横力弯曲异种材料组合梁应力分析及计算

李建军 张艳华 赵志明 张功学

摘要：本文通过对一道力学竞赛试题的引入，着重探讨了异种材料组合梁在横力弯曲时横截面上应力、应变分布情况，由弯曲时的平面假设得出异种材料组合梁截面上的弯曲正应力计算公式的直接法，进一步引入了等效截面法，最终通过直接法和等效截面法两种方法的比较，得知异质材料组合梁以使用等效截面法求解为宜。因为用此种方法求解可不必熟背一些复杂、烦琐的公式，而是将截面等效变换处理后，运用熟悉的计算公式，处理异种材料组合梁，即将一个复杂的新问题处理为一个简单的熟悉的问题，计算简单、方便。

关键词：组合梁；应力；应变；等效截面法

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）52-0187-02

一、引言

在第八届周培源全国大学生力学竞赛试题中有这样一道题：有一弹性模量为E1的矩形截面悬臂梁AB，A端固定，B端自由。梁长为L，截面高度为h1，宽度为b。梁上表面粘着模量为E2=2E1的增强材料层，该层高度h2=0.1h1，长度和宽度与梁AB相同。工作台面D距离B端下表面高度为△。在B端作用垂直向下的载荷FP。不考虑各部分的自重。（1）求组合截面中性轴的位置；（2）求使梁B端下表面刚好接触D台面所需的力FP；（3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力；（4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图。要想求解这道题目，就必须知道异种材料组合梁截面上的应变、应力是如何分布的，再借用合理的方法来计算应力就可求解这道题目了。

二、异种材料组合梁截面上应力分布的研究

考虑图2a所示组合梁，材料1与材料2的弹性模量分别为E1和E2，相应的横截面面积分别为A1和A2，并分别简称为截面1与截面2。在梁两端的纵向对称面内，作用一对方向相反、其矩均为M的力偶。试验表明，梁弯曲的平面假设与单向受力假设仍然成立。

1.直接法。首先研究复合梁的变形。为此，沿截面对称轴与中性轴分别建立y轴和z轴，并用ρ表示中性层的曲率半径，则根据平面假设可知，横截面上y处的纵向正应变为：

ε=■

即纵向正应变沿截面高度线性变化（图2b）。

在线弹性范围内，由单向应力状态下的胡克定律，可得横截面上材料1与材料2各点处的弯曲正应力分别为：

σ■=■σ■=■ （a）

即弯曲正应力沿截面1与截面2分区线性变化（图2c），而在该两截面的交界处，正应力则发生突变。对于由多种材料组成的组合梁，虽然其纵向正应变沿截面高度连续变化，但由于材料的非均匀性，在不同材料的交界处，弯曲正应力必然发生突变。

现在研究问题得静力学方面。根据横截面上不存在軸力、仅存在弯矩M的条件，显然有：

■σ■dA■+■σ■dA■=0？摇？摇？摇？摇 （b）

■yσ■dA■+■yσ■dA■=M？摇？摇 （c）

将式（a）分别带入式（b）、（c），得：

E■■ydA■+E■■ydA■=0 （d）

■■y■dA■+■■y■dA■=M？摇？摇 （e）

由此得中性层的去率为：

■=■ （f）

式中，I1与I2分别代表截面1与截面2对中性轴的惯性矩。

最后，将式（f）带入式（a），于是得截面1与截面2弯曲正应力分别为：

σ■=■σ■=■ （g）

2.等效截面法。等效截面法是以式（d）～（g）为依据，将多种材料构成的截面转化为单一材料的等效截面，然后采用分析均质材料梁的方法进行求解。

首先，令n=■，？摇？摇■■=I■+nI■，

于是式（d）与（f）就简化为：

■ydA■+E■■yndA■=0 ？摇（h）

■=■ （i）

而截面1和2上的弯曲正应力则分别为：

σ■=■σ■=■ （j）

由此可知，如果将材料1所构成的截面1保持不变，而将截面2沿z轴方向的尺寸乘以n，即将实际截面（图3a）变换成仅由材料1所构成的截面（图3b），显然该截面的水平形心轴与实际截面的中性轴重合，对中性轴z的惯性矩等于■■，而其弯曲刚度则为E■■■。可见在中性轴位置与弯曲刚度方面，图3b所示截面与实际截面完全等效，只要中性轴位置与惯性矩■■确定后，由式（j）即可求出截面1和2上的弯曲正应力。同理，也可选择材料2作为基本材料，而将截面1进行转换（图3c），由此亦得弯曲正应力结果。

同理可以导出材料1和材料2截面内的切应力τ■和τ■分别为：

τ■=■τ■=■ （k）

式（k）中S■■■是基本材料所在截面对中性轴的静矩，b基本材料所在截面的宽度。

三、结论

1.组合梁无论由几种材料组成，仍认为弯曲时平面假设成立，因此横截面上的正应力组成弯矩这一静力学关系可写成：M=■■y■dA■+■■y■dA■+…=■∑EiI■■，所以σ■=■=■My

2.组合梁无论由几种材料组成，对于不同的材料可以在每部分的刚度保持不变的原则下，根据弹性模量的大小，在截面的高度不变的前提下变换截面的宽度，即任取一种材料的弹性模量和截面的宽度设其为E■，b■，则其他材料的截面宽度为b■=■b■，即通过改变其他材料的截面宽度之后，组合梁就变换成单一材料的梁了。

3.通过直接法和等效截面法两种方法的比较，得知异质材料组合梁以使用等效截面法求解为宜。因为用此种方法求解可不必熟背一些复杂、烦琐的公式，而是将截面等效变换处理后，运用熟悉的计算公式，处理异种材料组合梁。即将一个复杂的新问题处理为一个简单的熟悉的问题，计算简单、方便。所以，文章引言中的竞赛题完全可以运用等效截面法求解。

参考文献：

[1]单辉祖.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]李秀莲.等效截面法求解异质双材料组合梁[J].青海大学学报（自然科学版），2008，26（6）：93-96.

[3]闵行，武广号，刘书静.材料力学学习指导[M].西安交通大学出版社，2008.