量子力学中厄米算符本征矢完备性的限制和界定

王振兴

摘 要：从厄米算符矢开始，以完全集合定义出发， 以完全集合体系（简称集合体系）为标准.通过讨论集合体系内厄米算符本征矢量完备性限制，从而得出了厄米算符自身体系完备性的一般证明. 进而得出完备性应该在是完全集合基础上的完备，严格说起来，谈论一个算符本征矢的完备性时，其立足点是非常特殊的，这时候应该默认这个算符本身就是一个完全集合，或者在说这个算符本征矢为完备组时其空间范围限定为在这个算符定义域和值域所在的希尔伯特空间之内。

关键词：厄米算符本征矢 完备性 限制 界定 完全集合 希尔伯特空间

中图分类号：O41 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）12（a）-0084-02

在《厄米算符本征函数完备性的一般证明》中[1]，作者对一个厄米算符本征函数的完备性进行了论证[2-5]。该文笔者引入了一组完备的本征函数作为标度，对厄米算符的本征函数进行投影和反影射，从而利用了反证法证明了厄米算符的本征函数具有完备性。其中，在引入这组完备的本征函数时，作者言明对于这组本征函数的选取有特殊的要求，在结论处作者对要求进行了讨论，认为在本征函数选取时应当默认与所需证明的厄米算符的空间范围保持一致，并说明了一组基矢的完备与否只能在一定的空间范围内讨论才有意义。这说明一个厄米算符本征函数的完备性是有一定的限制的。但是对于一组厄米算符的本征函数，其限制的由来到底为何。作者并没有对其进行相应的展开讨论，这也是现在量子力学著作中所忽略的问题。这导致了很多量子力学学习者对厄米算符本征矢完备性的限制和界定的模糊，引发了很多的误解。

该文从完全集合的定义出发，以完全集合体系（简称集合体系）为标准，在集合体系内讨论了厄米算符本征矢量完备性的限制。最终对完备性的定义进行了界定，得出结论：完备性应该在是完全集合基础上的完备，严格说起来，谈论一个算符本征矢的完备性时，其立足点是非常特殊的，这时候应该默认这个算符本身就是一个完全集合，或者在说这个算符本征矢为完备组时其空间范围限定为在这个算符定义域和值域所在的希尔伯特空间之内。

1 完备性的两个限制

完全集合为对应着相应算符的一组物理量。这组物理量具有特殊的特征，它们能在某一态中同时得到测量，并同时具有定值，当它们同时具有定值的时候，再也没有别的非这组物理量的函数的物理量能在该态中再具有定值。根据定义，可知这组物理量在这某一态中具有共同的本征函数，对完全集①合来说，通常认为彼此独立而又两两相互对易的所有算符构成了完全集合。完全集合中算符的独立性和对易性将会造成集合中单独的某一个算符的自由度的缺失，将会极大地限制这个算符的完备性；同时完全集合之外的算符，相较于集合之内的算符来说，它们根据定义域和值域所形成的体系更灵活，以它们为标准，直接对集合中某一个算符本征矢所形成的体系进行完备性的探讨是有限制的。下面将分为完全集合内和完全集合外两个方面对算符本征矢的完备性的限制进行探讨。

2 集合体系内部的限制

对于任一厄米算符，根据确定了其本征矢量。在理论上可以讨论并证明其本征矢组具有完备组的条件。下面我们将引入另一个算符进行定性地说明。

与算符处于同一个完全集合的算符。在完全集合的限定下，算符和算符的关系为相互独立且对易。相互独立指和之间在结构上不能有交集；相互对易说明两个算符具有共同本征矢量。将的本征矢量组定义为，同时和的共同本征矢量组定义为。从结构上对共同本征矢量组分别和、的本征矢量组相比较，从数学上来说，可以简单地认为共同本征函数组与、的本征矢量组具有以下的乘积关系：

