热驱动形状记忆聚合物三维力学本构模型

章巧芳,林文武，张　钦,刘云峰,张鹏园

(浙江工业大学 特种装备制造与先进加工技术教育部重点实验室，浙江 杭州 310014)

热驱动形状记忆聚合物三维力学本构模型

章巧芳,林文武，张钦,刘云峰,张鹏园

(浙江工业大学 特种装备制造与先进加工技术教育部重点实验室，浙江 杭州 310014)

摘要：假设形状记忆聚合物(SMP)为各向同性材料，其体积变形是弹性的，形状变化的流变规律满足Tobushi建立的一维本构模型的基础上，应用固体力学和热粘弹性理论建立了SMP三维本构模型，使其不仅能描述简单应力状态下的热力学行为，也能描述复杂应力状态下的热力学行为.然后基于ABAQUS的二次开发平台编写了可供ABAQUS调用的UMAT子程序，对SMP试样实现形状记忆效应的热力学过程数值模拟，数值模拟结果与Tobushi等的实验结果吻合良好,表明建立的SMP三维本构模型能够有效的描述SMP的热力学行为，可为SMP的工程应用提供理论参考.

关键词：形状记忆聚合物;热驱动;三维本构模型;形状记忆效应

中图分类号：O343.2；O631.2+1

文献标志码：A

文章编号：1006-4303(2015)01-0043-04

3D constitutive model of temperature-induced shape memory polymers

ZHANG Qiaofang, LIN Wenwu, ZHANG Qin, LIU Yunfeng, ZHANG Pengyuan

(Key Laboratory of Special Purpose Equipment and Advanced Manufacturing Technology, Ministry of

Education, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310014, China)

Abstract:Assuming the shape memory polymers is an isotropic material, by the application of solid mechanics and thermal viscoelasticity theory, a 3D constitutive equation of SMP is developed based on tobushi’s 1D constitutive equation, so it can not only describe the thermo-mechanical behavior under simple stress state, but also describe the thermo-mechanical behavior under complex stress state. A UMAT subroutine is programmed with fortran based on ABAQUS secondary development platform, then the SMP thermo-mechanical behavior is numerically simulated by ABAQUS. Numerical simulation results coincide with Tobushi’s experimental results, which shows the thermo-mechanical behavior of SMP and it’s shape memory effect can be described by the three dimensional constitutive model of SMP.

Keywords:shape memory polymer; temperature-induced; three-dimensional constitutive model; shape memory effect

近年来，国内外的学者对形状记忆聚合物(SMP)的研究越来越重视，部分学者对其热力学本构模型进行研究.目前，SMP的热力学本构模型大致分为两类：一类是基于粘弹性理论基础上发展的模型，如Tobushi等[1-2]基于经典粘弹性理论的基础上建立了形状记忆聚氨酯的一维线性和非线性本构模型，能够有效地描述SMP简单应力状态下的热力学行为.2010年，Heuchel等[3]采用基于粘弹性理论的Maxwell-weichert模型能有效的预测SMP在不同温度下的自由回复与松弛行为.另一类是基于相变概念的细观力学行为，认为形状记忆效应是在温度和应力共同作用下，高温活跃相和低温冻结相两者之间相互转化的结果.如2006年，liu等[4]基于SMP为两相转变微观结构的基础上，引入一个与温度相关的冻结系数，建立了SMP一维热力学本构模型，不仅能够合理解释形状记忆过程的形变储存与释放机理，而且能有效地描述SMP的热力学行为；随后，chen等[5-6]和李郑发等[7]基于liu等[4]的基础上建立了SMP本构模型，对SMP热力学行为的理论预测结果比liu[4]的模型更加准确，但是基于相变概念的细观力学本构模型却不能描述SMP的蠕变与松弛行为，故限制了该模型的应用.

目前，现有的大部分SMP本构模型都是基于单轴拉伸实验的基础上建立的一维本构模型，仅局限于描述简单应力条件下的热力学行为.为了描述SMP复杂应力条件下的热力学行为，周博等[8]采用线弹性热力学方法将Tobushi等[1]的一维模型扩展到三维，在三维本构模型扩展过程中做了大量简化.随后，周博[9]与shi等[10]假设SMP变形产生的总应变由热应变、弹性应变和粘性应变组成，建立了SMP的三维本构模型.笔者假设SMP为各向同性材料，其体积变形是弹性的，形状变化的流变规律满足Tobushi建立的一维本构模型的基础上建立了SMP三维本构模型，能有效的描述SMP的热力学行为.

