基于故障树理论的共因失效系统重要度分析

王 宁，李淑敏，蔡志强，胡大伟

（1.长安大学 汽车学院，陕西 西安 710064；2.西北工业大学 机电学院 现代设计与集成制造教育部重点实验室，陕西 西安 710072）

随着科技的进步，社会的高度发展使得系统变得越来越复杂，系统的质量与可靠性分析已经成为系统设计、运行及维护阶段必须考虑的一项重要工作。重要度分析作为系统可靠性分析的关键环节之一，用于定量分析组件对系统影响的重要程度。其融合了灵敏度、风险性、危害度和重要度等多类知识的前沿和热点研究领域，也是用以确定系统薄弱环节的重要工具，对提高系统设计可靠性、安全性和进行故障诊断具有积极意义[1]。

重要度是指系统中单个或多个组（部）件失效或状态改变时，其对系统可靠性的影响程度，它是组（部）件可靠性参数和系统结构的函数[2]。带有相依性、共因失效等特征的复杂系统重要度计算是可靠性研究领域的难点和未来的研究方向[3]。谢里阳[4]等建立了故障树共因失效模型，提出了两种共因失效建模方法：显式分析方法和隐式替代方法，两种方法都能够解决考虑共因失效时系统的可靠性分析问题，但由于显式分析方法需要对最小割集进行计算，计算量要大于隐式替代方法；而隐式替代方法与显式分析方法需要共因集部件具有相同的失效概率，不适用于复杂的大型系统。王正等[5]人在系统层运用应力-强度干涉模型建立了共因失效系统可靠性模型，并建立了系统强度的累积分布函数和概率密度函数，研究了串联系统、并联系统以及（k/n）系统的可靠度和失效率随时间的变化规律。张国军[6]提出了一种基于二元决策图的考虑共因失效的故障树可靠性分析方法，将忽略共因失效情况的故障树转化为二元决策图，求出系统的不可靠性表达式，通过隐式方法将该表达式转化成包含共因信息的可靠性表达式。Xing等[7]人针对带有共因失效的分级计算机系统，根据全概率公式，将初始可靠性问题分解为若干简化的子问题，提出了有效的分解-耦合可靠性分析方法。

以上研究集中于共因失效系统建模方法和可靠性分析研究，主要用于计算共因失效系统的系统可靠性，缺少对共因失效系统部件重要度计算的研究。本文给出了基于FTA的共因失效系统Birnbaum重要度隐式替代计算方法，为重要度在共因失效系统中的应用提供了有效的系统模型和算法工具，并通过决策图建模简化了系统最小割集的计算过程，最后通过串联和并联案例验证了基于决策图解决共因失效系统重要度计算问题的可行性。

1 共因失效系统概述与假设条件

1.1 共因失效系统中的状态表述

1.1.1 组部件失效或正常状态描述方法

为了分析由n个组部件组成的共因失效系统可靠性，引入以下符号[8]：

上述事件中，1≤i≤n；li=1，2，3，…，n；mi=1，2，…，n；…，并且下标 liminipiqi…表示正整数的组合。例如，，和均表示同一事件，即组部件1，2和3同时失效不发生事件。

对上式两边取逆可得单元i失效事件为:

由此可知：1）当失效事件（或正常事件）的下标组合相同，表示同一失效事件（或正常事件）；2）当失效事件（或正常事件）的下标组合不同，表示不同失效事件（或正常事件）；3）组部件i正常，表示关于组部件i所有的失效事件都不发生（逻辑积）；4）组部件i失效，表示关于组部件i的任意一个失效事件发生（逻辑和）；5）失效事件（或正常事件）满足逻辑事件（或）集合的运算法则。

1.1.2 系统失效或正常状态描述方法

系统正常或失效事件可表示为每个组部件正常或失效事件的逻辑积之和形式，因此采用一般系统可靠性分析的最小路集和最小割集方法来表示系统正常或失效状态。

1）串联系统（以两部件系统为例）：

系统正常，状态表达式为：

系统失效，状态表达式为：

2）并联系统（以两部件系统为例）：

系统正常，状态表达式为：

系统失效，状态表达式为：

由此可知：

1）已知系统的最小路集时，每个最小路集是组部件正常事件的乘积，系统正常事件S表示为最小路集的逻辑和，然后代入式（1），可得到系统正常事件的最初表达式，去除不符合系统事实的正常状态，寻找到符合系统事实的正常状态的表达式。