， （1）

式中为一个常系数，它只与函数的归一化有关。并且认为和的本征矢量分别为、。

基于这种情况，由于和在结构上的独立性，说明了在空间范围内和是具备不同的自由度的，即式（1）中和在希尔伯特空间内属于不同的自由度。如果这个时候，在和这个共同体系中再以的本征矢量空间为标准并考虑其完备性，就会发现由于自由度的缺失，的本征矢量不再完备了，的情况与其相同。在这里只有它们的共同本征函数组为完备组。可以说，由于自由度的不完整限制了单个算符本征矢的完备性。

综上所述，在完全集合体系下，由于算符与算符之间的独立性和对易性，导致了单独某一个算符自由度的缺失，从而限制了它的完备性。

3 集合体系外部的限制

前面我们讨论了在集合体系内部，由于单独某一个算符受到了自由度的缺失从而导致了完备性的不连续。同时相对于集合体系以外，我们也可以看到它对自由度的限制。

算符属于某一个完全集合体系，而算符并不属于这个完全集合体系。可以知道，和并不对易，它们没有了共同本征函数，并且在同一态中也不同时存在定值。令为的本征矢量，的本征矢量具有完备性表现在总可以通过的各种线性组合能得到一个态，在这个态下存在定值，这时这个线性组合的态被认定为的本征矢。这是在理想的情况下才得以成立的。因为上述情况的成立要求的定义域和值域在希尔伯特空间的自由度范围大于或等于的定义域和值域的空间范围，并且将其空间范围完全涵盖。

上述条件的达成是相当苛刻的，且限制性太大。这与我们讨论完备性时，完备组应当一般地对任一指定的态进行表述的思想相悖。因此，完备性应该做一个界定。我们讨论完备性时应当立足于整个完全集合，确定本征矢量的自由度为整个希尔伯特空间为前提，然后再在这个完全集合的基础上以集合内所有算符的共同本征矢量讨论其完备性。

4 结论

通过在完全集合内对算符的本征矢量完备性受到限制的探究，同时在完全集合外对本征矢量的自由度的界定，可以提出对完备性的新的定义：以完全集合为基础，确定本征矢量的全空间性，本征矢量可以对任一态进行的表述时，我们说这组本征矢量具有完备性。相较于一个厄米算符本征矢量的完备或几个厄米算符共同本征矢量所具有的完备，应该加入一个限定条件，是它们的完备并非真正的完备，而是在自身所在的子空间中完备，可以定为自身体系的完备性。

参考文献

[1] 侯章林.厄米算符本征函数完备性的一般证明[J].大学物理，2012，31（9）：16-21.

[2] Dirac P A M. The Principles of Quantum Mechanics[M].Oxford： Oxford University Press， 1958.

[3] Basdevant J L.Lectures on Quantum Mechanics[M].Berlin： Springer - verlag，2006.

[4] Bohm D.Quantum Theory[M].London：Prentice-Hall，1951.

[5] 曾谨言.量子力学导论[M].2版.北京：北京大学出版社，1998.endprint

摘 要：从厄米算符矢开始，以完全集合定义出发， 以完全集合体系（简称集合体系）为标准.通过讨论集合体系内厄米算符本征矢量完备性限制，从而得出了厄米算符自身体系完备性的一般证明. 进而得出完备性应该在是完全集合基础上的完备，严格说起来，谈论一个算符本征矢的完备性时，其立足点是非常特殊的，这时候应该默认这个算符本身就是一个完全集合，或者在说这个算符本征矢为完备组时其空间范围限定为在这个算符定义域和值域所在的希尔伯特空间之内。

关键词：厄米算符本征矢 完备性 限制 界定 完全集合 希尔伯特空间

中图分类号：O41 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）12（a）-0084-02

在《厄米算符本征函数完备性的一般证明》中[1]，作者对一个厄米算符本征函数的完备性进行了论证[2-5]。该文笔者引入了一组完备的本征函数作为标度，对厄米算符的本征函数进行投影和反影射，从而利用了反证法证明了厄米算符的本征函数具有完备性。其中，在引入这组完备的本征函数时，作者言明对于这组本征函数的选取有特殊的要求，在结论处作者对要求进行了讨论，认为在本征函数选取时应当默认与所需证明的厄米算符的空间范围保持一致，并说明了一组基矢的完备与否只能在一定的空间范围内讨论才有意义。这说明一个厄米算符本征函数的完备性是有一定的限制的。但是对于一组厄米算符的本征函数，其限制的由来到底为何。作者并没有对其进行相应的展开讨论，这也是现在量子力学著作中所忽略的问题。这导致了很多量子力学学习者对厄米算符本征矢完备性的限制和界定的模糊，引发了很多的误解。

