Weibull分布竞争失效产品简单步加试验的优化设计*

陈漠，师义民

（西北工业大学，西安710129）

Weibull分布竞争失效产品简单步加试验的优化设计*

陈漠，师义民

（西北工业大学，西安710129）

在逐步Type-Ⅰ混合截尾场合下，研究竞争失效产品简单步进应力加速寿命试验的优化设计。假定产品寿命服从双参数Weibull分布，在形状参数和尺度参数都未知的情形下，得到相应的Fisher信息矩阵，以极大似然渐近方差最小为准则结合Fisher信息矩阵，给出了步进应力加速寿命试验的最优应力转换时间。最后利用Monte-Carlo方法进行数值模拟，并对模拟结果进行了分析。

竞争失效，步加试验，混合截尾，Weibull分布，优化设计

0 引言

在可靠性试验中，人们通常采用截尾寿命试验的方法。常见的截尾试验（例如定时（Type-Ⅰ）截尾和定数（Type-Ⅱ）截尾）其试验的截止时间和失效个数都是预先设定的。然而对于一种新型产品，在不清楚其确切寿命的情况下，如果在寿命试验中采用定时截尾，可能无法获得足够多的失效数据；如果采用定数截尾，试验总时间可能很长。逐步混合截尾是在逐步截尾的基础上，将定时和定数截尾相结合的截尾方式，它能够有效节约试验时间和成本，因此，受到了广泛关注。文献［1］在逐步Type-Ⅰ混合截尾模型下，研究了两参数指数分布统计分析，得到了参数极大似然估计的确切分布。文献［2］研究了逐步Type-Ⅰ混合截尾步进应力加速寿命试验（步加试验）指数分布模型参数的点估计和区间估计。文献［3-4］基于Type-Ⅱ混合截尾数据，分别推导出Burr-XⅡ分布和Weibull分布参数的极大似然估计（MLE）、Bayes估计和区间估计。

然而，上述研究均假设受试产品仅有一个失效机理。但在工程实际中，某些大型产品，由于其内部结构及其外界工作环境的复杂性，引起产品失效的失效机理往往有多种。文献［5-6］分别在多个失效机理的情形下，研究了指数分布产品简单步加试验的优化设计和统计推断问题，文献［7］在竞争失效场合下研究了对数正态分布产品恒定应力加速寿命试验的优化方案。

在可靠性研究中，Weibull分布是一种重要的寿命分布，且有很多实用价值。与指数分布相比，该分布具有更大的灵活性，因此，对于Weibull分布产品加速寿命试验的研究显得尤为重要。本文在逐步Type-Ⅰ混合截尾模型下研究Weibull分布竞争失效产品步加寿命试验的优化设计。当寿命分布的形状参数m和尺度参数θ均未知时，推导出Fisher信息矩阵的具体形式，进而利用渐近方差最小准则获得简单步进应力加速寿命试验中的最优应力转换时间。式中τ表示应力转换时间。

1 基本假定

假设产品的失效机理有2个，Weibull分布场合步加寿命试验的优化设计基于以下几个假设：

（1）产品的失效由且仅由2个失效机理之一引起，并且这2个失效机理的发生时间是统计独立的。

（2）产品的失效时间t是2个失效机理的最小发生时间，即

其中tk表示第k个失效机理的发生时间，k=1，2。

（3）在正常应力水平s0和加速应力水平s1＜s2下各失效机理的发生时间都服从Weibull分布。在应力水平si下第k个失效机理的发生时间xik的分布函数和密度函数分别为（KH-M模型）：

（4）θik与si之间的加速方程为［8］：

式中φi（s）为s的已知函数。

2 模型描述和极大似然估计（MLE）

取n个产品进行步进应力加速寿命试验，先在应力水平s1下进行试验，当有n1个产品失效时，立即将应力提高至s2并在未失效的产品中随机选取b个移离试验，试验继续进行，直到第r个产品失效或时间到达T时停止试验。试验过程中，没有新的产品加入。试验截止时间T*=min（T，tr）。假设在应力si下有ni个产品失效（i=1，2）。本文只考虑ni≠0的情形（若对于某个ni=0，则表示应力si下无产品失效，将无法进行θik的统计分析，进而寻找最优应力转换时间也将变得无意义）。

