一类含p-Laplace算子的时滞微分方程多点边值问题解的存在性

郑春华，刘文斌(．陕西工业职业技术学院基础部，陕西咸阳　7000;．中国矿业大学数学系，江苏徐州　6)



一类含p-Laplace算子的时滞微分方程多点边值问题解的存在性

郑春华1，刘文斌2
(1．陕西工业职业技术学院基础部，陕西咸阳712000;2．中国矿业大学数学系，江苏徐州221116)

摘要:利用上下解方法和紧向量场方程的解集连通理论研究了一类含p-Laplace算子的时滞微分方程多点边值问题．得到了这类边值问题解存在的充分条件，并在允许非线性项变号的情况下得到了该边值问题非负解的存在性，推广和改进了一些已有结果．

关键词:p-Laplace算子;时滞;多点边值问题;上下解方法;连通性

引用格式:郑春华，刘文斌．一类含p-Laplace算子的时滞微分方程多点边值问题解的存在性［J］．安徽师范大学学报:自然科学版，2015，38(2) : 117－122．

随着科学技术的不断发展，在医学、生态学、自动控制等应用研究领域中提出了大量具有时滞的微分方程，它们一直受到科学研究人员的广泛关注［1］．由于时滞微分方程的周期边值问题和两点边值问题相对比较简单，研究工作相对较多，也比较深入，已经出现不少有代表性的结果［2－5］．在多点边值问题方面，常微分方程的相关问题的研究已经进行了几十年，也已取得不少出色的结果［6－8］，但关于时滞微分方程相应边值问题的结果还不是很多．在文献［9］中，作者利用Krasnoselskii不动点定理研究了边值问题正解的存在性．

对于含有p-Laplace算子的时滞微分方程的非局部边值问题，文献［10］的作者利用Krasnoselskii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理研究了问题正解的存在性．

上下解方法是微分方程边值问题研究中的一种经典方法，在时滞微分方程的多点边值问题的工作中，利用上下解方法开展研究的还不多．在本文中，我们以上下解方法和紧向量场方程的解集连通理论为工具研究含有p-Laplace算子的时滞微分方程的多点边值问题

解的存在性，得到了边值问题(1)解存在的充分条件，进一步我们还得到了它存在非负解的条件，其中p(s)且φ(0) = 0，m为大于

2的整数．

1　预备知识

定义1 设u∈C［－τ，1］∩C1［0，1］且p(u')∈C1［0，1］，若u(t)满足则称u(t)为边值问题(1)的下解，类似可以给出其上解的定义．

下面列出两个文中经常用到的条件，

(A1) BVP(1)存在下解珋x0(t)和上解珋y0(t)且珋x0(t)≤珋y0(t)，

(A2) f∈C(［0，1］×R×R，R)且f(t，珋x0(t)，y)和f(t，珋y0(t)，y)关于y单调递增．

引理1［11］设Ω为Banach空间X中的有界闭凸集，T:［a，b］×Ω→Ω为全连续映射，则集合

S = { (λ，x) | T(λ，x) = x，λ∈［a，b］}

包含一条连接{ a}×Ω与{ b}×Ω的连通分支Σ．

引理2 珋x(t)为边值问题(1)的解的充要条件是x(t) =珋x(t)－x*(t)是问题的解，其中

引理2的证明是容易的，在此略去．

由引理2知，要研究问题(1)解的情况只需讨论边值问题(2)解的情况即可．若珋x0(t)和珋y0(t)分别为BVP(1)的下解和上解且珋x0(t)≤珋y(t)，容易验证x0(t) =珋x0(t)－x*(t)和y0(t) =珋y0(t)－x*(t)分别为BVP(2)的下解和上解且x0(t)≤y0(t)．

定义修正函数

f*(t，x(t)，x(t－τ) + x*(t－τ) )

有下面的引理3．

引理3 若条件(A1)和(A2)成立，则对BVP(3)的解x(t)有x0(t)≤x(t)≤y0(t)，t∈(0，1)成立．

证明 设x(t)为BVP(3)的任意一个解，若x(t)≥x0(t)不成立，则存在t0∈［0，1］使得x(t0)－．由于x(0)－x0(0) = 0，故t0∈(0，1］．如果t0= 1，则

x'(t)－x'0(t)＜0 t∈(t0－δ，t0)，

再结合p的单调性可知

p(x'(t) )＜p(x'0(t) ) t∈(t0－δ，t0)，从而有(p(x')－p(x'0) ) '(t0)≥0．

另一方面，由BVP(3)中的第一个方程、修正函数及下解的定义可知

(1)若x(t0－τ)≤x0(t0－τ)，则

(2)若x(t0－τ)＞x0(t0－τ)，则利用条件(A2)可知

显然和前面的结论矛盾，因此，x(t)≥x0(t)成立．类似可以证明x(t)≤y0(t)．

2　主要结果及证明

定理1 设条件(A1)－(A2)成立，则边值问题(1)有解．

证明 利用引理2和引理3可知，要证明边值问题(1)有解，只需证明边值问题(3)有解即可．将边值问题(3)和下解转化为方程组的形式，

(4)有解．

为了利用引理1证明BVP(4)有解，引入以下几个定义．

并定义范数

首先证明x2(t)在［0，1］上有零点．事实上，如果x2(t)＞0，t∈［0，1］由BVP(4)中的第二个方程可知x'1(t)＞0，t∈［0，1］，故x1(1)＞x1(t)≥x1(0) = 0．另一方面，利用

(1)可得x1(1)≤0，矛盾．类似可证x2(t)＜0，t∈［0，1］也不可能，故x2(t)在［0，1］上有正有负，利用微分中值定理知结论成立．

再利用的有界性和BVP(4)中的第二个方程可得M的存在性．

定义算子:

