高中数学教材例习题设计评价

吕　涛

( 黄冈师范学院 数理学院，湖北 黄州 438000)



高中数学教材例习题设计评价

吕涛

( 黄冈师范学院 数理学院，湖北 黄州 438000)

摘要在我国教材一纲多本的背景下，研究高中数学不同版本教材例习题的比较问题。在分析高中数学教材例习题的评价指标后，介绍了不确定理论的基础知识和不确定综合评判方法，采用基于期望值的不确定综合评价方法对两版高中数学教材的例习题比较，最终比较出两版教材例习题的优劣。

关键词例习题设计；不确定综合评价；期望值

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：教材是实现课程目标、实施教学的重要资源[1]。数学例题是数学教科书的重要组成部分，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源，是数学教科书中概念、命题与习题之间的桥梁和纽带[2]。数学习题是在数学概念、定理、公式等数学知识与数学方法的运用与问题解决之间架构桥梁的题目[3]。余元庆先生认为，习题是中学数学课本的重要组成部分，习题配备的好不好，直接影响到学生学习质量的高低[4]。通过评价比较不同版本的教材例习题质量，能为高中数学教材的习题设计提供借鉴，优化教材的编写，对提高教材的质量和数学教育质量具有重要意义[5]。

目前，有很多国内外学者对高中数学教材的例习题进行评价研究。从比较范围上来说，有把国内教材例习题与国外的比较研究，例如路伟力[6]把中国人教版和美国的教材针对例题习题的比较研究。也有把国内不同版本教材的例习题比较研究，例如李惠[7]把现行的人教A版和苏教版的教材例习题比较研究。从比较内容上来说，有针对例习题难度的研究，例如王建馨[8]比较了主要国家的数学教材例习题的难度。有针对例习题设计的比较研究，例如涂俊甫[9]对中日教材的例习题进行了整体比较。然而大部分教材评价方案中定性分析多，定量研究的比较少，尤其是缺乏整体的评价比较。

教材例习题评价是一个多目标多层次的复杂问题，虽然涉及面广，含有不确定因素多，但应用恰当的数学评价方法可以降低主观因素，提高评价的精度。刘宝碇[10]于2007年创立了不确定理论，之后在2010年对不确定理论[11]进行了提炼，这是基于规范性、自对偶性、次可数可加性以及乘积测度公理四条公理的一套合理的数学体系。在不确定理论框架下，又有很多学者研究了不确定综合评价方法。比如刘建军[12]在不确定理论的基础上提出了不确定综合评价方法，把评价指标的权重及评价因素的评价等级看作不确定变量。杨芳芳和付友华[13-14]提出一种新的不确定综合评价方法，这种方法的好处就是对于同一等级的几个评价对象很容易排序比较出谁更优秀。目前我国高中数学教材有多种版本，使用较多的是人教A版高中数学实验教科书与北师大版高中数学实验教科书。

本文将运用这种方法来评价人教A版和北师大版的高一数学上册教材例习题设计。按照这种方法，本文作者请几位数学专家对这两版教材进行打分，可以通过计算得出综合评分，然后根据分数高低对评价对象进行排序。

1两版教材简介

1.1　比较对象

本文对人民教育出版社发行的《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》(简称“人教A版”)[15]和由北京师范大学出版社出版发行的《普通高中课程标准实验教科书·数学》(简称北师大版)[16]的例习题设计进行比较研究。

1.2　教材评价指标分析

本文通过查阅资料，总结王健萍和邵光华[17]提出的中美数学教材例习题比较的维度以及卢萍和邵光华[18]提出的中德代数教材习题特色比较维度，提出评价高中数学教材例习题的指标体系。

(1)类型：题型是否多样化；例题与习题在知识点上是否一致；变式练习，体现举一反三；是否有探究性题目和综合性题目。

(2)难度维度：难度系数是否分层，有梯度；是否体现教学目标要求和考试大纲要求；例题是否适合新课教学使用。

(3)选材维度：体现数学思想方法；以数学史为背景；以学生生活和社会为背景；融合其它学科知识程度。

(4)数量维度：例习题是否包含了所有的知识点；数量是否适中，达到巩固作用。

2比较两版数学教材例习题设计

2.1　不确定理论基础知识

在介绍不确定综合评价方法之前，要学习简单的不确定理论基础知识。

定义1.1(Liu[10])设Γ是一个非空集合，L是Γ上的一个σ-代数。对于任意元素Λ∈L称为一个事件，M{Λ}是一个从L到[0,1]的集函数。如果M满足以下三条公理：

