用动能定理解决质点系问题的两个注意点

侍明雨

动能定理既适用于可视为质点的物体，也适用于由质点构成的质点系；用动能定理解决质点系问题与解决质点问题有什么不同呢？

一、F合=0，W合不一定为零

例1一辆总质量为M的列车，在平直轨道上以V匀速行驶，突然后一节质量为m的车厢脱钩，假设列车受到的阻力与车重成正比，牵引力不变，则当后一节车厢刚好静止的瞬间，前面列车的速率为多大？

解析以脱钩后前面列车和后面车厢为系统，设系统在水平方向所受的牵引力F，后面车厢受到的摩擦力为f1，前面列车受到的摩擦力为f2，由于脱钩前列车做匀速行驶，所以有F=f1+f2.

脱钩后车厢做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得其加速度大小为a=f1m，则车厢停止运动所需的时间为t=Δva=mVf1，运动的位移为x1=mV22f1.

脱钩后前面的列车做匀加速直线运动，设车厢停止时，前面列车的速度为V′，则前面列车从脱钩到车厢停止所通过的位移为x2=V+V′2t=mV（V+V′）2f1.

对系统应用动能定理有：

12（M-m）V′2-12MV2=W合=（F-f2）x2-f1x1=f1（x2-x1），解得V′=MVM-m.

点评对质点而言，若质点受到的合力为零，则合力做功一定为零；而对于质点系而言，即使系统受到的合力为零，合力做功也不一定为零，因为质点系内各质点所受外力的作用点的位移不一定相同，故力对各质点做功的代数和也不一定为零.

二、系统动能的增量（ΔEK）不一定等于合外力做的功（W合）

例2如图1所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端.现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为Ff ，当物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s.则在这个过程中，以下说法中正确的是（ ）.

A.物块到达小车最右端时具有的动能为F（l+s）

B.物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ffs

C.物块克服摩擦力所做的功为Ff（l+s）

D.物块和小车增加的动能之和为F（l+s）

解析物块从静止滑到小车最右端的过程如图2所示，物块克服摩擦力所做的功为Ff（l+s），所以C选项正确；对物块应用动能定理有（F-Ff）（l+s）=EK1，故A答案错误，对小车应用动能定理有：Ffs=EK2，所以B选项正确；对物块和小车组成的系统应用动能定理有：EK1+EK2=（F-Ff）（l+s）+Ffs=F（l+s）-Ffl，所以D选项错误；正确答案选BC.

例3某缓冲装置的理想模型如图3所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f，轻杆向右移动不超过l时，装置可安全工作. 一质量为m的小车若以速度v0撞击弹簧，将导致轻杆向右移动l4，轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦，求：（1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x；（2）求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度 .

解析（1）当弹簧的弹力增加到杆与槽间的最大静摩擦力f相等时，轻杆开始移动，即Kx=f， x=fk；

（2）设轻杆移动前小车克服弹力做的功为W，则小车从撞击弹簧到轻杆停止的过程中，以小车、弹簧和轻杆为系统，由动能定理：小车以v0撞击弹簧时，-f·l4-W=0-12mv20.小车以vm撞击弹簧时，-fl-W=0-12mv2m，由上面两式解得vm=v20+3fl2m.

点评对于单个质点，质点的动能增量一定等于合外力所做的功.而对于质点系，若系统内的相互作用是杆、绳间的作用力，或是静摩擦力，或是刚性物体之间相互挤压而产生的力时，作用力与反作用力做的总功等于零，系统的动能增量等于合外力所做的功.若系统内相互作用力是弹簧、橡皮筋的作用力，或是滑动摩擦力时，当作用力与反作用力的作用点的位移相同时，作用力与反作用力的总功等于零，系统的动能增量等于合外力所做的功；当作用力与反作用力的作用点的位移不同时，作用力与反作用力的总功不等于零，系统的动能增量应等于合外力所做的总功与内力所做的总功的代数和.endprint

动能定理既适用于可视为质点的物体，也适用于由质点构成的质点系；用动能定理解决质点系问题与解决质点问题有什么不同呢？

一、F合=0，W合不一定为零

例1一辆总质量为M的列车，在平直轨道上以V匀速行驶，突然后一节质量为m的车厢脱钩，假设列车受到的阻力与车重成正比，牵引力不变，则当后一节车厢刚好静止的瞬间，前面列车的速率为多大？

解析以脱钩后前面列车和后面车厢为系统，设系统在水平方向所受的牵引力F，后面车厢受到的摩擦力为f1，前面列车受到的摩擦力为f2，由于脱钩前列车做匀速行驶，所以有F=f1+f2.