其中D(L) = { x | x∈X∩C1［0，1］×C1［0，1］}．易证

定义算子

易知X = KerLKerP，Y = ImLR，对任意的x∈X有x = C + W，其中

则Lp具有连续的逆算子，记Kp= Lp－1，KPQ= KP(I－Q)．由于Kp全连续，I－Q和连N续，从而KPQ全连续．

容易验证问题(4)等价于

若记T(c，W) = KP(I－Q) N(C + W)，利用F的有界性可得N也是有界算子，进一步可知存在有界闭凸集Ω KerP使得T(c，Ω)Ω，进而利用Schauder不动点定理容易证明对任意的c∈R都有W∈Ω满足(5)中的第一个方程，即

W(c) = { W | W = KP(I－Q) N(C + W) }≠?．

由引理1可知对任意的m，n∈R且m＜n，集合S = { (c，W) | T(c，W) = W，c∈［m，n］}包含一条连接{ m}×W(m)与{ n}×W(n)的连通分支Σ．

对于任意的c∈R，由于集合W(c)Ω有不依赖于c的界，故可以选c1∈R取使得c1+ w2(t)＞y02(t)，t∈(0，1)，W∈W(c1)，这里y0(t) = (y01(t)，y02(t) )T为相应于边值问题(4)的上解．

可知要使(5)中的第二个方程成立，只需证明存在(c0，W0)使得式子

成立即可，其中W0= (w01(t)，w02(t) )T∈W(c0)．利用上解的定义和q的单调性可得

同理可选常数c2＜c1使得c2+ w2(t)＜x02(t)，t∈(0，1)，W∈W(c2)．类似于上面的证明可知

成立．再利用Σ的连通性和介值定理可知存在c0∈［c2，c1］及相应的W0使得(c0，W0)∈Σ且方程(5)中的第二个方程也成立．记C0=［0，c0］T，则C0+ W0为方程(5)的解，也为BVP(4)的解，w01(t)为问题(2)的解，进而利用引理2可知BVP(1)有解．

推论1 设f(t，x，y)满足

(B1)且存在常数b＞0满足

(B2) f(t，0，y)和f(t，bt，y)关于y单调递增; 则BVP(1)有非负解．

分别为BVP(1)的下解和上解且x珋0(t)≤y珋0(t)，利用定理1可知BVP(1)存在解x(t)满足0≤x(t)≤bt，t∈［0，1］，即BVP(1)存在非负解．

易验证条件(B1)、(B2)成立，利用推论1可知边值问题(6)存在非负解x(t)满足0≤x(t)≤t，t∈［0，1］．

参考文献:

［1］Jack Hale．泛函微分方程理论［M］．北京:世界图书出版公司2003．

［2］ SHU X B，HUANG L H，LI Y J．Triple positive solutions for a class of boundary value problems for second-order neutral functional differential equation［J］．Nonlinear Analysis．2006，65(4) :825－840．

［3］ WANG Y Y，ZHAO W X，GE W G．Multiple positive solutions for boundary value problems of second order delay differential equations with onedimensional p-Laplacian［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2007，326(1) 641－654．

［4］ BAI D Y，XU Y T．Periodic solutions of first order functional differential equations with periodic deviations［J］．Computers＆Mathematics with Applications，2007，53(9) :1361－1366．

［5］ MA R Y Xu Jia，Han X L．Global structure of positive solutions for superlinear second order periodic boundary value problems［J］．Applied Mathematics and Computation，2012，218(10) :5982－5988．

［6］ WANG Y M．The iterative solutions of 2nth-order nonlinear multi-point boundary value problems［J］．Applied Mathematics and Computation，2010，217(5) :2251－2259．

［7］ SUN Bo，GE W G．Existence and iteration of positive solutions to a class of Sturm–Liouville-like p-Laplacian boundary value problems［J］．Nonlinear Analysis，2008，69(4) :1454－1461．

［8］ LI F F，SUN J T，JIA Mei．Monotone iterative method for the second-order three-point boundary value problem with upper and lower solutions in the reversed order［J］．Applied Mathematics and Computation，2011，217(9) :4840－4847．

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［10］ DU Bo，HU X P，GE W G．Positive solutions to a type of multi-point boundary value problem with delay and one-dimensional p-Laplacian［J］．Applied Mathematics and Computati-on，2009，208(2) : 501－510．

［11］徐登洲，马如云．线性微分方程的非线性扰动［M］．北京:科学出版社，1994．

Existence of Solutions for a Multi-Point Boundary Value Problem With Delay and p-Laplace Operator

ZHENG Chun-hua1，LIU Wen-bin2
(1．Basic Department，Shaanxi Polytechnic Institute，Xianyang 712000，China; 2．Department of Mathematics，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221116，China)

Abstract:In this paper，a class of multi-point boundary value problem with p-Laplace operator and delay is studied．By using the method of upper and lower solutions and the connected theory of solutions set to compact vector field defined by equation，some sufficient conditions on the existence of solutions for this boundary value problem are obtained．Besides，the nonnegative solutions of this problem are obtained when the nonlinear item is allowed to change sign．Some known results are extended and improved．

Key words:p-Laplace operator; delay; multi-point boundary value problem; method of upper and lower solutions; connectivity

作者简介:郑春华(1982－)，男，河南漯河人，讲师，硕士，研究方向:微分方程边值问题．

基金项目:国家自然科学基金(NO．11271364) ;陕西工院科研项目(NO．zk13－40)．

收稿日期:2014－03－05

DOI:10．14182/J．cnki．1001－2443．2015．02．003

文章编号:1001－2443(2015) 02－0117－06

文献标志码:A

中图分类号:O175．8