CUSUM和EWMA控制图在汽车加油过程中的应用研究

魏 文 段美华

(天津职业技术师范大学，中国 天津300222)

0 前言

工业生产过程中，产品的质量波动是不可避免的。统计过程控制（Statistical Process Control，简记为SPC）是产品质量控制的重要研究内容，它包含一些用来降低产品质量波动以使产品质量保持稳定的诸多有效工具。质量控制图就是诸多有效工具之一。世界上第一个控制图—Shewhart控制图首先由Shewart博士于1925年基于统计的原理提出(Shewhart(1925))的，它仅对检测较大的飘移(shift)效果明显。还有两种检测方法，其一是累积和(CUSUM)控制图,由Page(1954)基于似然比提出；另一个是指数加权移动平均（EWMA）控制图，由Roberts(1958)提出。到目前为止,关于控制图的研究和应用成果已相当丰富,并取得了良好的社会效益与经济效益。

1 CUSUM控制图

CUSUM控制图的理论基础是序贯分析原理中的序贯概率比检验（Sequent Probability Ratio Test,简称SPRT），这是一种基本的序贯检验法。CUSUM控制图的设计思想是对信息加以累积，将过程中的小漂移累加起来，达到放大的效果，以提高检测过程小漂移的灵敏度。

通过计算一列样本观测点发生漂移的累积和，CUSUM控制图可以直接包含观测点的所有信息。例如，假设我们收集到n（n≥1）个样本，x¯j是第j个样本的均值。如果μ0是该过程的均值，我们可以记CUSUM为

另外，我们用C+表示从目标值μ0向上漂移的累加和，用C-表示从目标值μ0向下漂移的累加和。它们可分别记为：

这里C+0=C-0=0.CUSUM控制图主要由两个参数（h，k）所决定,其中h称为门限值（Decision Boundary）,k称为决策值（Reference Value），并且我们定义H=hσ，K=kσ。

在实际使用时，我们通常在计算前会选择使xi标准化。令

则yi就表示xi的标准值。那么标准化的累积和表示如下：

标准化的CUSUM控制图大多具有相同的k和h，并且参数的选择不依赖于σ，因此更便于操作。

例1.1：用机器给油罐加油，每一个小时得到一个样本。由于该加油过程是自动化的，所以变化性是稳定的。通过观察我们发现σ=0.05oz.下表给出了24小时的各个观测值。

表1

假设该过程的目标值是8.02oz，当h=4.77，k=0.5时，构造一个CUSUM控制图。

分析：由题意已知μ0=8.02,σ=0.05,k=0.5,h=4.77,

Minitabffgt;控制图ffgt;时间加权控制图ffgt;累积和控制图（图1.1）

例1.2：当h=4.77，k=0.5时，利用表格1中的数据重新构造一个CUSUM控制图。

分析：已知μ0=8.02，σ=0.05，k=0.5，h=4.77

H=hσ=4.77*(0.05)=0.2385

Minitabffgt;控制图ffgt;时间加权控制图ffgt;累积和控制图（图1.2）

图1.1

图1.2

例1.3：当h=8.01，k=0.25时，利用表格1中的数据重新构造一个CUSUM控制图。

分析：已知μ0=8.02,σ=0.05,k=0.25,h=8.01,

H=hσ=8.01*(0.05)=0.4005

Minitabffgt;控制图ffgt;时间加权控制图ffgt;累积和控制图

图1.3

对比分析：

图1.1，图1.2和图1.3分别为不同参数下的CUSUM控制图。

比较图1.1和图1.2，我们发现当只有h改变时，只影响控制图的上下控制线。并且h越小，越容易报警；反之，则越不容易报警。

比较图1.2和图1.3，我们发现k越大，累积和越小，过程越稳定；k越小，累积和越大，并且偏离中心线越来越远，容易发生报警。

2 EWMA控制图

EWMA控制图采用只是加权累积移动均值设置控制线，并且图上的每个点都包含前面所有子组或观测值的信息，因而可以不受正态假设的限制，检测出过程均值的小漂移。

假设在一生产过程中有一列观测点Xi，i=1,2,…，为监控过程是否发生变化，我们要做如下假设检验：

其中μ1≠μ0或者（并且）σ1≠σ0，τ为未知变化点。

EWMA控制图最早是由Rober(1959)提出的，其统计量定义为：

其中λ∈（0，1）为光滑参数。当Sn≥h时报警，过程均值发生向上的漂移；当Sn≤-h时报警，过程均值发生向下的漂移，其中h为控制线。

在EWMA控制图中，中心线用μ0来表示，上控制线和下控制线分别为：

其中的系数L表示控制线的宽度。随着i增大，控制线就接近于稳定值，此时，上下控制线可表示为：

需要注意的是对于较小的i，我们用（11）和（12）式确定上下线。

例2.1：利用表格1中的数据，令λ=0.2,L=3，构造EWMA控制图。

分析：λ=0.2，L=3.假设σ=0.05，中心线CL=μ0=8.02，

Minitabffgt;控制图ffgt;时间加权控制图ffgt;EWMA

图2.1

例2.2：同样利用表格1中的数据，令λ=0.1，L=2.7，构造一个EWMA控制图。

分析：λ=0.1，L=2.7.假设σ=0.05，中心线CL=μ0=8.02,

Minitabffgt;控制图ffgt;时间加权控制图ffgt;EWMA

图2.2

对比分析：

图2.1和图2.2分别为不同参数下的EWMA控制图。观察图像，我们发现，随着λ和L的增大，样本观察值超过中心线的个数也相应增大，并且偏离中心线越来越远，容易发生报警。

通过研究对比分析不同参数组合下得预警效果，结果表明，两种控制图均受参数值的影响。相对而言，EWMA控制图受参数影响较小，而CUSUM控制图受参数的影响较大。然而，在实际工作中，控制图参数值的大小常根据经验设置，例如根据研究的车型以及采用的基线数据合理设置。

我们建议在选择控制图之前，应利用给不同车型加油的历史数据，对参数的设置进行优化，继而利用优化的参数进行分析。由于缺乏实际观测数据，因而难以对两种控制图的参数进行优化，而仅对不同参数组合下得两种控制图的预警效果进行了分析。

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