课堂教学设计中的三个基本问题——以小学数学 “一一间隔排列”教学为例

徐文彬

（南京师范大学 课程与教学研究所，江苏 南京 210097）

近日，我们有幸先后 “连续”观摩了江苏的扬州、无锡和淮安三所小学三年级第一学期同样内容的三节数学课：一一间隔排列。通过与授课教师及其同伴的课间、课后沟通与交流，认为现如今小学数学课堂教学设计中需要着力思考并解决这样三个基本问题：如何认识所教授的数学学科内容，学生学习该内容的心理过程或特点，以及如何选择必要的教学技术支持。

一、学科内容

“一一间隔排列”这节课的内容大致是两种（不同）物体一一间隔排列的含义及其所蕴含的两种物体之间 “数量关系”规律。因此，教材把其归类于 “探索规律”之列，自有其道理之所在。教材的题名是 “间隔排列”，而三位授课老师均把其改为 “一一间隔排列”。何以会有如此之改动，实为教材内容之所限定考虑也。

就所教授学科内容而言，尽管有些许不同 （有一位授课教师把 “排成一行”拓展至 “排成一圈”），但三位授课教师均基本依据教材内容而施教，也都能够达成课前所预设的教学目标或学习目标。由此可见，总体而言，三位授课教师对教材的把握与对教学的掌控均值得肯定与鼓励。那么，就“一一间隔排列”这一授课内容而言，是否还有值得进一步思考与改进之处呢？

其实，值得改进的地方或许还有很多，但数学思想方法及其所依据的数学思维可能最值得我们深思与谋划。这里所蕴含的数学思想方法既有 “一一对应”，又有 “分类”，而其背后所依据的思维活动则是抽象与概括，以及 “量化思维”，而所有这些数学思想方法与思维活动都源自 “一一间隔排列”这一概念或活动，与此同时，分析与综合始终贯穿其中。概而言之，“一一间隔排列”这节课的授课学科内容可以考虑但不必包括以下几个方面。

1．两种物体的 “一一间隔排列”之确切含义及其各种具体情况。具体而言，我们需要 “逻辑地”思考 “一一间隔排列”的内涵与外延，即，何谓两种物体的 “一一间隔排列”？它包括哪些具体情况？我们甚至还可以追问：两种物体各一个能否构成 “一一间隔排列”？两种物体最少各有几个或最少共有几个才能够构成 “一一间隔排列”？

2．两种物体的 “一一间隔排列”各种具体情况是否可以归类或分类？分类的依据是否明确？具体而言，我们是否可以把 “一一间隔排列”的所有情况都列举出来？如果可以，我们将如何对其归类？如果不行，我们又将如何对其归类？不管如何归类，我们是否都可以明确其归类的标准或依据？

3．由归类是否可以较为简单地 “看出”（即概括出）两种物体数量之间的关系？具体而言，可先就每一类抽象概括出该类情况中两种物体数量之间的关系，然后再抽象概括出 “一般情况”下两种物体数量之间的关系。

4．按照教材的说法，这里的两种物 “一一间隔排列”中的 “排列”是 “排成一行”（其实 “排成一列”也行）。但是，日常生活中随处可见 “排成一圈”的情况。因此，我们似乎也可以适时地考虑 “排成一行”与 “排成一圈”之间的关系或转换。

5．我们甚至还应该知道，这里的两种物 “一一间隔排列”其实只是组合数学中 “排列组合”知识模块中的一点点内容而已。

由此，图1可以是 “一一间隔排列”这节课授课学科内容的一种选择 （仅供参考）。

图1 两种物体 “一一间隔排列”知识结构图

二、学习心理

行文至此，读者尤其是小学数学教师们，可能会产生如下疑惑：我们小学三年级学生 （8岁左右的儿童）能够如此严密地思考问题吗？我们如何才能够如此严密地教授他们如此严密的思维呢？

