多维动态规划算法在跨流域优化调水中的应用

杨斌斌

（辽宁省江河流域管理局，辽宁 沈阳 110003）

我国水资源时空分布不平衡，特别是部分中西部地区，发展潜能巨大，但缺水严重，水资源短缺已成为制约当地社会经济发展的重要因素。20世纪80年代开始，陆续兴建了多座大型跨流域调水工程，对缓解区域性缺水发挥了重要作用。在大量跨流域调水工程投入使用的背景下，如何进行科学地调度，使工程发挥效能，是一个亟待研究和解决的重大课题。下文从耗费水量与经济收益最大化的角度出发，应用动态规划方法来解决跨流域优化调水问题，具有一定的现实意义。

1 跨流域调水最经济模型

跨流域优化调水原则是根据有关地区社会经济发展要求，正确处理调入区与调出区水资源开发和利用，充分利用多水库联合调节作用，协调好本地水源与境外水源间的关系，以最小的经济成本解决地区供水矛盾。其数学模型的描述为：有n个水库Vk（1≤k≤n）和l个供水对象分布于r个流域内（r≥2），供水对象的需水量为Xl（1≤l≤m），流域间水库以a条调水线路相连接，其调水成本为pi（1≤i≤a），流域内供水水库与供水对象间以b条供水线路连接其调水成本为qj（1≤j≤b），要求通过跨流域补偿调节，将水资源较丰富流域的水调往水资源短缺的流域，并在调度期内满足供水需要的前提下使调水与供水之和最小。

目标函数：

式中：P为总供水成本，元；T为调度期时段总数；wdi为i条引水线路的调水量，m3；wgj为第 j条供水线路满足需水要求的供水量，m3。

约束条件：

1）水库水量平衡方程

式中：Vtk为k水库 t时段的需水量，m3；Vtk+1为k水库 t+1 时段的需水量，m3；△t为时段长，s；QItk为t时段k水库总引入水量，m3；QOtk为k水库总供出水量，m3；Itk为k 水库天然入库流量，m3/s；Otk为k水库下泄流量，m3/s。

2）水库蓄水量上、下限约束

式中：Vtk为k水库 t时段的需水量，m3；Vtk.min为k水库t时段的蓄水量下限，m3，一般为死水位；Vtk.max为k水库蓄水量上限，m3；一般汛期取汛限水位，非汛期取正常蓄水位。

3）调水量约束

式中：wti为第i条线路t时段的调水量，m3；wti，min为i线路t时段最小调水能力，m3；wti，max为i线路 t时段最大调水能力，m3。

4）供能力约束

式中：wtj为第j条线路t时段的供水量，m3；wtj，min为j线路最小引水能力，m3；wtj，max为j线路最大引水能力，m3。

5）供需平衡方程

式中：Xtl分别为 l供水对象t时段需水量，m3；Gtl,j为j线路t时段供给l对象的水量，m3。

2 多维动态规划算法

动态规划是研究多段决策过程最优化问题的一种经典的数学方法。它可以把复杂的初始问题简化成一系列简单化的结构相似的最优子问题，逐段求解得到整个系统的最优决策方案。采用动态规划方法必须满足2个基本条件：1）最优子结构性质，即一个最优化策略的子策略总是最优的；2）无后效性原则，某阶段未来的决策只能由当前状态决定，过去阶段的状态对决策无影响。

在水库优化调度的研究中，动态规划有着广泛的应用。对于单一水库供水问题，可以通过时段划分，将其转变为一个多阶段决策问题，但是在跨流域供水问题中往往涉及到多个水库同时向多个用水户输水，涉及到多维决策变量，并且约束条件十分复杂。为解决此问题，构建一个基于多层嵌套的多维动态规划计算模式，这样可以有效减少程序的复杂度，并且算法所具有的全局收敛性得以保留。在求解此问题时，首先根据调度要求和径流资料将调度期划分为t个时段，然后选择库容状态Vtk，并假设库容在约束范围内连续变化，将库容划分为M个状态，将供水量作为第t时段的决策变量，其正向递推模型为：

水库群供、调水系统优化调度中，需将约束优化通过罚函数的形式转化成无约束优化问题。在罚函数设计中，需要区分两个层次：1）水库蓄水状态或供水超出上、下限约束，以及时段供水量超过供水和调水能力是严格禁止的，称之为强制性约束；2）要尽量避免在允许破坏深度内的缺水或出现弃水的约束称为非强制性约束。将约束作为罚函数项加入到动态规划模型目标函数中进行求解，强迫程序在固定点或其附近取值，表达式如下：

式中：P为加入惩罚项前的目标函数值；F1，F2分别为强制约束和非强制约束项的惩罚系数；Ri和Uj分别为各项违反约束的程度；P′为加惩罚项后的目标函数值。强制性约束和非强制性约束分别对应不同的惩罚系数，一般而言，强制约束的惩罚系数应远大于非强制约束的惩罚系数。

3 应用实例

以我国北方某地区调水工程为研究对象，该工程是解决D城市2015年以前城市工业与生活用水，并改善区域水环境的一项跨流域调水工程。它由分布在4个流域内的4座的水库和2个城市组成，其中D水库为水源水库，向B水库调水，B水库和Y水库联合向F水库调水，再由F水库向D城市供水。同时，B水库需要向P城市供水并满足本地农业供水要求，Y水库需要满足本地农业供水要求。由于W水库调节能力有限，只起到中转作用，因此不考虑W水库的调节能力，向D城市供水量为B工程和Y工程输送水量之和。供水工程网络如图1所示。

为了便于对比分析，分别选用基于调度图的常规调度方法和动态规划优化算法，并采用1956—2007年长系列径流系列进行计算，表1给出了两种算法求解结果。

图1 供水工程网络结构图

表1 优化调度与基于调度图调度结果对比

通过结果对比可知，在满足供水要求的前提下，优化调度较调度图调度年平均少调12.32×106m3。在基于调度图调度中，l2线路调水量和l3线路调水量所占的比例分别为0.636和0.364；在优化调度中，二者的比例分别为0.637和0.363，两种方法供水比例相差较小。在基于调度图调度结果中，B水库和Y水库弃水总量为244.62×106m3，而在优化调度结果中，两水库弃水总量为225.27×106m3，较前者少弃水19.35×106m3，特别是B水库弃水削减较明显。两种方法中，与基于调度图调度结果对比，优化调度结果中调水量削减，并且弃水量明显削减，说明水库所在地水资源得到较为充分的利用，使得系统总的供、调水成本下降。

4 结 语

1）跨流域调水最经济模型能够有效调节空间水量分配，节约供水成本；

2）基于调水的多维动态规划算法具有较强的实用性和可靠性，能够为跨流域优化调水提供科学的决策；

3）动态规划在求解3个水库调水问题时速度较快，但是随着系统规模的增加，将导致维数灾难问题，影响计算速度甚至无法计算，所以需要对算法的降维方面做进一步研究。

［1］吴爱华，周建中，陶东兵，等.水库优化调度中随机动态规划方法的研究与应用［J］.计算机仿真，2003，20（10）：39—42.

［2］霍小江，李悦，朱学民.动态规划在水电厂经济运行中的应用［J］.华北水利水电学院学报，2002，23（4）：40—42.