在问题解决过程中帮助学生积累数学思考的经验

李兰瑛

数学基本活动经验是小学生在参与数学基本活动时，经历探究、思考、抽象、猜想、推理、反思等过程，获得的由数学知识、技能、智慧、情感与观念等内容组成的有机组合性经验。其核心是关于如何思考的经验，其最终的目的在于帮助学生建立自己的数学现实和数学学习的直觉，学会运用数学的思维方式进行思考。

数学基本活动经验的积累，大致需要经过“经历、内化、概括、迁移”的过程。无论是生活中的经历还是学习活动中的经历，对于学生数学基本经验的积累都是有价值的。但仅仅经历是不够的，还需要学生在活动中充分地思考，将活动所得不断内化和概括，最终迁移到其他活动和学习中去。

现结合课堂教学的实践案例谈谈如何在问题解决过程中帮助学生积累数学思考的经验。

【教学背景】

《比赛场次》是北师大版第六册第76页的学习内容，属于“综合与实践”领域的知识。学生在三年级上学期已经学会了用连线、列表的方法解决生活中有关搭配和推理的问题，本节课在此基础上进一步学习用连线、列表、图解等策略解决比赛场次中的组合问题。

为了更好地了解学生的学习需求，笔者对全班47名学生进行了前测分析，结果如下：

1.你喜欢足球比赛吗？

全班47人中只有8人表示喜欢足球比赛。看来，由于场地限制、危险性大或者年龄等原因，三年级的学生对足球比赛的兴趣实在不强。

2.2件上衣和3条裤子要配成一套衣服有多少种不同的搭配方法？

这道题与生活实际非常贴近，并且在第五册《搭配中的学问》一课学习过，全班47人无一人出错，其中有34人选取了连线的方法来解决这个问题，可见连线法对学生来说是非常具体、直观且容易理解的。另外13人选择了用乘法算式来计算结果，这种方法也是教师在讲课过程中总结之后细致讲解过的，说明这些学生记住了教师讲解的方法，也说明他们的抽象能力比较强。

3.用1、4、7三张数字卡片可以组成几个不同的两位数？

全班47人有40人可以做到有序地思考，表示为14、17、41、47、71、74的多达35人，他们思维的有序性体现在从数位的顺序上来思考；表示为14、41、47、74、17、71的有5人，他们思维的有序性体现在从数的组成上入手，总的来说，学生具备有序思考的能力。

根据前测结果分析，笔者对教材进行了改编，创设了“请学生为果汁厂调配果汁”的情境，让学生从他们比较熟悉的生活经验入手，经历问题解决的全过程，培养他们问题解决的能力。

【案例分析】

一、暴露——原有经验（独立思考）

呈现问题：帮助果汁厂老板研制新产品，做一次新产品研究员。

从芒果、蓝莓、蜜桃、苹果这四种水果中，任意挑选两种调配成果汁，可以调配出几种不同口味的果汁？活动要求：（1）独立思考，自己尝试解决调配果汁的问题。（2）在纸上写一写、画一画，也可以用即时贴在纸上贴一贴。（3）看谁的方法既简单又清楚，让人一眼就能看明白。

样本1：

这位学生的方法很显然是单纯生活经验的呈现，他很清楚地理解了需要解决的问题，但过程稍显复杂，耗时较长。没有考虑到重复的问题，所以这样研究出的结果是错误的。

样本2：

这种方法虽然也是单纯生活经验的呈现，但这位学生的表述方式已经非常简练了，不过单从表述上来看，似乎看不出他的思考过程，因此，笔者对他进行了进一步的访谈：

师：能说说你是怎么想的吗？

生：我先拼挨着的两个，再拼两头的和中间的，最后拼隔着一个的。

相对来说，这位学生的思维也有一定的顺序性。但就这个问题而言，水果的种类比较少，这样思考没问题，学生自己也承认，如果拓展到更多的种类，再用这种方法就会混乱了。会思考更会反思，这是最难能可贵的，思维过程也能积淀出一种经验，这种经验就属于思考的经验。一个数学活动经验相对丰富并且善于反思的学生，他的数学直觉必然会随着经验的积累而增强。