试验过程中，产品的失效时刻和失效机理被连续观察，则产品的失效数据为

3.2 内在品质指标 临沭地瓜富含多种营养成分，蛋白质1.5%～2.0%、淀粉20.0%～25.5%、总糖5.0%～7.0%、硒2.5～4.5 μg/kg。

其中tij表示在应力水平si下第j个失效数的失效时刻；cij（i=1，2；j=1，2，…，ni）表示在应力水平si下，引起第j个样品失效的原因编号（cij=1，2）。

在此模型下，由文献［9］得到式（4）在应力s1下的似然函数的核为：

式（4）在应力s2下的似然函数的核为：

总体似然函数为：

用极大似然法求解未知参数αk，βk，m，由于只能得到参数的非线似然方程，因此，无法求得精确解，故利用Newton-Raphson迭代法求参数的数值解，记求得的参数估计值为αk，βk，m。

3 Fisher信息矩阵

Fisher信息矩阵在试验优化的过程中起着至关重要的作用，它是利用似然函数对未知参数αk，βk以及m求二阶混合偏导得到。即：

Fk（k=1，2）表示第i个失效机理的Fisher信息矩阵。

4 优化准则

在寿命试验的优化设计中，经常要用到一些优化准则，例如渐近方差最小准则、E最优准则、D最优准则等。本文使用渐近方差最小准则得到最优应力转换时间τ。渐近方差最小准则是通过将正常应力下，对数平均寿命或某一分位寿命极大似然估计的渐近方差函数最小化，从而得到最优应力转换时间。由于平均寿命与可靠度寿命有如下关系：

因此，也可以通过求得可靠度函数的渐近方差，利用渐近方差最小准则得到最优应力转换时间。假设可靠度函数是来自Weibull分布，它在正常应力下处于某一固定时间ζ处的MLE为：

故可靠度函数在正常应力下处于时间ζ处的渐近方差为：

将式（19）代入式（18）中，得到关于应力转换时间τ的函数，求其最小值即得到最优的τ值。

5 随机模拟

以温度作为应力，s0=290，s1=305，s2=330，则应力的函数φ（s）=1/S。设参数真值分别为α1=2，β1=610，α2=-1.5，β2=1 680，m=0.9得到两个应力下各失效机理的寿命为θ11=54.598 1，θ12=55.047 5，θ21=46.921 9，θ22=36.267 0，各应力下样品寿命为θ1·=27.410 9，θ2·=20.456 0。利用Newton-Raphson迭代法得到各参数的估计值为。取ζ=300，并将参数估计值代入式（21）～式（23）中得到渐近方差最小准则下τ的函数，对此函数关于τ求最小值，可得最优应力转换时间。取定总样本数n=40，失效数r=30，试验过程中移离试验的样本数b=2，通过模拟得到的最优应力转换时间如下：

表1 m=0.9，ζ=300，T*=100时应力转换时间及渐近方差的优化值

表2 θ1·=29.617 1，θ2·=18.565 0，m=0.9，ζ=300时不同试验时间下应力转换时间及渐近方差的优化值

表3 θ1·=29.617 1，θ2·=16.703 0，m=0.9，ζ=300时不同试验时间下应力转换时间及渐近方差的优化值

表4 θ1·=29.617 1，θ2·=14.363 8，m=0.9，ζ=300时不同试验时间下应力转换时间及渐近方差的优化值

各表中τ表示在渐近方差最小准则下得到的最优应力转换时间，Avar为相应的渐近方差值。

由于产品失效由只两个机理中的一个导致，且失效机理的发生是随机的，因此，在模拟过程中，选取那些由两个失效机理引起失效的失效数之差小于4时的模拟结果较为合理。num（c1，c2）中，c1表示试验中由第1个失效机理引起的失效数，c2表示由第2个失效机理引起的失效数。

