重力场扰动位泰勒展开式低阶项应用研究

曹金国，王建斌，戴山岭

(96633部队，北京100096)

一、引 言

高程异常是似大地水准面和参考椭球面之间的差距，似大地水准面相对于参考椭球面的倾斜状况可以采用垂线偏差来衡量。垂线偏差通常采用天文测量和大地测量相结合的方法确定，或通过重力场模型获取。其中，天文测量受天气制约明显，而重力场模型对低频长波扰动影响表征较好，对局部短波高频扰动影响反应较差。特殊情况下，需要一定精度垂线偏差分量而天文测量又无法实施时，就需要其他手段来保障。多年来，笔者在局部区域内实测了一定数量的高程异常点，而通过这些高程异常点能否确定该区域内任意位置满足一定精度的垂线偏差，下面就这一问题进行探讨。

二、扰动位局部平面展开式低阶项的物理意义

众所周知，垂线偏差代表了似大地水准面的倾斜，垂线偏差分量(ξ，η)和扰动位T的关系可以简单地表示为

式中，γ为正常重力值。

考虑到一定范围内似大地水准面的变化比较平缓，可将扰动位T看做是平面坐标(x，y)的函数，此时，可将扰动位展开为x和y的函数，即

式中，T0为参考点处(重心)的扰动位。参考点处扰动位的偏导数与垂线偏差，以及垂线偏差变化率的关系为

式中，γ0为正常重力。将式(3)和式(4)代入式(2)后可得

将式(5)代入到布隆斯公式可得

由正常重力的计算公式可知，相隔数十千米的两点，正常重力的变化可忽略不计，即可取γ=γ0，则可得到和高程异常ζ与垂线偏差(ξ、η)的关系式，即

式中，ζ0为参考点的高程异常;(ξ0、η0)为参考点的垂线偏差分量;二次项的系数是垂线偏差的变化率。由此可见，式(7)是一个典型的多次曲面函数，因此可以将主要的低阶项采用二次曲面函数进行拟合，即

正因为二次曲面函数具有高程异常和垂线偏差联系的物理意义，因此可以通过高程异常拟合垂线偏差。

三、利用二次曲面拟合垂线偏差的方法

假如区域内有n个已知高程异常值的点位S(x，y，ζ)，根据式(8)可以列出高程异常的误差方程

当n=3时，可以直接采用一次项，直接解算方程便会得到重心处的垂线偏差分量;当n=5时，可以采用二次项，直接解算出6个系数 a0、a1、a2、a3、a4、a5;当n＞5时，需要采用最小二乘原理进行平差，此时若记

则可得到多项式拟合的各系数

在得到 a0、a1、a2、a3、a4的基础上，区域内任意点的垂线偏差则是

四、拟合结果分析

采用东南部3个测区不同数量的高程异常值对垂线偏差进行了拟合，3个测区的范围分别为25 km×40 km、26 km ×25 km、25 km ×10 km，其高程异常值均采用GPS和三等电磁波测距高程导线测量所得。由于测区已知高程异常点数量较少，均为4个点，因此这3个测区仅能够拟合出重心处的垂线偏差分量，对拟合结果与CGCS2000模型的计算结果进行了比较，结果见表1。

表1 3个测区垂线偏差分量(ξ、η)拟合结果(″)

为了验证测区内任意位置垂线偏差的拟合情况，测区3中采用CGCS2000计算出两个点的高程异常作为已知点高程异常，这样便可以求出垂线偏差在两个方向的变化率。采用以上模型求出测区范围内1'×1'格网交叉点处共计78个点的垂线偏差，然后采用CGCS2000模型计算出这78个点的垂线偏差分量，将CGCS2000模型的计算结果作为已知值，对拟合的垂线偏差两个分量分别进行了精度统计，拟合精度m的计算公式为

式中，Δ为拟合值与CGCS2000计算值之差。结果见表2。

表2 测区3内垂线偏差分量拟合结果分布情况(″)

通过表1和表2的拟合结果可以看出，采用高程异常可以拟合出满足一定精度要求的垂线偏差分量。

五、垂线偏差拟合时的高程异常精度要求

由于高程点的精度通常采用每千米高差中数偶然中误差mΔh来衡量，忽略大地高的测量误差，因此高程点的高程异常精度mh可以根据路线长度s按照以下公式计算得出

为了简便起见，设Δx=Δy，并且忽略高阶项的影响，可以得到局部区域内高程异常与垂线偏差的精度关系，即

取两个分量的误差精度相同，即mξ=mη=m，可以概略地确定高程异常和垂线偏差的精度关系

将式(13)代入式(15)，并且取每千米高差中数偶然中误差mΔh=10 mm代入计算，则可得到m大约在2.1″左右。考虑到模型的误差，可以满足垂线偏差分量2.5″的精度要求，从另一个方面证明了该方法的可行性。

六、结束语

本文分析了扰动位局部平面展开式低阶项的物理意义，并根据其物理意义采用相应的二次曲面函数进行了垂线偏差分量的拟合试验。试验结果表明，该方法满足一定精度要求，可以作为特殊情况下垂线偏差获取的途径。另外，在测区范围的大小及已知点的分布情况对精度影响方面，还有待深入研究。

［1］陆仲连.地球重力场理论与方法［M］.北京:解放军出版社，1996.

［2］王新洲，陶本藻，邱卫宁，等.高等测量平差［M］.北京:测绘出版社，2006.

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