三次样条法估计利率期限结构的加权方式比较研究

许宁+高涓

摘要：利率期限结构的静态估计是验证动态模型以及进行动态变化分析的基础。本文介绍了三次样条法的基本模型结构，指出了传统三次样条法使用久期倒数作为估计误差权重的逻辑错误，并据此提出了“准久期”加权以及成交量排名加权的概念；通过对比多个样本时间点的估计结果，发现成交量排名加权方法无论在样本内的模型估计还是样本外模型预测方面均优于久期以及准久期倒数加权方法。

关键词：三次样条法；久期加权；成交量加权；期限结构

中图分类号：F830 文献标识码：A

一、文献综述

所谓利率期限结构是指某一时刻无风险利率和其对应的到期期限构成的关系。期限结构的静态估计是验证动态模型以及进行动态分析的基础。通过对期限结构变化的分析，还可以对经济活动进行预测，因此期限结构估计的精度和效率成为金融领域研究的一个重要部分。通常，我们用不同期限的贴现国债收益率来衡量利率期限结构。但是，绝大多数经济体发行的中长期债券均为付息债券，因此我们不能通过收益率曲线（Yield Curve）来表述利率期限结构。自20世纪70年代以来，学者们在估计期限结构领域取得了丰硕的成果，建立了各种估计期限结构的理论和方法。这些方法主要分为两大类：一类是直接从付息债券价格和现金流的信息中计算出期限结构的息票剥离法；另一类方法的基本思路是首先预设期限结构的函数表达式，然后利用当前的债券价格估计表达式的参数。

所谓息票剥离法，就是将息票从债券中进行剥离并在此基础上估计无息票债券利率水平的一种方法。Fama & Bliss（1987）将息票从债券中进行剥离并在此基础上估计了无息票债券利率水平，其核心思想就是利用当前债券价格信息，通过从短期到长期利率的迭代运算来计算利率期限结构。杨宝臣和李彪（2004）用主干点附近平均收益率数据来代替原始主干点收益率，并利用三次样条插值估计期限结构，形成了广义的息票剥离法。尽管该方法能解决传统息票剥离法的一些缺点，但是其待估计的参数个数太多，估计的效率很低，而且它建立在临近（0.1年）时间点的利率相同的基础上，没有很好地实现估计精度和估计效率的平衡。

NSS模型最早由Nelson Siegel提出。为了弥补NS模型不能推导出形状更为复杂的利率曲线、提高曲线对短期和中期利率的拟合程度的缺陷，Svensson（1994）通过引入一个新的参数（β3），提出了一个对NS模型的扩展形式，即假定0时刻在θ时间的瞬时远期利率方程为：

f（0，θ）=β0+β1·exp（-[SX（]θ[]τ1[SX）]）+β2·（-[SX（]θ[]τ1[SX）]）·exp（-[SX（]θ[]τ1[SX）]）+β3·（-[SX（]θ[]τ2[SX）]）·exp（-[SX（]θ[]τ2[SX）]）

由远期利率和利率期限的关系式R（0，θ）=[SX（]1[]θ[SX）]∫0θf（0·s）ds，利用付息债券价格信息，即可以得到期限结构方程。该模型的最大优点是参数较少，同时参数的经济含义明确，因此在理论研究领域有较为广泛的运用。

朱世武和陈健恒（2003）选取2003年3月28日上交所15只付息债券为样本，对NSS和三次样条法模型进行了估计和对比，结果显示NSS模型估计的利率期限形成的曲度较小，拟合优度低于三次样条法，尤其是在远端。但是，根据朱世武和陈健恒（2003）当时估计的结果，期限结构的长期部分是向上的，他们认为：“多项式样条法拟合的曲线在远端是呈幂级数上升的，如果将到期期限延长的话，即期利率在远端是十分大的，这种上升的趋势导致远期利率在远端以更快的速度上升，而这是不符合期限结构理论的”，并由此得出结论，NSS模型比多项式样条法更符合上交所的实际情况，适合作为相应的期限结构估计方法。但是我们看到，朱世武和陈健恒（2003）的估计选用的样本债券到期期限较短，最长的不到20年，因此其远端利率估计和预测的误差会很大。而且，他们仅仅选用一天的交易信息和估计结果来评判两种模型的优劣，这存在较大的偶然性。如果基于另外一天数据的估计结果显示，远端利率曲线向下，则朱世武和陈健恒（2003）批驳多项式样条法的上述论据就不复存在。因此，我们有必要对多项式样条法进行更加深入的分析。

