可靠性分析的FORM和SORM组合法

郭 彪， 顾德华， 董玉革， 吴方应

（1.合肥工业大学 机械与汽车工程学院，安徽 合肥 230009；2.合肥晟泰克汽车电子有限公司，安徽 合肥 230601）

可靠性分析中失效概率的计算最常用的近似算法为一阶可靠性方法（first order reliability method，简称FORM）［1］。FORM 没有考虑原极限状态函数的非线性，多数情况会存在较大的误差。因此，人们提出二阶可靠性方法（second order reliability method，简称 SORM）［2－8］，即将极限状态函数在标准正态坐标系中距离原点最近的点进行二次展开，考虑极限状态函数的非线性，得到比FORM更为准确的可靠性计算结果。

存在多个极值点的极限状态函数，可以在各极值点分别用FORM计算失效概率，然后将其组合起来得到原可靠性分析问题的失效概率，一般可称之为 MFORM（multipoint first order reliability method）［9－11］；或用 SORM 计算失效概率，然后将其组合起来，可称之为 MSORM（multipoint second order reliability method）［12－13］。文献［12－13］讨论了2个极值点的 MSORM。2个极值点的情况，其组合失效概率的计算比较简单，但文献［12－13］的方法难以用于3个或3个以上极值点的情况。现有文献也未讨论将FORM和SORM组合起来进行失效概率的计算。

本文根据极限状态函数的特点，分别选择FORM或SORM计算极值点处的失效概率，然后根据SORM的计算结果，将二次展开极限状态函数近似用线性极限状态函数替代，实现FORM和SORM的组合，获得较准确的失效概率计算结果。

1 SORM简介

与FORM在设计点处对极限状态函数进行线性展开不同，SORM在设计点处对极限状态函数进行二次展开后，完成可靠性的计算。SORM一般比FORM具有更高的计算精度，有多种算法可完成SORM 的具体计算［2－8］，本文采用文献［4］的方法。

Koyluoglu方法计算二维情况下失效概率的公式可表示为［4，6］：

其中，Pf为原可靠性问题的真实失效概率；Φ（·）为标准正态分布累积分布函数；φ（·）为标准正态分布概率密度函数；βF为按FORM计算的可靠性指数；κ为与二维失效曲面在设计点处的曲率有关的参数，κ可正可负。

设极限状态方程为g（u1，u2）＝0，将其改写为u2＝f（u1），则κ的计算公式为：

在用SORM计算可靠性时，必须考虑曲线在展开点处，是弯向失效区，还是弯向安全区。因此，κ的大小按（2）式计算，而其正负则按下述方法处理：若曲线弯向失效区，则κ≥0；若曲线弯向安全区，则κ＜0（参见图1的点和）。多维情况下的失效概率计算，可参考文献［4］。

2 失效概率计算的组合法

在进行可靠性分析时，需分析极限状态函数的特点，考虑采用什么方法进行失效概率的计算。若在极值点处几乎呈线性，则可采用FORM计算失效概率；若在极值点处具有较高的非线性，则采用SORM计算失效概率；若极限状态函数具有多个极值点，且在某个极值点几乎呈线性，某个极值点具有较高的非线性，则可采用FORM和SORM的组合进行失效概率的计算。

为了完成FORM和SORM的组合，将SORM的二次极限状态函数用线性极限状态函数替代，替代的条件是：用替代的线性极限状态函数计算的失效概率或可靠性指数与SORM计算的失效概率或可靠性指数相同，且替代的线性极限状态函数所表示的直线与该极值点处用FORM得到的线性极限状态函数所表示的直线平行。为表示区别，将按SORM获得的可靠性指数记为βS，按FORM获得的可靠性指数记为βF。

设g（u1，u2）＝0，U＝｛u1，u2｝为标准正态坐标系中相互独立的标准正态随机向量。在第j个极值点处，由FORM获得的可靠性指数为βFj，则得到的线性极限状态为：

