平行板电容器带不等量电荷的若干问题

张娇

摘   要：本文从静电平衡的角度，解释平行板电容器两极板的电荷与电场分布的若干问题。

关键词：电容器;不等量电荷;电荷分布

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2015）1-0041-3

人教版高中物理选修3-1第一章第8节电容器的电容一节第二段中说到：“把电容器的一个极板与电池组的正级相连，另一个极板与负极相连，两个极板将分别带上等量的异号电荷，这个过程叫做充电。”

从此段话中可知，在用电池充电时，电容器将带上等量的异号电荷。那么，电容器能不能带不等量电荷。如果能，它们是不是也都分布在两极板的内部。这时，电容容器的内部是不是也是匀强电场，用U=时用的是哪一个Q呢？

1    电容器是否能带不等量的电荷

我们可以将一个带有电量为Q1的极板A靠近一个带电量为Q2的极板B，如图1所示。此时，两极板构成的电容器就带不等量电荷。那么，此种情况下，是不是不能稳定存在，电荷要马上跑走呢？由电容器的构造可知：电容器与外界绝缘，电荷不能从两个极板中跑出。

2    平行板电容器上的电荷分布

2.1    等量异种电荷在平行板电容器中的电荷分布

根据异性相吸，电荷分布在两极板内表面。

2.2    等量同种电荷在平行板电容器中的电荷分布

根据同性相斥，电荷分布在两极板外表面。

2.3    不等量电荷在平行板电容器中的电荷分布

由于不等量，不能简单的根据同性相斥、异性相吸来判断电荷的分布。

极板是金属制成的，如果极板内部电场不为零，电荷就会受到电场力的作用而发生移动，从而改变极板内部的电场，最终会导致极板内部的电场为零，从而使极板达到静电平衡。

这样，我们只需将两极板上的电荷在极板内部产生的电场叠加等于零，就可以知道电荷是怎么分布的。一块金属板带电荷的电场根据大学物理一书，知道一块金属薄板在带电均匀的情况下，它两侧的电场为匀强电场，大小与电荷量成正比（书上是说与电荷密度成正比，但可知电荷量与电荷密度是正比关系），方向与板垂直。

现在，我们用极板内部电场要为零解释等量电荷在两极板上的分布问题。如果AB带等量异种电荷，那么，它们产生的电场大小是一样的。如果AB带的电荷都在外侧的话，在AB内部两个电场方向是同向的，将不能抵消，那么，极板内部的自由电荷由于受电场力作用将继续移动，直到内部电场为零为止。同理，如果电荷都在极板的左（右）侧，也会有这种矛盾。并同理可证，等量异种电荷若分布在内侧，两极板内部电场确实为零。所以，等量异种电荷均匀分布在两极板内侧。

接下来我们利用极板内部电场为零求导不等量电荷在极板上的分面情况：

设A板带Q1，B板带Q2，假设A的左侧表面带有电量为X，右侧表面则带有Q1-X;B的左侧表面带有电量为Y，右侧表面则带有Q2-Y。

对于A的内部电场有

kQ1-k（Q1-X）-kY-K（Q2-Y）=0

可以解得：

对于B的内部电场有

可以解得：

在这个情境中，我们并没有限定Q与Q的电性正负。也就是说，我们得到的是一般情况，我们可以来看看，在各种特殊情况下是否满足。在此之前，我们先解读下公式算得的结论告诉我们什么：        与   是两极板的内表面，从这两解可看出，两内表面一定带等量异种电荷。       与     是两电荷的外表面，从这两解我们可以看出，两外表面所带电荷一定带等量同种电荷。

3    平行板电容器上的电荷分布的另一种解释

设静电平衡时平行板电容器两极板的四个表面所分布的电荷分别为q1、q2、q3和q4，这里用一种简单而直观的方法求解它们。我们知道，静电平衡时导体上电荷分布的原则是使得导体内部各点的场强保持为零、导体表面（附近）的场强与表面垂直。按照这一原则，可知电力线必然是垂直地从极板表面发出或垂直地落在极板表面上，而不允许电力线穿过导体。这样，在两极板之间，只可能有从一极板垂直出发，并垂直地指向另一极板的平行电力线，如图2中（a）、（b）、（c）、（d）所示。

（a）                         （b）

（c）                     （d）

图2  极板间电场线分布情况

而电力线发出的地方必有正电荷，终止的地方必有负电荷。根据这种对应关系可知，两极板内侧表面上的电荷必然是量值相等，符号相反。

由于q2、q3量值相等、符号相反，它们在两极板内部产生的场强将完全抵消。而在两极板外侧的两个表面，电荷必然是量值相等、符号相同，因为只有这样，才能保证它们在两极板内部产生的场强也相互抵消。

4    两极板的电势差问题

两极板带有异种等量电荷时，两极板电势差U=。那么，当两极板带有不等量电荷时，这个Q应该是哪个Q了呢？

设A板带Q1，B板带Q2，此时，在两极板上的电荷分布如图3。

图3  两极板电荷分布

即：两内表面带等量异种电荷，两外表面带等量同种电荷。

两外表面带有的同种电荷在极板内部由于各自产生的电场大小相等，方向相反，所以它们的合场强为零，此时内部的电场就由两异种电荷的合场强决定。也就是说，两外极板的电荷不影响内部的电场，我们可以把它当做不存在。此时，两极板间的电势差与等量异种电荷的电势差相同，所以此种情况下，利用U=算电势差时，Q用的绝对值，即内极板一个板所带电荷量的绝对值。

5    两极板的电势差问题的另一种解释

电容器储存能量是将能量以电场的形式储存在两极板之间的体积内，该体积以内的电场能量可称之为“有效”能量;而该体积以外的电场能量是“无效”的或无意义的。可以证明，在极板间产生电场的“有效”电荷，仅仅是两极板的相对的两个表面上的电荷。又根据场强与电势之间的积分关系U =·dl，可知，两极板间的电势差也仅由两极板的相对的两个表面的电荷决定。因此，电容U=中的Q应是指电容器两极板（极板可以是任意形状）相对的两个表面的其中任一个面上的电量，简称电容器两极板内侧表面所带的电量。

6    平行板电容器的电场分布问题

上面已经分析了，内部电场由两极板内侧电荷决定，与两外极板无关，所以，它仍是匀强电场。

两极板内部电荷在平行板电容器外侧产生的电场都是大小相等方向相反的匀强电场，所以互相抵消。也就是在考虑外部电场时，是两外极板电荷产生的电场的叠加，由于两外极板电荷产生的电场是匀强电场，且方向一致，大小相等，所以不能抵消。在两极板外部两侧，存在垂直于极板的匀强电场。场强大小由外极板所带电荷量决定。

7    小  结

综上所述，平行板电容器两极板可以带有不等量电荷，这些电荷分布时，最终会使内极板带有等量异种电荷，外极板带有等量同种电荷。此时，平行板电容器内部仍为匀强电场，外部也存在匀强电场。两极板电势差用U=时用的是内极板一个板所带电荷量的绝对值。

参考文献：

[1]王炳和.关于电容C=Q/U公式中Q的一点注释[J].武警技术学院学报 ，1997，（12）：13.

[2]吴勇.对“探究影响平行板电容器电容的因素”演示实验的探讨[J].物理教学探讨，2011，（2）：74.

（栏目编辑  罗琬华）