由表1中数据可以看出，θ2·相差不大时，最优应力转换时间随着θ1·增大而增大；分别分析表2～表4中的数据，得到如下结论：对于相同的θ1·和θ2·，当num（c1，c2）相同时，随着T*的增加，应力转换时间增大；而对于相近的试验截止时间T*，最优应力转换时间随的增加而增加。

6 结论

本文在逐步Ⅰ型混合截尾下，研究了产品失效由两个失效机理引起且Weibull分布中形状参数和尺度参数均未知时，简单步进应力加速寿命试验的优化设计问题。在获得未知参数的极大似然估计后，推导出参数的Fisher信息矩阵，进而利用极大似然渐近方差最小准则优化，得到简单步进应力加速寿命试验的最优应力转换时间。最后通过随机模拟方法给出数值例子。结果表明：最优应力转换时间随形状参数、给定试验时间或第1个失效机理引起失效数个数（c1）的改变而发生相应变化。

附录：Ni，ωi，Λi以及Ωi的推导过程。

首先得到单个产品在应力si（i=1，2）下失效的概率p1，p2：

（1）试验开始时，将n个完全相同且互相独立的样本置于s1下进行试验，得到n1个失效数，则n1服从二项分布binomial（n，p1）

（2）应力转换至s2时，n-n1-b个未失效的样品继续进行试验，直到达到T*时停止试验。由于n2是应力s2下样本失效数，故也服从二项分布，即：

假设t的分布函数和密度函数为（2.3），令y=tm，则y服从指数分布，其分布函数为：，0＜y＜ τm及，t＞τm

［1］Cramer E，Balakrishnan N.On Some Exact Distributional Results Based on Type-I Progressively Hybrid Censored Data from Exponential Distributions［J］.Statistical Methodology，2013，10（4）：128-150.

［2］Ng X L，Ling L.Parametric Inference for Progressive Type-I Hybrid Censored Data on a Simple Step-stress Accelerated Life Test Model［J］.Mathematics and Computers in Simulation，2009，79（2）：3110-3121.

［3］Panahi H，Asadi S.Analysis of the Type-II Hybrid Censored Burr Type XII Distribution Under Linex Loss Function［J］. Applied Mathematical Sciences，2011（579）：3929-3942.

［4］Banerjee A，Kundu D.Inference Based on Type-II Hybrid Censored Data from a Weibull Distribution［J］.IEEE Transactions on Reliability，2008，57（2）：369-378.

［5］Bai D S，Chun Y R.Optimum Simple Step-Stress Accelerated Life-Tests with Competing Causes of Failure［J］.IEEE Transactions on Reliability，1991，40（5）：622-626.

［6］Han D，Balakrishnan N.Inference for a Simple Step-stress Model with Competing Risks for Failure from the Exponential Distribution under Time Constraint［J］.Computational Statistics and Data Analysis，2010，54：2066-2081.

［7］Pascual F.Accelerated Life Test Planning with Independent Lognormal Competing risks［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2010，140（1）：1089-1100.

［8］Khamis I H，Higgins J J.A New Model for Step-Stress Testing［J］.IEEE Transactions on Reliability，1998，47（2）：131-134.

［9］张志华.加速寿命试验及其统计分析［M］.北京：北京工业大学出版社，2002.

Optimum Simple Step-Stress Accelerated Life-Tests with Competing Causes of Failure for Weibull Distribution under Progressive Type-I Hybrid Censoring

CHEN Mo，SHI Yi-min
（Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China）

This paper considers the optimum design of stress change time for the Weibull distribution with competing causes of failure under progressive type-I hybrid censoring.In the case that shape parameter and scale parameter are unknown,the corresponding Fisher information matrix are derived.Then the optimum stress change time is obtained under asymptotic variance criterion.Some analysis of numerical results are performed by Monte-Carlo simulations for illustrative purposes.

competing causes of failure，step-stress accelerated life test，hybrid censoring，Weibull distribution，optimun test planning

TB114.3；O213.2

A

1002-0640（2015）02-0123-05

2013-12-09

2014-01-20

国家自然科学基金资助项目（71171164）

陈漠（1991-），女，陕西延安人，硕士研究生。研究方向：可靠性理论及应用。