其中，gj′为第j个线性极限状态，与gj′对应的失效区记为Vj′；αj为在点处的负梯度。

设用SORM在该极值点获得的可靠性指数为βSj，则替代的线性极限状态为：

其中，gj″为第j个替代的线性极限状态，对应的失效区为Vj″。

在多个极值点处，可根据极值点处的非线性程度，分别用FORM和SORM得到线性极限状态gi′（i＝1，2，…，m）和替代的线性极限状态gj″（j＝m＋1，m＋2，…，n）。因此，复杂极限状态函数的可靠性计算问题转化为线性极限状态gi′和替代的线性极限状态gj″组合的可靠性计算问题。若记线性极限状态gi′（i＝1，2，…，m）对应的失效区为Vi′（i＝1，2，…，m），替代的线性极限状态gj″（j＝m＋1，m＋2，…，n）对应的失效区为Vj″（j＝m＋1，m＋2，…，n），则一般地，原可靠性问题的失效区可近似表示为：

原可靠性问题的失效概率可表示为：

（6）式的失效概率计算，可用（7）式得到其上下界［14－16］：

其中，｛A｝＋＝max｛0，A｝。

当n比较小时，如本文算例中，n＝3，可以简单而准确地计算（6）式右边的部分，如m＝1，n＝3，（6）式即为：

根据（8）式，失效概率的计算可转化为V1′、V2″和V3″联合失效区概率的计算，即计算P（V1′∩V2″）、P（V1′∩V3″）、P（V2″∩V3″）和P（V1′∩V2″∩V3″）。对P（V1′∩V2″）、P（V1′∩V3″）和P（V2″∩V3″），可以采用二维标准正态分布函数进行计算，也可采用近似方法进行计算［17－19］，本文采用的近似计算方法如下［19］：

其中，βi和βj为按FORM或SORM计算的可靠性指数。

对P（V1′∩V2″∩V3″）的计算，可以进行如下处理［17］：

（1）获取所有线性极限状态函数或替代的线性极限状态函数两两之间的交点，如第1个和第2个线性极限状态函数的交点d12（参见图1）。

（2）若交点不在联合失效区，则剔除；若在，则保留（图1中，保留的点有d23）。

按上述方法，可知，P（V1′∩V2″∩V3″）可简化为：

3 算 例

算例1 设极限状态函数为：

其中，u1和u2为服从标准正态分布的随机变量。

通过计算知，距离坐标原点最近的点＝（0，1.99）。按FORM，应以为设计点计算可靠性，易得到可靠性指数为βF1＝1.99，因此失效概率为Pf≈PfF＝Φ（－βF1）＝Φ（－1.99）＝0.023 295 5。用 Monte Carlo 方 法 得Pf≈0.068 279 6，模拟次数为107次。

可见，对该极限状态函数，用FORM进行一次展开计算失效概率的误差太大，不宜采用。

本文的极限状态曲面到坐标原点的距离还有2个极值点，即＝（2.126 555 0，0.005 189 2），＝（－2.126 555 0，0.005 189 2），如图1所示，可用SORM进行二次展开、计算失效概率。

图1 算例图示

在极值点处的曲率极小，可用FORM计算失效概率。根据（2）式计算得极值点和处的曲率为κ2＝κ3＝－0.088 864 9。根据和的对称性，在和点处，用（1）式计算得失效概率为PfS2＝PfS3＝0.018 570 9，相应的可靠性指数为βS2＝βS3＝2.084 201 0。

可见，用本文的方法提高了失效概率计算的精度。本文方法计算失效概率产生误差的主要原因如下：①FORM和SORM组合的计算失效区与原失效区之间仍不相同；② 用SORM计算极值点处的失效概率仍有误差；③ 用近似方法计算联合失效概率的误差。本例产生误差最主要的是第1个原因。

