbed by Diffusion

WANG Jian, WANG Chuanyu, ZHOU Jinle

(School of Mathematics and Physics, Anhui Polytechnic University, Wuhu Anhui241000, China)

Abstract：In this paper, we discuss the distribution of the maximum severity of ruin from the time of ruin until the time that the surplus returns to level 0 in a generalized Erlang(n) risk process perturbed by diffusion. Then, we solve an integro-differential equation that is satisfied by the survival probability by the way of Laplace transform. Its solution can be expressed as a linear combination of 2n linearly independent particular solutions of the integro-differential equation. When n=2, the maximum severity of ruin can be expressed explicitly in terms of the non-ruin probability. Finally, the research results of this paper are illustrated through an instance.

Keywords：the generalized Erlang(n) risk process perturbed by diffusion; generalized Erlang(n) claim waiting time; the integro-differential equation; the maximum severity of ruin

作者简介：王健(1989-)，男，安徽六安人，硕士生，主要研究方向为精算数学。

基金项目:国家自然科学基金项目(61203139);安徽省重点教研项目(2012jyxm277)

收稿日期：2014-11-19

中图分类号：O211.9

文献标识码：A

文章编号：1671-5322(2015)01-0009-07

doi:10.16018/j.cnki.cn32-1650/n.201501003