2）已知系统的最小割集时，每个最小割集就是组部件失效事件的乘积，系统失效事件表示为最小割集的逻辑和，然后代入式（2）可得到系统失效状态的最初表达式，去除不符合系统事实的失效状态，寻找到符合系统事实的失效状态表达式。

1.2 系统假设

1）造成系统失效的原因来自系统外部，即造成若干个单元同时失效的各种冲击来自系统外部，可认为失效冲击作用彼此相互独立；

2）各种外部失效冲击作用彼此相互独立，造成若干单元同时共因失效；

3）相同分布单元，承受相似共因失效冲击；

4）任意一个单元失效，可能是单元自身独立原因造成，也可能是包含该单元的m（m≥2）个单元同时共因失效造成的失效。

系统承受某种共同原因引起的冲击时发生共因失效，导致系统n（n≥2）个单元同时失效。

本文中使用两两独立的泊松过程来描述冲击 （或失效）次数，设组部件单独失效次数的数目增减为（t），包括单元i的若干个组部件同时失效次数的数目增减为其中 l=1，2，3，…，n；m=1，2，3，…，n；p=1，2，3，…，n；…。

因此，对系统进行共因失效分析时，基本假设为[8]：导致组部件失效的各种冲击是彼此相互独立，即事件之间相互独立；事件之间彼此相互独立。

2 基于故障树的共因失效系统重要度计算与分析

2.1 故障树的二元决策图表示

二元决策图（Binary Decision Diagram，BDD）是布尔函数的一种图的表现形式，该图中的变量取值为0和1，该方法表示布尔函数所用存储空间较少，可以极大的提高模型检验的系统规模。在表示BDD时，通常规定所有的非终节点都由一个含有变量的圆圈表示，而所有的终节点都由含有一个0或1的方框来表示，所有的‘0’边都用虚直线来表示，所有的‘1’边都由实线表示。

每个布尔变量都可以用if-then-else格式表示，记作ite（Xi，1，0）；由香农定理，应用（ite）格式得出系统结构函数表达式F：

2.2 基于故障树的重要度计算隐式方法

设n为故障树的底事件数目，不考虑共因失效时，每个底事件发生概率（不可靠度）为 Fi（t）（1≤i≤n），根据最小割集概念，系统不可靠度 Fs（t）可表示为底事件可靠度 Fi（t）的函数：

其函数关系是由故障树的结构决定的。

基于故障树的隐式替代方法的基本思路如下：

1）应用BDD计算系统最小割集，进行不交化得到系统不可靠度表达式为：

2）令承受共因失效冲击的每个单元不可靠度均为F（t），其余单元均为不承受共因失效冲击的单元，不可靠度可以使用带下标的形式表示为Fi（t），则系统的不可靠度表示为：

上式中，不承受共因失效的底事件数目n2=n-n1。

如果所有底事件均承受共因失效冲击，即n1=n，此时，不承受共因失效冲击的底事件数目n2=0。

3）系统不可靠度 Fm（t）表示为（t），即令 Fm（t）=（t），经过化简，得出受共因失效影响时系统的不可靠度表达式：

上式中，λi为指定的i个底事件同时共因失效的失效率；共因失效的失效率数目为n1个。

5）计算Fi（t）代入考虑共因失效时系统不可靠度表达式，独立失效单元的不可靠度Fi（t）的计算表达式为：

对于二态系统，即每个组部件只有正常和不正常两种状态的系统，重要度计算公式[7]如式（6）所示，其物理意义是指部件 Ci从工作状态（Ci=0）变为失效状态（Ci=1）时，系统可靠性的变化值。其中R（·）表示系统或部件的可靠性函数，S代表系统状态（逻辑值为‘1’表示系统正常运行，逻辑值为‘0’表示系统失效），Ci代表部件标号。应用公式 （6）对各部件的Birnbaum重要度进行计算。

3 案例分析

3.1 串联系统重要度分析

系统由3个元件串联构成，分别为元件1，元件2，元件3，其中元件1和元件2服从相同分布，并且承受共因失效冲击，3个元件同时共因失效的失效率分别为λ1、λ2和λ3，分析该系统的可靠性及其各元件的重要度。串联系统结构如图1（a）所示。