公理1：(规范性)对于全集Γ，有M{Γ}=1；

公理2：(对偶性)对于任意事件Λ∈L，M{Λ}+M{Λc}=1；

定义1.2(Liu[10])一个不确定变量ξ是从一个不确定空间 (Γ，L，M)到实数集上的一个可测函数，即对于任意实数集上的Borel集，集合{ξ∈B}={γ∈Γ|ξ(γ)∈B}是一个事件。

定义1.4(Liu[10])不确定变量ξ的分布函数Φ定义为Φ(x)=M{ξ≤x}，x∈R。

它的反函数Φ-1称为不确定变量ξ的逆分布。

定义1.5(Liu[10])若不确定变量ξ有不确定分布

则ξ称作是线性的，记为ξ~L(a,b)，这里a,b∈R，且a

它的逆不确定分布为Φ-1(α)=(1-α)a+αb。

定义1.6(Liu[10])若不确定变量ξ有不确定分布

则ξ称作之字形的，记为ξ~Z(a,b,c)，这里a,b,c∈R，且a

它的之字形逆不确定分布为

定理1.2(Liu[10])设ξ和η是两个独立的不确定变量，则对于任意实数a和b，有E[aξ+bη]=aE[ξ]+bE[η]。

2.2　不确定综合评价方法

综合评价首先建立评价指标体系，确定各指标的权重和评委的权重。然后要建立不确定评价矩阵，研究评价者如何对每项指标进行评价的问题。在这里把评价者给每项指标的不确定评价当作不确定变量，建立不确定综合评价模型。这里的指标是互相独立的。首先介绍符号的含义，见表1。

表1 符号的含义

不确定变量ξij(i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)组成的矩阵U，称为不确定评价矩阵，表示如下：

然后，用上述矩阵U乘以指标的权重矩阵W，得到一个新的矩阵B，它的元素ξj(j=1,2,…,n)代表第j个评委对评级对象的的综合不确定评价

接着，向量B乘以评委的权重向量V得到该评价对象的不确定综合评价，即不确定变量ξ。

为了得到几个评价对象之间的比较结果，我们需要使用一些比较准则[13-14]。

定义2.1[13-14](综合评价期望值比较准则)假设ξ和η是两个不确定变量，且都有有限的期望值，如果E[ξ]>E[η]，那么就称ξ比η优秀。

上述比较准则的性质介绍如下：

2.3　不同版本高中数学教材的综合评价

将上述不确定综合评价方法应用于高中数学教材例习题设计评价中，邀请三位专家作评委，他们的权重相同，且相加之和为1。即V=(v1,v2,v3)T=(1/31/31/3)T。鉴于线性不确定变量是不确定变量中很常见的一种形式，在下面的例子中用线性不确定变量来描述评委对指标的不确定评价。

第一步 建立评价指标体系

根据上文的教材指标，将教材例习题设计综合评价作为目标层，设立四个一级评价指标，分别标记为A、B、C和D。然后通过与10位一线教师交流，得出每位教师给出的一层指标权重如表2，得出平均值。为了使数据更加有效，去除最高权重和最低权重，然后算出平均值，根据指标和为1作出适当调整就得到了一层指标的权重。同样的，根据这个方法，可以得到二层指标的权重，这里就不详细给出了，具体见表3。

表2　教材例习题设计评价指标权重

第二步 建立不确定评价矩阵

用不确定变量ξ和η分别表示人教A版教材高一上册例习题设计和北师大版教材高一上册例习题设计的质量。下面逐层进行评价，首先评委对指标层的二级指标进行评价，根据评价数据计算准则层的4个一级指标的评价情况，即先把4个一级指标作为4个小目标，根据对应的二级指标的不确定评价情况，利用上文提出的不确定综合评价方法解决四个小的评价问题。然后，根据4个一级指标的评价情况计算目标层高中数学教材例习题设计的评价情况。