该文从完全集合的定义出发，以完全集合体系（简称集合体系）为标准，在集合体系内讨论了厄米算符本征矢量完备性的限制。最终对完备性的定义进行了界定，得出结论：完备性应该在是完全集合基础上的完备，严格说起来，谈论一个算符本征矢的完备性时，其立足点是非常特殊的，这时候应该默认这个算符本身就是一个完全集合，或者在说这个算符本征矢为完备组时其空间范围限定为在这个算符定义域和值域所在的希尔伯特空间之内。

1 完备性的两个限制

完全集合为对应着相应算符的一组物理量。这组物理量具有特殊的特征，它们能在某一态中同时得到测量，并同时具有定值，当它们同时具有定值的时候，再也没有别的非这组物理量的函数的物理量能在该态中再具有定值。根据定义，可知这组物理量在这某一态中具有共同的本征函数，对完全集①合来说，通常认为彼此独立而又两两相互对易的所有算符构成了完全集合。完全集合中算符的独立性和对易性将会造成集合中单独的某一个算符的自由度的缺失，将会极大地限制这个算符的完备性；同时完全集合之外的算符，相较于集合之内的算符来说，它们根据定义域和值域所形成的体系更灵活，以它们为标准，直接对集合中某一个算符本征矢所形成的体系进行完备性的探讨是有限制的。下面将分为完全集合内和完全集合外两个方面对算符本征矢的完备性的限制进行探讨。

2 集合体系内部的限制

对于任一厄米算符，根据确定了其本征矢量。在理论上可以讨论并证明其本征矢组具有完备组的条件。下面我们将引入另一个算符进行定性地说明。

与算符处于同一个完全集合的算符。在完全集合的限定下，算符和算符的关系为相互独立且对易。相互独立指和之间在结构上不能有交集；相互对易说明两个算符具有共同本征矢量。将的本征矢量组定义为，同时和的共同本征矢量组定义为。从结构上对共同本征矢量组分别和、的本征矢量组相比较，从数学上来说，可以简单地认为共同本征函数组与、的本征矢量组具有以下的乘积关系：

， （1）

式中为一个常系数，它只与函数的归一化有关。并且认为和的本征矢量分别为、。

基于这种情况，由于和在结构上的独立性，说明了在空间范围内和是具备不同的自由度的，即式（1）中和在希尔伯特空间内属于不同的自由度。如果这个时候，在和这个共同体系中再以的本征矢量空间为标准并考虑其完备性，就会发现由于自由度的缺失，的本征矢量不再完备了，的情况与其相同。在这里只有它们的共同本征函数组为完备组。可以说，由于自由度的不完整限制了单个算符本征矢的完备性。

综上所述，在完全集合体系下，由于算符与算符之间的独立性和对易性，导致了单独某一个算符自由度的缺失，从而限制了它的完备性。

3 集合体系外部的限制

前面我们讨论了在集合体系内部，由于单独某一个算符受到了自由度的缺失从而导致了完备性的不连续。同时相对于集合体系以外，我们也可以看到它对自由度的限制。

算符属于某一个完全集合体系，而算符并不属于这个完全集合体系。可以知道，和并不对易，它们没有了共同本征函数，并且在同一态中也不同时存在定值。令为的本征矢量，的本征矢量具有完备性表现在总可以通过的各种线性组合能得到一个态，在这个态下存在定值，这时这个线性组合的态被认定为的本征矢。这是在理想的情况下才得以成立的。因为上述情况的成立要求的定义域和值域在希尔伯特空间的自由度范围大于或等于的定义域和值域的空间范围，并且将其空间范围完全涵盖。