二、多项式样条估计利率期限结构的模型

对于任何固定票面利率债券或者贴现债券，其理论价格都可以表示为未来现金流（Cash Flaw CF）的现值之和。即：

公式（1）中，CF（ti）表示债券在ti时刻的现金流，D（ti）为ti到现在时刻的贴现因子。通过估计假设的贴现函数D（t），并利用R（t）=-ln（D（t））/t，即可计算出期限结构的表达式。

多项式样条法假设贴现因子D（ti）为一个分段多项式函数，根据期限结构理论，该函数应该是连续的。同时，为保证期限结构函数R（0，t）和远期瞬时利率函数f（0，t）连续，需要贴现函数一阶和二阶导数连续。由于三次样函数即可满足以上要求，且可以拟合几乎任何形态的期限结构，而阶数大于3不仅将增加模型参数个数，且验证其高阶导数连续性存在困难，故在使用多项式样条法估计静态期限结构时，我们通常选定三次多项式形式。

设定T1，T2…TJ为给定的节点，且满足0

如此一来，我们可以将待估计参数减少到为J+3个，其中bi为第i个节点的系数。如果样本个数为L，则模型自由度为L-（J+3）。如果期限节点数量J选择过大，会造成模型自由度较低；如果J选择过小，则对于期限结构的拟合优度偏低。为此，McCulloch（1977）提出了选择节点的“大拇指法则”：节点个数J等于样本数平方根的正数部分，同时尽可能保证每个期限区间内的样本数量相同。而Fan & Yao（2003）则提出通过节点逐点剔除方法来确定个数。由于银行间市场样本数量仅有10多个，节点太多将导致自由度太低，不适合采用节点逐点剔除法，本文采用“大拇指法则”选择确定节点的个数和位置。

对于付息债券，到期期限不同其对利率水平变化的敏感度相差较大，这就造成到期期限较长的债券其定价误差较大。为解决这一问题，传统的三次样条估计使用久期的倒数作为估计方程的误差权重，即目标函数为：

上式中，tm、Lm分别表示第i只债券现金流支付的时间和现金流支付的次数。尽管QDur和久期Dur数值相差较小，但是其在估计利率期限结构中更具有意义。

另外，在银行间市场，不同债券的成交量相差较大，从微观经济学的角度考虑，一只成交量大的债券，说明买卖双方对于其价格的认同度更高，因此可以认为拥有较大成交量的债券，其定价的误差更小。所以，为更好地拟合真实的期限结构，在估计模型时，利用成交量进行加权是必要的。由于各债券成交量相差甚大（2009年11月16日，不同债券成交量相差最多达到165倍），本文将尝试用归一化的成交量对数值（Ln（Volume））以及成交量排名（VolumeS）作为权重，第i只债券的VolumeS定义为该债券成交量在样本中从小到大排名顺序（成交量相同，排名名次相同）与所有排名顺序之和的商。

综上所述，三次样条法估计期限结构就是估计下面的模型：

（一）样本选择

我国债券交易存在两个相互分割的银行间债券市场和证券交易所债券市场，尽管从2011年二季度开始，银行可以通过租用交易所会员交易单位参与债券交易，但是银行间市场的成交量明显大于交易所市场的成交量，故本文选择银行间债券市场的数据作为样本。

本文首先将通过单一交易日数据，对三次样条估计模型做初步认识和了解，然后再利用多个样本数据对不同加权方法的模型进行对比分析。

（二）不同加权方法静态估计能力的比较

本文选择我国经济增速上升时期中的2009年11月16日银行间债券市场作为静态估计的样本。样本债券基本信息见表1。

从表1可以看出，样本债券数量L为11，债券最长剩余期限为28.95年。根据“大拇指规则”，将节点个数设定为3，将期限区间分为三段，分段点T1=3， T2=8，T3=15。待估计参数个数为6。传统久期倒数加权和成交量排名加权的估计结果如图1和表2所示。