其实，这里可能存在着一个误解。上述学科内容的分析是针对我们教师而非学生而言的，也就是说，不管我们如何教授这些学科内容，教师首先必须严格地 “按照数学的内在理据”来分析所教授学科的内容，以便 “居高临下”或 “高观点”地把握这一 “课时内容”，并有意无意、潜移默化地渗透之。因为，惟有如此，我们才有可能在具体的课堂教学中做到游刃有余和得心应手。至于如何教授这些内容？则还需要我们从 “儿童的视角”尤其是其学习心理来进一步思考与分析。

依据皮亚杰的儿童认知发展阶段理论，8岁左右的儿童其认知发展水平主要处于从前运算阶段到具体运算阶段的认知发展阶段。而身处此认知发展阶段的儿童，其学习心理尤其是其认知发展特点主要是通过对自身活动的反身抽象，可达成 “对活动对象”的相关认识，并获得相应的概念认知。就“一一间隔排列”学科内容 （图1所示）之学习而言，三年级学生可通过自身具体的操作活动与反省观察，以形成 “一一间隔排列”（排成一行）之概念，并通过 “社会协商”（即同伴之间的沟通、交流与研讨）达成对 “一一间隔排列”各种具体情况进行分类的依据之认同 （排成一圈则仅是其中一类的 “变形”）；至于 “一一间隔排列”中两种物体数量之间的关系，三年级学生则可通过其已有的知识经验 （即此前的 “一一对应”操作活动的经验及其认知）或对具体事例的量化观察、抽象与概括而较为容易地得出。

具体而言，就三年级学生之学习而言，“一一间隔排列”概念的获得应主要以概念形成的方式来达成，而 “分类依据”的认同则应主要以 “社会协商”活动来求得，至于 “一一间隔排列”中两种物体数量之间的关系则可通过 “再现” “一一对应”活动来获得。

由此可见，图2是小学三年级学生学习 “一一间隔排列”数学学科内容 （图1所示）的一种可能的心理过程 （仅供参考）。

图2 两种物体 “一一间隔排列”学习心理过程图

其实，图2中的 “上半部分”只是小学生学习这类数学学科内容的一般心理过程或认知过程，而其 “下半部分”则是他们学习 “一一间隔排列”这一数学学科内容 （图1所示）可能的具体心理过程或认知过程。

三、技术支持

行文至此，读者尤其是小学数学教师们，很可能会认为，“一一间隔排列”（图1所示）的教学设计之核心部分，即教学过程或教学环节已基本完成，即图2。

其实，这里可能存在着另一个误解。上述学习心理过程或认知过程分析是一般抽象的 （即脱域的）而非具体实在的 （即浸域的，也即具有现实可行性）。也就是说，无论如何，我们也不能仅仅依据或直接运用图2来实施 “一一间隔排列”（图1所示）的课堂教学。但是，如果没有像图2那样所示的学习心理之分析 （可以不必像图2那样明确地给出，但心中得有数），那么我们的课堂教学实施就极有可能导致这样一种结果，即实足的可信而与此同时却又是确实的无效，也就是说，尽管课堂上师生表现出高度的一致，但学生却并没有切实地掌握或领会教师所教授的学科内容。因为，唯有如此，我们的课堂教学才有可能建立在科学 （即有证据）的基础之上，努力做到 “循证教育”。至于如何具体地设计教学过程或教学环节，则还需要我们从 “技术的视角”来加以考察与分析。

一提到教学技术，我们一般都会 “条件反射”地想到多媒体、网络及至诸如模型、挂图等 “实体技术”，而鲜有其他。其实，技术有软、硬之别。上述教学技术多属于 “硬技术”，而 “软技术”在课堂教学 （设计）中则多体现为教学思路的构思，教学过程或教学环节的建构， “硬技术”的呈现（出场与退场），教学活动的组织与协调，以及教学语言的转接与引导。事实上，教学过程或教学环节的设计不能只注重 “硬技术”的使用，可能更应该看重 “软技术”的支撑。因为，（课堂）教学是培育人的教育活动，而非 “复制人”的生产活动。