1SMP热力学本构方程

1.1SMP一维本构方程

1997年Tobushi等[1,11]基于经典粘弹性理论的基础上，在弹簧和黏壶的组合模型中引入了一个滑移单元，并考虑了热膨胀效应,建立了形状记忆聚氨酯的一维线性本构模型.滑移单元是该本构模型的关键，通过引入这个滑移单元来控制形状记忆过程中的应变储存与释放，从而实现SMP的形状记忆效应，其一维本构方程分别为

(1)

(2)

(3)

式中：E为弹性模量；λ为延迟时间；μ为粘度；εL为残余应变；C为比例系数；εs为残余蠕变应变；α为热膨胀系数.该本构模型是一维的，仅能描述简单应力状态下形状记忆聚合物的热力学行为.

1.2SMP三维本构方程

为了研究复杂应力状态的形状记忆聚合物热力学行为，需要建立三维的热力学本构方程.对于弹塑性材料，在塑性范围内的本构关系为应变球张量与应力球张量成正比.而应变偏量与应力偏量间的关系要比弹性变形时复杂.按照上面处理弹性及塑性条件下的本构关系的考虑，认为应变球张量εkk只与应力球张量σkk有关，而应变偏量eij只与应力偏量Sij有关.

对于一般的粘弹性材料，本构方程为

(4)

式中：P′,Q′,P″,Q″分别为微分算子，即

(5)

σkk=3Kεkk

(6)

式中3K为体积弹性模量，由于SMP材料的力学性能是随温度变化的，因此体积弹性模量是温度相关的物理量，且满足

3K(T)=E(T)/(1-2v)

(7)

其中v为一个SMP材料的泊松比，取v=0.2.

P″和Q″已经确定，只要确定P′和Q′就完全决定了三维应力状态下流变性质的本构方程.假设SMP形状变化的流变规律满足Tobushi建立的一维本构模型，即应变偏量eij与应力偏量Sij之间满足方程

(8)

其中

λeff(T,C)=λ(T)[1-C(T)]-1

(9)

由

(10)

整理得到SMP三维热力学本构模型，即

(11)

(12)

(13)

2材料参数方程

SMP的力学性质在玻璃化转变温度附近发生显著变化.Tobushi等[1]将SMP的材料参数描述为

(14)

式(1，2)中E，λ，μ，εL和C都是温度相关的物理量，且上述材料参数都满足式(14)，只需将相应的材料参数代入式(14)中即可.式(14)中，TL=Tg-15 K，TH=Tg+15 K.上述材料参数经过Tobushi等[1]的实验测得值如表1，2所示.

表1　Tg温度下的材料参数值

表2　材料参数关于温度的方程中指数函数幂系数值

3SMP三维本构模型验证

用差分法将上述微分形式的三维本构方程改成增量式方程，基于ABAQUS二次开发平台编写可供ABAQUS调用的UMAT子程序.求解过程中，UMAT程序通过与主程序之间不断的数据传递，不断更新蠕变应变、蠕变应变率、应力等变量，通过判断蠕变应变的大小、蠕变应变率的正负来选择相应的应力更新算法，这样就可以利用ABAQUS分析形状记忆聚合物的热力学行为.在ABAQUS中建立SMP拉伸试样三维有限元模型，其几何模型为等截面杆，尺寸为10 mm×10 mm×100 mm，单元类型采用C3D8单元.边界条件为一端固定，另一端施加随时间变化的位移载荷，并在试样上施加温度载荷.具体过程为在ABAQUS中建立四个分析步，分别来模拟形状记忆聚合物高温加载、降温冷却、低温卸载、升温回复四个阶段.整个热力学循环过程的应力与应变关系曲线如图2所示.1) 在温度为348 K条件下，在端面的一端施加随时间变化的轴向位移载荷，将试样拉伸到应变量εm，应变速率为每分钟加载5%；2) 维持应变量εm不变，以4 K/min的温度变化率将温度从348 K降至308 K，使SMP降温冷却固定形状.在冷却的初始阶段，SMP试样温度较高，存在明显的应力松弛现象，故试样的应力有一定程度的衰减.随着温度的降低，试样内部的应力又开始逐渐增加，其原因在于SMP从橡胶态进入玻璃态，材料的弹性模量急剧增加，从而引起内部应力增大；3) 在温度为308 K条件下卸载,SMP的残余应变为εu.卸载之后，应变有一定程度的减小，是由于SMP的弹性收缩；4) 在一端自由，另一端固定约束的状态下，以4 K/min的温度变化率将温度从308 K升至348 K，试样逐渐恢复至初始状态.ABAQUS的数值模拟结果与Tobushi单轴拉伸实验结果存在一定的偏差，原因可能在于建立SMP的三维本构模型时体积模量K取值、材料参数与实际存在一定的误差.