从图1可以直观地看出，各加权方法估计的期限结构曲线相差不大，尤其久期和准久期加权方法几乎没有差别。下面从量化估计结果进一步分析各模型的差别。

从表2可以看，各模型估计的R2均接近1，说明整体拟合效果很好。DurW加权和QDurW加权的回归残差平方和SSE显著地大于成交量排名加权（VolSW）和成交量对数加权（LnVolW）。各模型的回归系数接近，系数的P值也相差不大，只有VolSW方法的系数P值总体上略小。另外，各模型中远端回归系数（b2，b3）的P 值均低于10%，说明对于8年以后的期限，利率估值更可靠。由于Dur加权与QDur加权、VolSW与LnVol加权估计结果几乎完全相同，本文以下部分仅就QDurW和VolSW模型进行对比。

单一样本估计结果的优劣可能存在一定的偶然性，下面将采用较多的样本时间点来对比估计模型的优劣。本文选择2011-2013年每个月15日前后的银行间市场数据作为样本（如果15日为非交易日，则优先依次选择14日、16日数据）。之所以选择15日前后数据，主要出于两方面的考虑：第一，15日前后，我国主要经济数据已经公布，债券价格对经济数据已经做出了充分的反映，这为今后研究宏观金融模型做好铺垫；第二，15日避免了月末、或者季度末利率季节性上升的影响。由于这36个样本时间内的样本债券剩余期限分布相差较大，为便于进行程序化的运算，本文将节点数均定为3，同时将节点时间确定为该日样本内债券剩余期限的中位数以及中位数加减3。36个样本模型估计效果参数的中位数如表3所示。

从多个样本时间点的估计效果看，成交量加权（VolSW）方法无论是拟合优度还是残差平方和均优于准久期倒数加权（QDurW）。

（三）不同模型样本外预测能力比较

尽管VolSW加权在静态估计方面优于QDurW加权，但是我们还需要认识到，目标函数SSE的最小化不一定能保证利率期限结构估计的经济合理性。一个数学上优良的估计模型不一定具有良好的经济性能，它完全可能将某只债券独特的价格变化信息包含在模型中， 从而导致估计中的数据过拟（Over-fitting）现象。一个优良的利率期限结构估计模型更为重要的是能够反映当前国债的交易价格，而又不反映国债交易中的非利率因素对国债定价的影响。评价一个模型优劣，还需要评估其样本外预测的能力，一个重要的检验方法就是考察模型估计获得的利率期限结构能否准确反映未参与期限结构估计的国债的定价。

由于样本债券数量仅有10多只，本文采用一只债券作为样本外数据，并且每次进行利率期限结构估计时先将某只国债剔除， 然后用估计获得的利率期限结构对剔除债券进行定价。在某一天的利率期限结构估计中， 对当天样本中的债券依次进行剔除， 获得每天所有国债的样本外定价绝对误差。同样，为排除某一交易日模型估计优劣的偶然性，本文选用2013年下半年每个月月中某一日交易数据作为样本时间（分别为7月15日，8月15日，9月16日，10月15日，11月15日，12月16日）。每个样本时间点内的样本外估计误差统计量见表4。

从表4可以发现，在6个不同样本点共计143次预测结果中，成交量排名加权（VolSW）方法的预测效果要优于准久期加权（QDurW）方法。

（四）样本债券期限分布对于模型估计的影响

无论是何种方法，当样本内数据不包括最大剩余期限债券时，对其进行的预测都会产生较大的预测误差，尤其是当日债券剩余期限分布极不均匀时，会产生巨大的误差。这是因为，根据样本内数据进行模型的估计，所得到的参数在拟合样本内最长剩余期限内的期限结构表现较好，而更长期限的利率，由于没有样本数据，因此无法保证估计结果的精确性，所以会造成巨大的预测误差。例如，2013年12月16日的样本点数据， 23只样本债券的剩余期限分布情况如图2所示。当剩余期限为30年的债券130025.IB′作为样本外数据时，模型估计出的期限结构曲线如图3所示。显然，10年之后的期限结构明显与事实不符，造成如此结果的原因正是由于债券样本数据较少，且剩余期限分布不均。由于交易所市场和银行间市场交易的国债品种相同，因此即使综合这两个市场的交易数据，仍不能解决这个问题。