算例2 设极限状态函数为：

其中，u1和u2为服从标准正态分布的随机变量。

该极限状态函数的图像与图1类似，极值点＝（0，1.99）＝（1.888 533 0，0.004 394 4），＝（－1.888 533 0，0.004 394 4），距离坐标原点最近的点为或。按FORM，只在或点处进行线性展开，得到βF2＝1.888 558 4，或βF3＝1.888 558 4。因此，失效概率用βF2或βF3表示为Pf≈Φ（－βF2）＝Φ（－βF3）＝0.029 475 5。用Monte Carlo方法进行107次模拟得到Pf≈0.095 351 90，因此，无论是用极值点，还是用极值点来计算失效概率，计算精度都很低。

同算例1，在极值点处用FORM，在极值点和处用SORM，然后将其按（8）式进行组合，得失效概率为Pf≈0.079 933 8。

4 结 论

（1）根据极限状态函数的实际情况，分别选择FORM或SORM计算极值点处的失效概率，再将其组合，获得了较准确的失效概率计算结果。

（2）FORM和SORM计算失效概率的误差主要在于实际的计算失效区与原失效区差别可能过大，如算例1和算例2。本文方法计算失效概率虽然也会产生误差，但是通过多点线性和二次展开及其组合，能够提高失效概率计算的精度，因此在提高可靠性计算准确性方面，具有普遍的理论意义和工程应用价值。

（3）采用何种方法进行可靠性的计算，建议对极限状态函数进行必要的分析，如极值点的数量，在极值点处的非线性程度等等，以提高失效概率的计算精度。

［1］ 黄克中，毛善培.随机方法与模糊数学应用［M］.上海：同济大学出版社，1987：233－262.

［2］ Breitung K.Asymptotic approximations for multi－normal integrals［J］.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1984，110（3）：357－366.

［3］ Tvedt L.Distribution of quadratic forms in the normal space application to structural reliability［J］.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1990，116（6）：1183－1197.

［4］ Koyluoglu H U，Nielsen S R K.New approximations to SORM integrals［J］.Structural Safety，1994，13：235－246.

［5］ Cai G Q，Elishakoff I.Refined second－order reliability analysis［J］.Structural Safety，1994，14：267－276.

［6］ Zhao Y G，Ono T.New approximations for SORM：part 1［J］.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1999，125（1）：79－85.

［7］ Zhao Y G，Ono T.New approximations for SORM：part 2［J］.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1999，125（1）：86－93.

［8］ Kiureghian D A，Lin H Z，Hwang S J.Second－order reliability approximations［J］.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，1987，113（8）：1208－1225.

［9］ 顾永维，安伟光，安 海.非线性较强安全余量方程可靠性指标精确计算方法研究［J］.哈尔滨工程大学学报，2007，28（7）：743－746.

［10］ 刘成立，吕震岳.非线性隐式极限状态方程失效概率计算的组合相应面法［J］.工程力学，2006，23（2）：29－33.

［11］ Manadevan S，Shi P.Multiple linearization method for nonlinear reliability aqnalysis［J］.Journal of Engineering Mechanics，ASCE，2001，127（11）：1165－1173.

［12］ Kiureghian A D，Dakessian T.Multiple design points in first and second－order reliability［J］.Structural Safety，1998，20：37－49.

［13］ Wei D，Rahman S.A multi－point univariate decomposition method for structural reliability analysis［J］.Intenational Journal of Pressure and Piping，2010，87：220－229.

［14］ Hohenbichler M，Rackwitz R.First－order concepts in system reliability［J］.Structural Safety，1983，1：177－188.

［15］ Hohenbichler M，Gollwitzer S，Kruse W，et al.New light on first－and second－order reliability methods［J］.Structural Safety，1987，4：267－284.

［16］ Rackwitz R.Reliability analysis：a review and some perspectives［J］.Structural Safety，2001，23：365－395.

［17］ Feng Y S.A method for computing structural system reliability with high accuracy［J］.Computers ＆ Structures，1989，33（1）：1－5.

［18］ Feng Y S.The computation of failure probability for nonlinear safety margin equations［J］.Reliability Engineering and System Safety，1990，27：323－331.

［19］ 董 聪.现代结构系统可靠性理论及其应用［M］.北京：科学出版社，2001：119－133.