图1 串联系统案例Fig.1 Series system case

基于故障树分析法对该串联系统进行分析，基于故障树方法的系统表示如图 1（b）所示（图 1（b）中 a，b，c 分别代表元件1，2和3失效事件，T1表示元件1和2共因失效事件，T表示系统失效事件）；其 BDD 表示如图 1（c）所示，由图 1（c）得出系统的最小割集只有一个{abc}，所以不必要进行最小割集不交化过程。

1）系统的可靠度计算

系统不可靠度的表达式为：

FS=P（T）=P（）P（）P（）=F1（t）F2（t）F3（t）

综上所述，系统的不可靠度FS和系统可靠度RS分别为：

FS=F2（t）F3（t）=（1-exp（-（2λ1+λ2）t））（1-exp（-λ3t））

RS=1-FS=exp（-（2λ1+λ2）t）+exp（-λ3t）-exp（-（2λ1+λ2+λ3）t）

2）元件1和元件2的重要度计算：

元件1和元件2服从相同分布，由相似原理可知元件1和元件2重要度等价。

3）元件3的重要度计算

Ig3=P（S=1|Ci=1）-P（S=1|Ci=0）=P22（t）-0=exp（-（2λ1+λ2）t）

现取 λ1=0.1、λ2=0.2、λ3=0.3，串联系统元件重要度曲线如图2所示。由图2可知任何时期元件3比元件1和2重要；且三者的重要度均随时间推移逐步下降。

图2 串联系统元件重要度曲线Fig.2 Importance curve of series system

3.2 并联系统重要度分析

系统由3个元件并联构成，分别为元件1，2和3。元件1和2服从相同分布，承受共因失效冲击，且均为单独失效，共因失效失效率分别为λ1和λ2。元件3独立失效的失效率为λ3，分析该系统的可靠性及其各元件的重要度。并联系统结构如图 3（a）所示。

图3 并联系统案例Fig.3 Parallel system case

基于故障树方法对该并联系统进行分析，得出该系统的故障树表示如图 3（b）所示（图 3（b）中，，分别代表元件1，2和3失效事件，T1表示元件1和2共因失效事件，T代表系统失效事件）；其 BDD 表示如图 3（c）所示，由图 3（C）得出系统的最小割集有3个，分别为、{}和顶事件不交化（即最小割集不交化）得：T=。

1）系统可靠度计算

系统的不可靠度表达式为：FS=P（T）=P（）P（）P（）=F1（t）F2（t）F3（t）。

F2（t）=（t）=1-2exp（-（λ1+λ2）t）+exp（-[λ1+（λ1+λ2）]t）

综上所述，系统的不可靠度FS和系统可靠度RS分别为：

FS=F2（t）F3（t）=（1-2exp（-（λ1+λ2）t）+exp（-（2λ1+λ2）t））（1-exp（-λ3t））

RS=1-FS=2exp（-（λ1+λ2）t-exp（-（2λ1+λ2）t））+exp（-λ3t）-2exp（-（λ1+λ2+λ3）t）+exp（-（2λ1+λ2+λ3）t）

2）元件1和元件2的重要度计算

元件1和2服从相同分布，承受共因失效冲击，根据相似原理，元件1和2重要度等价。

Ig1=Ig2=Ig1，2=P（S=1|C1，2=1）-P（S=1|C1，2=0）

=1-2exp（-（λ1+λ2）t）+exp（-（2λ1+λ2）t）-exp（-λ3t）+2exp（-（λ1+λ2+λ3）t）-exp（-（2λ1+λ2+λ3）t）

3）元件3的重要度计算

条件概率 P（S=1|C3=1），P（S=1|C3=0）=1-（t），所以有：

Ig3=P（S=1|C3=1）-P（S=1|C3=0）=1-2exp（-（λ1+λ2）t）+exp（-（2λ1+λ2）t）

现取 λ1=0.1、λ2=0.2、λ3=0.3， 讨论元件重要度之间的关系，其函数曲线如图4所示。

图4 并联系统部件重要度曲线Fig.4 Importance curve of parallel system

由此可知，元件1、元件2和元件3的重要度大小与时间有关。元件1和2的重要程度是随着时间推移逐渐上升的，部件3的重要程度是随着时间推移逐渐下降的。

4 结 论

本文首先介绍了共因失效系统的概念和系统假设；其次给出计算其Birnbaum重要度的隐式替代方法，并通过决策图建模简化了系统最小割集的求解；最后，分别对一个串联共因失效系统案例和一个并联共因失效系统案例应用给出的方法进行分析，比较了部件之间的重要度，验证了该方法的可行性。

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