MATLAB在工程力学中的应用

黄方 章向明

摘 要：工程力学所包含的内容极其广泛，其中，动力学由于计算复杂、内容抽象而一直是教学的难点。MATLAB是美国Mathworks公司开发的一种集符号运算、数值计算、图形可视化等多种功能于一体的大型数学计算软件，本文针对工程力学中较复杂的动力学问题，通过实际工程中一常用的弹簧振子实例说明了在工程力学课程的学习中如何引入MATLAB，结合教学实践，证明合理使用计算机软件，既能促进学生的学习兴趣，又能提高学生对理论力学的掌握程度，提高学生的工程能力。

关键词：MATLAB软件 工程力学 动力学 阻尼

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）10（a）-0123-01

传统工程力学教学只注重理论和基本概念的掌握。主要采用手算，将过多的精力用于解题技巧，忽略科学计算能力的培养。显然，随着计算机技术的普及，这种传统培养模式已经不能满足新世纪对人才的需求。未来教学的主要模式一定是在原有的课程体系中适当地引进科学计算技术和手段，提高学生处理复杂问题的能力。

1 MATLAB在动力学中的应用

MATLAB有强大的数值计算能力，且易学易用，对学生而言，它是一个真正的计算工具，而不是一门新的计算机课程，只要经过很短时间的练习，就能用它完成所需要的计算。多年的教学经验表明，工程力学中的动力学部分由于涉及到阻尼、加速度等概念，学生掌握起来比较困难，本文即以一基本的弹簧振子模型为例说明MATLAB在工程力学之动力学研究中的应用。

假设在弹簧的一端挂着一个振子，我们用力把这个振子拉离平衡位置，然后放手，这个振子就做上下振动。最后，振动逐渐衰减，直到我们不能觉察为止。振动的衰减快慢是系统的阻尼系数的函数。在弹簧振子这样最简单的系统里，阻尼系数很小。但是在其他一些系统里，比如在汽车的避震系统里，阻尼器（减震器）是不可缺少的一部分，同样在工程的其他更多领域里都非常重要。弹簧振子模型可以应用于避震系统、建筑结构的振动等机械系统，也可以应用于液压系统。

弹簧振子模型的位移响应可以通过列出并求解该系统的微分方程来获得。在欠阻尼条件下，阻尼很小，允许振子振动。在过阻尼条件下，则振子回到原来的位置都是不可能的。如果阻尼正好使得振子回到原来位置，但是并没有引起振动，则我们称它为临界阻尼。在欠阻尼条件下，弹簧振子的位移响应解是：

式中：—— 振子相对于平衡位置的偏移量（振幅）。

—— 初始偏移值（即在时刻的偏移量）。

—— 系统的固有振动频率。它表示系统每秒钟自由振动的次数。

—— 阻尼比。它的值介于0～1之间。

—— 阻尼频率，它的计算公式是：

这个解是假设初速度为0时得到的，即把弹簧拉伸到位置后释放。显然振幅是时间的函数，绘制弹簧振子系统的位移随时间的变化曲线。假设，。分别讨论无阻尼和欠阻尼，即和时的情况。MATLAB编程如下：

y0=4.0；

dc=0.0；

fr=2*pi；

fd=fr*sqrt（1-dc^2）；

for

i=1∶101

t（i）=（i-1）*0.05；

c=cos（fd*t（i））；

s=sin（fd*t（i））；

e=exp（-dc*fr*t（i））；

y（i）=（y0*c+y0*dc*fr/fd*s）*e；

end

plot（t，y）

dc2=0.05；

fd2=fr*sqrt（1-dc2^2）；

for

i=1∶101

c=cos（fd2*t（i））；

s=sin（fd2*t（i））；

e=exp（-dc2*fr*t（i））；

y2（i）=（y0*c+y0*dc2*fr/fd2*s）*e；

end

hold on

plot（t，y2，‘LineWidth，3， ‘LineStyle，‘-，‘Color，‘red）；

legend（阻尼比=0.0，阻尼比=0.05）；

通过命令运行程序，即可得到下面图形。

2 结语

通过MATLAB编程后得到的图1我们可以很清晰地看到，当阻尼比为0也就是无阻尼情况下，振子可以一直振动下去且振幅不衰减，但当阻尼比为0.05的欠阻尼时，振子仍然可以振动但振幅逐渐衰减直到0为止。这样一来，一个抽象的动力学问题便通过图形化具体地展现在学生面前，相对于枯燥的公式记忆，学生通过這种模式会加深对力学基本概念的掌握和理解，并且自己编程解决问题也会极大地增强学生在掌握知识后的成就感，进而提高了学生的学习兴趣。所以希望能有更多的教师在工作中应用这一现代化的教学工具。

参考文献

[1] 张定华.工程力学[M].北京：高等教育出版社，2000.

[2] 高俊斌.MATLAB语言与程序设计[M].武汉：华中理工大学出版社，1998.

[3] 张志涌.掌握和精通MATLAB[M].北京：北京航空航天大学出版社，1999.

[4] 张铮，杨文平，石博强，等.MATLAB程序设计与实例应用[M].北京：中国铁道出版社，2003.

[5] 陈怀琛.MATLAB及其在理工课程中的应用指南[M].西安：西安电子科技大学出版社，2000.