鉴于此，在目前国内债券交易品种有限，且期限分布不均匀的背景下，在利用三次样条法进行期限结构静态估计及动态变化分析时，预测利率的期限一定要在样本内债券的最长剩余期限之内，否则会产生较大的偏误。

四、结论

利用多项式样条法估计利率期限结构，因其采用最小二乘法，能够实现估计效率和精度的平衡。通过对比2011-2013年抽取的36个样本时间点的估计效果，本文建立的成交量排名加权方法在拟合优度以及残差平方和指标方面均优于久期和准久期加权。在模型样本外预测能力方面，2013年下半年的6个样本时间点共计143次样本外预测结果同样证实成交排名加权优于久期类加权方法。值得注意的是：由于我国债券市场品种不够丰富，在进行三次样条估计时，节点数量和位置的选择对于模型估计精度有较大的影响，因而基于我国债券市场现状的节点设定方法还有待进一步研究。

参考文献：

[1] Bolder D， Stréliski D. Yield Curve Modeling At the Bank of Canada[J].Available at SSRN 1082845， 1999.

[2] Diebold F X， Li C. Forecasting the Term Structure of Government Bond yields[J].Journal of econometrics， 2006， 130（2）： 337-364.

[3] Estrella A， Hardouvelis G A. The Term Structure as a Predictor of Real Economic Activity[J].The Journal of Finance， 1991， 46（2）： 555-576.

[4] Fan J，Yao Q， Nonlinear Times Series： Nonparametric and Parametric Method[M].New York Springer-Verlag 2003.

[5] McCulloch J H. Measuring the Term structure of Interest Rates[J].Journal of Business， 1971，44（1）：19.

[6] Steeley J M. Estimating the Gilt-edged Term Structure： Basis Splines and Confidence intervals[J].Journal of Business Finance & Accounting， 1991，18（4）：513-529.

[7] Vasicek O A， Fong H G. Term Structure Modeling Using Exponential Splines[J].The Journal of Finance， 1982，37（2）： 339-348.

[8] 李熠熠， 潘婉彬， 缪柏其. 基于三次样条的利率期限结构估计中的节点选择 [J]. 系统工程理论与实践，2009（4）.

[9] 仝晓燕， 程希骏.基于B样条对国债利率期限结构的实证研究 [J].系统工程， 2007（3）.

[10]杨宝臣，李彪.基于广义息票剥离法的国债收益率曲线的估计[J].中国管理科学，2004，12（6）：1-5.

[11]朱世武，陈健恒.交易所国债利率期限结构实证研究 [J].金融研究，2003（10）：63-73.

A Comparative Study on Different Weight Methods while Estimating

Interest Rate Term Structure Using Polynomial Spline Model

XU Ning1， GAO Juan2

（1.School of Economics， Liaoning University， Shenyang 110036， China；

2. Dongwu Business School， Soochow University， Suzhou 205006， China）

Abstract：Static analysis of interest rate term structure is the basis for verifying the dynamic model and dynamic analysis. In this article， we introduce the basic polynomial spline model， finding that there are some logic mistakes in traditional model error weight method. Therefore，we propose a concept of quasi duration and volume sort weight method. Based on estimation results of multi samples， we consider that the volume sort weight is better than duration weight in the aspect of model estimation and out sample prediction.

Key words：polynomial spline model； duration weight； volume weight； term structure

（责任编辑：张曦）

鉴于此，在目前国内债券交易品种有限，且期限分布不均匀的背景下，在利用三次样条法进行期限结构静态估计及动态变化分析时，预测利率的期限一定要在样本内债券的最长剩余期限之内，否则会产生较大的偏误。

四、结论

利用多项式样条法估计利率期限结构，因其采用最小二乘法，能够实现估计效率和精度的平衡。通过对比2011-2013年抽取的36个样本时间点的估计效果，本文建立的成交量排名加权方法在拟合优度以及残差平方和指标方面均优于久期和准久期加权。在模型样本外预测能力方面，2013年下半年的6个样本时间点共计143次样本外预测结果同样证实成交排名加权优于久期类加权方法。值得注意的是：由于我国债券市场品种不够丰富，在进行三次样条估计时，节点数量和位置的选择对于模型估计精度有较大的影响，因而基于我国债券市场现状的节点设定方法还有待进一步研究。

参考文献：

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[10]杨宝臣，李彪.基于广义息票剥离法的国债收益率曲线的估计[J].中国管理科学，2004，12（6）：1-5.