就 “一一间隔排列”的课堂教学设计而言，其教学思路可以如此构思：首先，依据学科内容分析（图1所示），明确教学目标或学习目标；其次，参照学习心理分析 （图2所示），建构学生学习活动；再次，选择适宜的 “操作”活动 （譬如，邀请授课班级的文体委员，请他／她就班上若干名男、女同学，进行队列变换），构建教学过程或教学环节；最后，自我判断与教学反思。

教学过程或教学环节，试可作如下建构：第一，操作活动，即两种 （不同）“物体”的任意排列，譬如，上述教学思路中的 “操作活动”，但应明确提出对排列进行分类的具体要求；第二，就学生对排列的分类进行讨论与交流，以明确其中的“间隔排列”与 “一一间隔排列”（一个隔着一个，至少三个）；第三，回到教材，就其中的三个案例请同学们指出其 “一一间隔排列”中的 “两种不同物体”（兔子与蘑菇、木桩与篱笆、夹子与手帕）；第四，请同学们就 “操作活动”中的 “一一间隔排列”进行再次分类，并在讨论、交流基础上明确“男生与女生之间的数量关系” （相等或相差1）；第五，再次回到教材，就其中的三个案例请同学们指出其中 “两种不同物体之间的数量关系”（都相差1）；第六，独立思考，自主练习，完成教材中的两个问题；第七，小结 （“一一间隔排列”及其“两种物体的数量关系”，以及如何分类）；第八是拓展 （尽可能多地列举生活中一一间隔排列的实例，哪一类一一间隔排列能够转换成 “一个圈”而仍然是一一间隔排列？）。三位授课教师的教学过程尽管都有操作活动，并渗透了 “一一对应”，但几乎毫无例外地都缺少对 “分类”的关注。

“硬技术”的出场与退出，试可作如下设想：就上述教学过程而言，“硬技术”（譬如，黑板板书或媒体课件）应在两次分类讨论、交流时出场，而在其他教学环节可不出场 （但也可以选择出场，譬如，小结环节）。

教学活动的组织与协调，试可作如下谋划：首先，由于操作活动是 “男女生的队列变换”，所以应考虑教室空间大小的问题；其次，还应考虑学生多少的问题 （即班额问题）；再次，必须提出明确的操作要求 （譬如，如何把每一种变换队列记录下来？），以有序地协调队列变换 “操作活动”；最后，应该引导学生有效地使用教材 （就上述教学过程而言，至少有三次）。

教学语言的转接与引导，试可作如下思考：就上述教学过程而言，这里至少有四种语言之间需要转换或引导，即活动语言、数学语言、书面语言和口头语言。第一，操作活动需要在书面语言或口头语言的引导下形成其活动语言；第二，活动语言的记录则需要口头语言的转接而形成数学语言，并用书面语言保存下来；第三，学生对数学语言的理解、把握乃至运用则需要教师口头语言或身体语言（活动语言之一种）的引导。其实，这里还有教师语言与学生语言之间的区分及其转接。这里的关键问题与要点是教师应依据对学生语言的瞬时 “情景分析”和长期 “修炼反思”，来组织自己的语言，以引导学生学习与开展教学。三位授课教师都有不同程度地忽视学生语言的现象，忽视学生语言其实就是忽视学生思维，因为语言是思维的外在形式，而学生思维既是我们教学的出发点，也是我们教学的旨趣所在，更是我们教学契机把握的切入口。

上述关于课堂教学设计中的三个基本问题的分析与论述，尽管只是结合小学三年级数学第一学期“一一间隔排列”这一具体内容来展开与呈现的，其实它也不失为 “一般课堂教学设计”分析框架之可能选择的一种。

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