如图3所示，在形状回复过程中，随着温度的逐渐升高，试样完成形状回复，并且温度低于玻璃化转变温度的状态下，SMP没有产生明显的形状回复，而在玻璃化转变温度328 K附近，SMP形状回复迅速，表现出显著的形状记忆效应.ABAQUS分析结果与Tobushi的实验结果存在一定的偏差，原因可能在于Tobushi的实验中试样是放在温度控制箱中，通过控制温度箱的温度从而实现对试样温度的控制，笔者则是直接将温度载荷施加在SMP试样上,不考虑传热问题.

(1)—高温加载；(2)—降温冷却；(3)—低温卸载；(4)—升温回复图2　热力学实验中的真实应力与真实应变关系曲线Fig.2　Relationship between stress and true strain in the thermo-mechanical test

(1)—高温加载；(2)—降温冷却；(3)—低温卸载；(4)—升温回复图3　热力学实验中的真实应变与温度的关系曲线Fig.3　Relationship between true strain and temperature in the thermo-mechanical test

4结论

假设形状记忆聚合物为各向同性材料，SMP的体积变形是弹性的，形状变形的流变性质满足Tobushi建立的一维本构模型的基础上，建立了热驱动形状记忆聚合物的三维力学本构模型，基于ABAQUS的二次开发平台编写了可供ABAQUS调用的UMAT子程序，并对SMP试样实现形状记忆效应的热力学过程即高温加载、降温冷却、低温卸载和形状回复过程进行数值模拟，数值模拟结果与Tobushi等的实验结果吻合的良好，说明笔者建立的三维热力学本构模型能够有效的描述SMP在小应变条件下的热力学行为，可为SMP在实际工程应用中提供理论参考.

参考文献：

[1]TOBUSHI H， HASHIMOTO T， HAYASHI S， et al． Thermomechanical constitutive modeling in shape memory polymer of polyurethane series[J]． Intelligent Material Systems and Structures，1997，8：711-718．

[2]TOBUSHI H， OKUMURA K， HAYASHI S， et al． Thermomechanical constitutive model of shape memory polymer[J]． Mechanics of Materials，2001，33：545-554．

[3]HEUCHEL M， CUI J， KRATZ K， et al． Relaxation based modeling of tunable shape recovery kinetics observed under isothermal conditions for amorphous shape-memory polymers[J]． Polymer，2010，51(26)：6212-6218．

[4]LIU Yiping， KEN G， MARTIN L D， et al． Thermomechanics of shape memory polymers： uniaxial experiments and constitutive modeling[J]． International Journal of Plasticity，2006，22：279-313．

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[6]CHEN Yichao， DIMITRIS C， LAGOUDAS A． Constitutive theory for shape memory polymers． Part II a linearized model for small deformations[J]． Journal of the Mechanics and Physics of Solids,2008,56(5):1766-1778．

[7]李郑发，王正道，熊志远，等．形状记忆聚合物热力学本构方程[J].高分子学报，2009(1)：23-27.

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[9]周博，刘彦菊，冷劲松．形状记忆聚合物的宏观力学本构模型[J]．中国科学：物理学力学天文学，2010，40(7)：896-903．

[10]SHI G H， YANG Q S， HE X Q， et al． A three-dimensional constitutive equation and finite element method Implementation for shape memory polymers[J]． Computer Modeling in Engineering & Sciences，2013，90(5)：339-358．

[11]BHATTACHARYYA A， TOBUSHI H． Analysis of the isothermal mechanical response of a shape memory polymer rheological model[J]. Polymer Engineering and Science，2000，40(12)：2498-2510．

[12]尹祥础．固体力学[M].1版.北京：地震出版社，2011.

(责任编辑：刘岩)

作者简介：章巧芳(1966—)，女，浙江嵊州人，副教授，研究方向为CAE技术的工程应用研究，E-mail:zg0609@zjut.edu.cn.

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51375453)

收稿日期：2014-09-16