样本3：

在独立研究阶段，这两种方法是最多见的，很显然，它们都是单纯生活经验的呈现，但这两位学生的思考已经很有顺序了，只是稍显复杂，耗时较长。

样本4：

这位学生想到了利用教师提供的即时贴，在四种颜色的即时贴上分别写上了四种水果名，思维也很有顺序，但并没有把即时贴的优势发挥到极致，其实即时贴的颜色已经完全可以代表不同种类的水果了，可这位学生还是在即时贴上分别写上了水果的名字。

样本5：

在被问及为什么会想到这种方法时，这位学生说：“其实之前我们学习过数线段的问题，这道题也是要把每两个点都连线，和数线段有些相似，我就用这种方法试了试，结果是正确的。”

积累数学基本活动经验要关注过程的教学，“经历过程”不仅要让学生经历知识产生和呈现的过程，更要让学生经历探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等，从而积累观察、操作、猜想、归纳、推广等思考的经验。

从学生独立研究这一问题的过程可以看出，大多数学生的方法来源于他们的生活经验，就像身边有许多水果，真的需要学生把两种水果搭配在一起一样，所以学生才会画出个瓶子，里面装着水果，好像他真的在调配果汁。尽管类似于这样的感知明显带有个体认识的成分，并且还存在原始、肤浅、片面、模糊的特征，但这类直接经验的获得，是构建个人理解不可或缺的重要素材。

生活经验固然重要，但更重要的是要善于积累、提炼，把生活经验提升为数学经验。因此，在这一过程中，有些学生进行了有序思考，这是很值得称赞的，而连线方法的出现更是令人惊喜。从获得的经验的类型来看，连线方法中获得的经验相对于前面几种更侧重于策略和方法，也更为理性。从这一点上可以看出，思考经验的获取是派生出思维模式和思维方法的重要渠道，对学生开展创新性活动具有十分重要的奠基作用。

二、碰撞——生成经验（合作探究）

独立学习后，教师不加以干预，而是安排学生进行同伴交流。学生首先表现出喜欢这种同伴间的互相学习，此时的学习氛围是轻松的、主动的，而且学生间的互助学习效果很明显。

小组合作中，学生再次经历了记录方法逐步抽象的过程，就这样，在大家的思考、操作中，有顺序地、全面地思考问题的意识正慢慢渗透进每个学生的思维中。同时，他们也感悟到了符号化思想的简洁性，从而获得了一些初步的数学实践活动经验。

独立研究之后，教师展示了学生不同的方法，但并未作出任何评价。学生可以借鉴他人的方法，两人一组再次思考这个问题。在交流和讨论的过程中，学生不断优化自己的方法，取长补短，使自己再次呈现的方法更加简练和清楚了。在这一过程中，引发学生再一次反思已有的知识和经验，同时进行经验的迁移，促进策略的生成。这使原有知识、经验水平不同的学生都得到了启示，实现了适合学生自己的经验积累和认知发展。

三、点拨——提升经验（教师引导）

这一环节，教师请学生讲解自己的方法并加以引导，同时，介绍两种新的方法——表格法和另一种连线法。

教师适当引导：“同学们的连线法真不错，如果改变水果的摆放位置，还可以用连线的方法来解决吗？”此时，在黑板上把四种水果摆放成正方形的样子，让学生想一想是否可以用连线的方法来解决。学生试着连一连，发现是没问题的，之后还总结：“这种连线法只要在每两种水果之间都连了线，就一定是不重不漏的，至于有几种不同的口味，数一数连了几条线就可以了。”

接下来，教师故作神秘地说：“我在另一个班讲这道题的时候，他们还研究出了一种和你们都不一样的方法，想不想看看？”好奇心使然，学生一定很想看看，其实，教师只是想把一种新方法介绍给大家。出示一个未完成的表格：