上述条件的达成是相当苛刻的，且限制性太大。这与我们讨论完备性时，完备组应当一般地对任一指定的态进行表述的思想相悖。因此，完备性应该做一个界定。我们讨论完备性时应当立足于整个完全集合，确定本征矢量的自由度为整个希尔伯特空间为前提，然后再在这个完全集合的基础上以集合内所有算符的共同本征矢量讨论其完备性。

4 结论

通过在完全集合内对算符的本征矢量完备性受到限制的探究，同时在完全集合外对本征矢量的自由度的界定，可以提出对完备性的新的定义：以完全集合为基础，确定本征矢量的全空间性，本征矢量可以对任一态进行的表述时，我们说这组本征矢量具有完备性。相较于一个厄米算符本征矢量的完备或几个厄米算符共同本征矢量所具有的完备，应该加入一个限定条件，是它们的完备并非真正的完备，而是在自身所在的子空间中完备，可以定为自身体系的完备性。

参考文献

[1] 侯章林.厄米算符本征函数完备性的一般证明[J].大学物理，2012，31（9）：16-21.

[2] Dirac P A M. The Principles of Quantum Mechanics[M].Oxford： Oxford University Press， 1958.

[3] Basdevant J L.Lectures on Quantum Mechanics[M].Berlin： Springer - verlag，2006.

[4] Bohm D.Quantum Theory[M].London：Prentice-Hall，1951.

[5] 曾谨言.量子力学导论[M].2版.北京：北京大学出版社，1998.endprint

摘 要：从厄米算符矢开始，以完全集合定义出发， 以完全集合体系（简称集合体系）为标准.通过讨论集合体系内厄米算符本征矢量完备性限制，从而得出了厄米算符自身体系完备性的一般证明. 进而得出完备性应该在是完全集合基础上的完备，严格说起来，谈论一个算符本征矢的完备性时，其立足点是非常特殊的，这时候应该默认这个算符本身就是一个完全集合，或者在说这个算符本征矢为完备组时其空间范围限定为在这个算符定义域和值域所在的希尔伯特空间之内。

关键词：厄米算符本征矢 完备性 限制 界定 完全集合 希尔伯特空间

中图分类号：O41 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）12（a）-0084-02

在《厄米算符本征函数完备性的一般证明》中[1]，作者对一个厄米算符本征函数的完备性进行了论证[2-5]。该文笔者引入了一组完备的本征函数作为标度，对厄米算符的本征函数进行投影和反影射，从而利用了反证法证明了厄米算符的本征函数具有完备性。其中，在引入这组完备的本征函数时，作者言明对于这组本征函数的选取有特殊的要求，在结论处作者对要求进行了讨论，认为在本征函数选取时应当默认与所需证明的厄米算符的空间范围保持一致，并说明了一组基矢的完备与否只能在一定的空间范围内讨论才有意义。这说明一个厄米算符本征函数的完备性是有一定的限制的。但是对于一组厄米算符的本征函数，其限制的由来到底为何。作者并没有对其进行相应的展开讨论，这也是现在量子力学著作中所忽略的问题。这导致了很多量子力学学习者对厄米算符本征矢完备性的限制和界定的模糊，引发了很多的误解。

该文从完全集合的定义出发，以完全集合体系（简称集合体系）为标准，在集合体系内讨论了厄米算符本征矢量完备性的限制。最终对完备性的定义进行了界定，得出结论：完备性应该在是完全集合基础上的完备，严格说起来，谈论一个算符本征矢的完备性时，其立足点是非常特殊的，这时候应该默认这个算符本身就是一个完全集合，或者在说这个算符本征矢为完备组时其空间范围限定为在这个算符定义域和值域所在的希尔伯特空间之内。

1 完备性的两个限制

完全集合为对应着相应算符的一组物理量。这组物理量具有特殊的特征，它们能在某一态中同时得到测量，并同时具有定值，当它们同时具有定值的时候，再也没有别的非这组物理量的函数的物理量能在该态中再具有定值。根据定义，可知这组物理量在这某一态中具有共同的本征函数，对完全集①合来说，通常认为彼此独立而又两两相互对易的所有算符构成了完全集合。完全集合中算符的独立性和对易性将会造成集合中单独的某一个算符的自由度的缺失，将会极大地限制这个算符的完备性；同时完全集合之外的算符，相较于集合之内的算符来说，它们根据定义域和值域所形成的体系更灵活，以它们为标准，直接对集合中某一个算符本征矢所形成的体系进行完备性的探讨是有限制的。下面将分为完全集合内和完全集合外两个方面对算符本征矢的完备性的限制进行探讨。