[11]朱世武，陈健恒.交易所国债利率期限结构实证研究 [J].金融研究，2003（10）：63-73.

A Comparative Study on Different Weight Methods while Estimating

Interest Rate Term Structure Using Polynomial Spline Model

XU Ning1， GAO Juan2

（1.School of Economics， Liaoning University， Shenyang 110036， China；

2. Dongwu Business School， Soochow University， Suzhou 205006， China）

Abstract：Static analysis of interest rate term structure is the basis for verifying the dynamic model and dynamic analysis. In this article， we introduce the basic polynomial spline model， finding that there are some logic mistakes in traditional model error weight method. Therefore，we propose a concept of quasi duration and volume sort weight method. Based on estimation results of multi samples， we consider that the volume sort weight is better than duration weight in the aspect of model estimation and out sample prediction.

Key words：polynomial spline model； duration weight； volume weight； term structure

（责任编辑：张曦）

鉴于此，在目前国内债券交易品种有限，且期限分布不均匀的背景下，在利用三次样条法进行期限结构静态估计及动态变化分析时，预测利率的期限一定要在样本内债券的最长剩余期限之内，否则会产生较大的偏误。

四、结论

利用多项式样条法估计利率期限结构，因其采用最小二乘法，能够实现估计效率和精度的平衡。通过对比2011-2013年抽取的36个样本时间点的估计效果，本文建立的成交量排名加权方法在拟合优度以及残差平方和指标方面均优于久期和准久期加权。在模型样本外预测能力方面，2013年下半年的6个样本时间点共计143次样本外预测结果同样证实成交排名加权优于久期类加权方法。值得注意的是：由于我国债券市场品种不够丰富，在进行三次样条估计时，节点数量和位置的选择对于模型估计精度有较大的影响，因而基于我国债券市场现状的节点设定方法还有待进一步研究。

参考文献：

[1] Bolder D， Stréliski D. Yield Curve Modeling At the Bank of Canada[J].Available at SSRN 1082845， 1999.

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[4] Fan J，Yao Q， Nonlinear Times Series： Nonparametric and Parametric Method[M].New York Springer-Verlag 2003.

[5] McCulloch J H. Measuring the Term structure of Interest Rates[J].Journal of Business， 1971，44（1）：19.

[6] Steeley J M. Estimating the Gilt-edged Term Structure： Basis Splines and Confidence intervals[J].Journal of Business Finance & Accounting， 1991，18（4）：513-529.

[7] Vasicek O A， Fong H G. Term Structure Modeling Using Exponential Splines[J].The Journal of Finance， 1982，37（2）： 339-348.

[8] 李熠熠， 潘婉彬， 缪柏其. 基于三次样条的利率期限结构估计中的节点选择 [J]. 系统工程理论与实践，2009（4）.

[9] 仝晓燕， 程希骏.基于B样条对国债利率期限结构的实证研究 [J].系统工程， 2007（3）.

[10]杨宝臣，李彪.基于广义息票剥离法的国债收益率曲线的估计[J].中国管理科学，2004，12（6）：1-5.

[11]朱世武，陈健恒.交易所国债利率期限结构实证研究 [J].金融研究，2003（10）：63-73.

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（1.School of Economics， Liaoning University， Shenyang 110036， China；

2. Dongwu Business School， Soochow University， Suzhou 205006， China）

Abstract：Static analysis of interest rate term structure is the basis for verifying the dynamic model and dynamic analysis. In this article， we introduce the basic polynomial spline model， finding that there are some logic mistakes in traditional model error weight method. Therefore，we propose a concept of quasi duration and volume sort weight method. Based on estimation results of multi samples， we consider that the volume sort weight is better than duration weight in the aspect of model estimation and out sample prediction.

Key words：polynomial spline model； duration weight； volume weight； term structure

（责任编辑：张曦）