引导学生：（1）理解对勾的意思。（2）试着把表格填完。（3）如果全打对勾，就会有重复。（4）纠正错误。（5）完善正确的结果。（6）找到填写表格的方法。

教材呈现的这两种方法，学生在独立研究和小组合作研究中都没有出现，此时就需要教师发挥组织者、引导者、合作者的职责，让学生在继续研究新方法的过程中获得更加广泛的数学活动经验。由此可见，数学活动经验是在数学学习过程中逐步积累的，需要在“做”和“思考”的过程中积淀。

华东师范大学孔企平教授曾经说过：“问题解决的实质是学习者面对新的情境所进行的数学思维，通过解决一系列非常规的问题，使学生的数学思考能力得到增强，而不仅仅是获得新的技能。”本节课的教学，注重学生对“调配果汁”这一问题的研究过程，使学生经历了独立学习（充分暴露原有经验）—小组合作学习（碰撞生成经验）—教师引领学习（完善提升经验）这样的学习路径，学生在一次又一次的操作活动中获得了思考的经验，也积淀了丰富的活动经验。另外，从本节课的探索过程可以看出，问题解决的过程需要实践，需要学生亲身经历。通过数学活动，可以让学生“经历”知识的形成过程，建构数学模型，获取对数学本质的思考经验。

注：本文系北京市中小学名师发展工程成果

（作者单位：北京市海淀区中关村第二小学）

二、碰撞——生成经验（合作探究）

独立学习后，教师不加以干预，而是安排学生进行同伴交流。学生首先表现出喜欢这种同伴间的互相学习，此时的学习氛围是轻松的、主动的，而且学生间的互助学习效果很明显。

小组合作中，学生再次经历了记录方法逐步抽象的过程，就这样，在大家的思考、操作中，有顺序地、全面地思考问题的意识正慢慢渗透进每个学生的思维中。同时，他们也感悟到了符号化思想的简洁性，从而获得了一些初步的数学实践活动经验。

独立研究之后，教师展示了学生不同的方法，但并未作出任何评价。学生可以借鉴他人的方法，两人一组再次思考这个问题。在交流和讨论的过程中，学生不断优化自己的方法，取长补短，使自己再次呈现的方法更加简练和清楚了。在这一过程中，引发学生再一次反思已有的知识和经验，同时进行经验的迁移，促进策略的生成。这使原有知识、经验水平不同的学生都得到了启示，实现了适合学生自己的经验积累和认知发展。

三、点拨——提升经验（教师引导）

这一环节，教师请学生讲解自己的方法并加以引导，同时，介绍两种新的方法——表格法和另一种连线法。

教师适当引导：“同学们的连线法真不错，如果改变水果的摆放位置，还可以用连线的方法来解决吗？”此时，在黑板上把四种水果摆放成正方形的样子，让学生想一想是否可以用连线的方法来解决。学生试着连一连，发现是没问题的，之后还总结：“这种连线法只要在每两种水果之间都连了线，就一定是不重不漏的，至于有几种不同的口味，数一数连了几条线就可以了。”

接下来，教师故作神秘地说：“我在另一个班讲这道题的时候，他们还研究出了一种和你们都不一样的方法，想不想看看？”好奇心使然，学生一定很想看看，其实，教师只是想把一种新方法介绍给大家。出示一个未完成的表格：

引导学生：（1）理解对勾的意思。（2）试着把表格填完。（3）如果全打对勾，就会有重复。（4）纠正错误。（5）完善正确的结果。（6）找到填写表格的方法。

教材呈现的这两种方法，学生在独立研究和小组合作研究中都没有出现，此时就需要教师发挥组织者、引导者、合作者的职责，让学生在继续研究新方法的过程中获得更加广泛的数学活动经验。由此可见，数学活动经验是在数学学习过程中逐步积累的，需要在“做”和“思考”的过程中积淀。