2 集合体系内部的限制

对于任一厄米算符，根据确定了其本征矢量。在理论上可以讨论并证明其本征矢组具有完备组的条件。下面我们将引入另一个算符进行定性地说明。

与算符处于同一个完全集合的算符。在完全集合的限定下，算符和算符的关系为相互独立且对易。相互独立指和之间在结构上不能有交集；相互对易说明两个算符具有共同本征矢量。将的本征矢量组定义为，同时和的共同本征矢量组定义为。从结构上对共同本征矢量组分别和、的本征矢量组相比较，从数学上来说，可以简单地认为共同本征函数组与、的本征矢量组具有以下的乘积关系：

， （1）

式中为一个常系数，它只与函数的归一化有关。并且认为和的本征矢量分别为、。

基于这种情况，由于和在结构上的独立性，说明了在空间范围内和是具备不同的自由度的，即式（1）中和在希尔伯特空间内属于不同的自由度。如果这个时候，在和这个共同体系中再以的本征矢量空间为标准并考虑其完备性，就会发现由于自由度的缺失，的本征矢量不再完备了，的情况与其相同。在这里只有它们的共同本征函数组为完备组。可以说，由于自由度的不完整限制了单个算符本征矢的完备性。

综上所述，在完全集合体系下，由于算符与算符之间的独立性和对易性，导致了单独某一个算符自由度的缺失，从而限制了它的完备性。

3 集合体系外部的限制

前面我们讨论了在集合体系内部，由于单独某一个算符受到了自由度的缺失从而导致了完备性的不连续。同时相对于集合体系以外，我们也可以看到它对自由度的限制。

算符属于某一个完全集合体系，而算符并不属于这个完全集合体系。可以知道，和并不对易，它们没有了共同本征函数，并且在同一态中也不同时存在定值。令为的本征矢量，的本征矢量具有完备性表现在总可以通过的各种线性组合能得到一个态，在这个态下存在定值，这时这个线性组合的态被认定为的本征矢。这是在理想的情况下才得以成立的。因为上述情况的成立要求的定义域和值域在希尔伯特空间的自由度范围大于或等于的定义域和值域的空间范围，并且将其空间范围完全涵盖。

上述条件的达成是相当苛刻的，且限制性太大。这与我们讨论完备性时，完备组应当一般地对任一指定的态进行表述的思想相悖。因此，完备性应该做一个界定。我们讨论完备性时应当立足于整个完全集合，确定本征矢量的自由度为整个希尔伯特空间为前提，然后再在这个完全集合的基础上以集合内所有算符的共同本征矢量讨论其完备性。

4 结论

通过在完全集合内对算符的本征矢量完备性受到限制的探究，同时在完全集合外对本征矢量的自由度的界定，可以提出对完备性的新的定义：以完全集合为基础，确定本征矢量的全空间性，本征矢量可以对任一态进行的表述时，我们说这组本征矢量具有完备性。相较于一个厄米算符本征矢量的完备或几个厄米算符共同本征矢量所具有的完备，应该加入一个限定条件，是它们的完备并非真正的完备，而是在自身所在的子空间中完备，可以定为自身体系的完备性。

参考文献

[1] 侯章林.厄米算符本征函数完备性的一般证明[J].大学物理，2012，31（9）：16-21.

[2] Dirac P A M. The Principles of Quantum Mechanics[M].Oxford： Oxford University Press， 1958.

[3] Basdevant J L.Lectures on Quantum Mechanics[M].Berlin： Springer - verlag，2006.

[4] Bohm D.Quantum Theory[M].London：Prentice-Hall，1951.

[5] 曾谨言.量子力学导论[M].2版.北京：北京大学出版社，1998.endprint