表3　教材例习题设计评价指标体系

人教A版教材高一上册例习题：对于一级指标A下的四个二级指标的不确定评价矩阵

由定理1.2可计算矩阵R1中各个变量的期望值，以矩阵形式列出：

根据定理2.1计算一级指标的评价结果。

=79.90

对于一级指标B，其对应的二级指标的不确定评价矩阵U2,U3,U4分别为

按照指标A评价结果计算方法，可计算出EB=80.60，EC=80.60，ED=84.13，最后得到人教A版教材高一上册例习题设计的不确定综合评价结果为

=(0.30.30.30.2)·(79.9080.6080.6084.13)T

=81.10

经比较可发现E[ξ]=81.10>E[η]=80.67，由定义2.1提出的综合评价期望值比较准则可知，人教A版教材高一上册的例习题设计比北师大版教材高一上册的例习题设计稍好一些。

在评价不同版本的高中数学教材例习题的设计时，本文为评价教材例习题设计提供了一种分析工具，建立基于期望值的不确定综合评判模型实施高中数学教材例习题评价，综合考虑了各级因素对教材质量评价产生的影响。该模型操作简单、科学性强而且能够更加公平公正的比较出两本不同版本教材例习题的优劣，具备较强的实用价值。

参考文献:

[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(实验)[S]．北京：人民教育出版社，2003．

[2]吴立宝，王富英，秦华．数学教科书例题功能的分析[J].数学通报，2013，52(3)：18-23．

[3]王健萍．中国人教A版与美国UCSMP数学教材例习题的比较研究[D]．宁波大学，2014．

[4]余元庆．谈习题的配备与处理——介绍几本外国中学数学课本中的习题配备[J]．数学通报，1980，(3)：6-9．

[5]邵光华．主要国家高中数学教材例习题设置比较研究[J]．中学数学月刊，2011，(4)：33-34．

[6]路伟力．美国ML版和中国人教(A)版高中数学教材例习题设计的比较研究[D]．宁波大学，2014．

[7]李惠．现行两套高中数学教材习题的比较研究——以人教A版、苏教版“数学4”为例[D]．东北师范大学，2009．

[8]王建馨，鲍建生．高中数学教材中例题的综合难度的国际比较[J].全球教育展望，2014，43(8)：101-110．

[9]涂俊甫.中日高中数学教材例习题设计比较研究——以人教A版和数研版“平面向量”为例[D].宁波大学，2012．

[10]Liu Baoding．Uncertainty Theory[M]．2nd ed．Springer-Verlag, Berlin，2007．

[11]Liu Baoding．Uncertainty Theory：A Branch of Mathematics for Modeling Human Uncertainty[M]．Springer-Verlag，Berlin，2010．

[12]Liu Jianjun．Uncertain Comprehensive Evaluation Method[J]．Journal of Information & Computational Science，2011，8(2)：336-344．

[13]杨芳芳，付友华．课堂教学质量的不确定综合评价方法[J].黄冈师范学院学报,2013，33(6)：81-85．

[14]Yang Fangfang，Fu Youhua．Uncertain Comprehensive Evaluation Method Based on Expected Value[J]．Journal of Systems Science and Information，2014，2(5)：461-472．

[15]刘绍学．普通高中课程标准实验教科书·数学A[M]．北京：人民教育出版社，2004．

[16]严士健．普通高中课程标准实验教科书·数学[M]．北京：北京师范大学出版社，2010．

[17]王健萍，邵光华．中美数学教材例习题比较[J]．中国数学教育，2013，(10)：42-48．

[18]卢萍，邵光华．中德代数教材习题特色比较及启示[J]．数学通报，2014，53(7)：5-9．

[19]Liu Baoding．Some Research Problems in Uncertainty Theory[J]．Journal of Uncertain Systems，2009，3(1)：3-10．

编辑喻晓敏

作者简介吕涛，男，湖北黄冈人，硕士研究生，主要研究方向为学科教学(数学)。

收稿日期2015-06-26

doi10.3969/j.issn.1003-8078.2015.06.28

中图分类号O29

文献标志码A

文章编号1003-8078(2015)06-0102-06