华东师范大学孔企平教授曾经说过：“问题解决的实质是学习者面对新的情境所进行的数学思维，通过解决一系列非常规的问题，使学生的数学思考能力得到增强，而不仅仅是获得新的技能。”本节课的教学，注重学生对“调配果汁”这一问题的研究过程，使学生经历了独立学习（充分暴露原有经验）—小组合作学习（碰撞生成经验）—教师引领学习（完善提升经验）这样的学习路径，学生在一次又一次的操作活动中获得了思考的经验，也积淀了丰富的活动经验。另外，从本节课的探索过程可以看出，问题解决的过程需要实践，需要学生亲身经历。通过数学活动，可以让学生“经历”知识的形成过程，建构数学模型，获取对数学本质的思考经验。

注：本文系北京市中小学名师发展工程成果

（作者单位：北京市海淀区中关村第二小学）

二、碰撞——生成经验（合作探究）

独立学习后，教师不加以干预，而是安排学生进行同伴交流。学生首先表现出喜欢这种同伴间的互相学习，此时的学习氛围是轻松的、主动的，而且学生间的互助学习效果很明显。

小组合作中，学生再次经历了记录方法逐步抽象的过程，就这样，在大家的思考、操作中，有顺序地、全面地思考问题的意识正慢慢渗透进每个学生的思维中。同时，他们也感悟到了符号化思想的简洁性，从而获得了一些初步的数学实践活动经验。

独立研究之后，教师展示了学生不同的方法，但并未作出任何评价。学生可以借鉴他人的方法，两人一组再次思考这个问题。在交流和讨论的过程中，学生不断优化自己的方法，取长补短，使自己再次呈现的方法更加简练和清楚了。在这一过程中，引发学生再一次反思已有的知识和经验，同时进行经验的迁移，促进策略的生成。这使原有知识、经验水平不同的学生都得到了启示，实现了适合学生自己的经验积累和认知发展。

三、点拨——提升经验（教师引导）

这一环节，教师请学生讲解自己的方法并加以引导，同时，介绍两种新的方法——表格法和另一种连线法。

教师适当引导：“同学们的连线法真不错，如果改变水果的摆放位置，还可以用连线的方法来解决吗？”此时，在黑板上把四种水果摆放成正方形的样子，让学生想一想是否可以用连线的方法来解决。学生试着连一连，发现是没问题的，之后还总结：“这种连线法只要在每两种水果之间都连了线，就一定是不重不漏的，至于有几种不同的口味，数一数连了几条线就可以了。”

接下来，教师故作神秘地说：“我在另一个班讲这道题的时候，他们还研究出了一种和你们都不一样的方法，想不想看看？”好奇心使然，学生一定很想看看，其实，教师只是想把一种新方法介绍给大家。出示一个未完成的表格：

引导学生：（1）理解对勾的意思。（2）试着把表格填完。（3）如果全打对勾，就会有重复。（4）纠正错误。（5）完善正确的结果。（6）找到填写表格的方法。

教材呈现的这两种方法，学生在独立研究和小组合作研究中都没有出现，此时就需要教师发挥组织者、引导者、合作者的职责，让学生在继续研究新方法的过程中获得更加广泛的数学活动经验。由此可见，数学活动经验是在数学学习过程中逐步积累的，需要在“做”和“思考”的过程中积淀。

华东师范大学孔企平教授曾经说过：“问题解决的实质是学习者面对新的情境所进行的数学思维，通过解决一系列非常规的问题，使学生的数学思考能力得到增强，而不仅仅是获得新的技能。”本节课的教学，注重学生对“调配果汁”这一问题的研究过程，使学生经历了独立学习（充分暴露原有经验）—小组合作学习（碰撞生成经验）—教师引领学习（完善提升经验）这样的学习路径，学生在一次又一次的操作活动中获得了思考的经验，也积淀了丰富的活动经验。另外，从本节课的探索过程可以看出，问题解决的过程需要实践，需要学生亲身经历。通过数学活动，可以让学生“经历”知识的形成过程，建构数学模型，获取对数学本质的思考经验。

注：本文系北京市中小学名师发展工程成果

（作者单位：北京市海淀区中关村第二小学）