脱钩后车厢做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得其加速度大小为a=f1m，则车厢停止运动所需的时间为t=Δva=mVf1，运动的位移为x1=mV22f1.

脱钩后前面的列车做匀加速直线运动，设车厢停止时，前面列车的速度为V′，则前面列车从脱钩到车厢停止所通过的位移为x2=V+V′2t=mV（V+V′）2f1.

对系统应用动能定理有：

12（M-m）V′2-12MV2=W合=（F-f2）x2-f1x1=f1（x2-x1），解得V′=MVM-m.

点评对质点而言，若质点受到的合力为零，则合力做功一定为零；而对于质点系而言，即使系统受到的合力为零，合力做功也不一定为零，因为质点系内各质点所受外力的作用点的位移不一定相同，故力对各质点做功的代数和也不一定为零.

二、系统动能的增量（ΔEK）不一定等于合外力做的功（W合）

例2如图1所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端.现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为Ff ，当物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s.则在这个过程中，以下说法中正确的是（ ）.

A.物块到达小车最右端时具有的动能为F（l+s）

B.物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ffs

C.物块克服摩擦力所做的功为Ff（l+s）

D.物块和小车增加的动能之和为F（l+s）

解析物块从静止滑到小车最右端的过程如图2所示，物块克服摩擦力所做的功为Ff（l+s），所以C选项正确；对物块应用动能定理有（F-Ff）（l+s）=EK1，故A答案错误，对小车应用动能定理有：Ffs=EK2，所以B选项正确；对物块和小车组成的系统应用动能定理有：EK1+EK2=（F-Ff）（l+s）+Ffs=F（l+s）-Ffl，所以D选项错误；正确答案选BC.

例3某缓冲装置的理想模型如图3所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f，轻杆向右移动不超过l时，装置可安全工作. 一质量为m的小车若以速度v0撞击弹簧，将导致轻杆向右移动l4，轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦，求：（1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x；（2）求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度 .

解析（1）当弹簧的弹力增加到杆与槽间的最大静摩擦力f相等时，轻杆开始移动，即Kx=f， x=fk；

（2）设轻杆移动前小车克服弹力做的功为W，则小车从撞击弹簧到轻杆停止的过程中，以小车、弹簧和轻杆为系统，由动能定理：小车以v0撞击弹簧时，-f·l4-W=0-12mv20.小车以vm撞击弹簧时，-fl-W=0-12mv2m，由上面两式解得vm=v20+3fl2m.

点评对于单个质点，质点的动能增量一定等于合外力所做的功.而对于质点系，若系统内的相互作用是杆、绳间的作用力，或是静摩擦力，或是刚性物体之间相互挤压而产生的力时，作用力与反作用力做的总功等于零，系统的动能增量等于合外力所做的功.若系统内相互作用力是弹簧、橡皮筋的作用力，或是滑动摩擦力时，当作用力与反作用力的作用点的位移相同时，作用力与反作用力的总功等于零，系统的动能增量等于合外力所做的功；当作用力与反作用力的作用点的位移不同时，作用力与反作用力的总功不等于零，系统的动能增量应等于合外力所做的总功与内力所做的总功的代数和.endprint

动能定理既适用于可视为质点的物体，也适用于由质点构成的质点系；用动能定理解决质点系问题与解决质点问题有什么不同呢？

一、F合=0，W合不一定为零

例1一辆总质量为M的列车，在平直轨道上以V匀速行驶，突然后一节质量为m的车厢脱钩，假设列车受到的阻力与车重成正比，牵引力不变，则当后一节车厢刚好静止的瞬间，前面列车的速率为多大？

解析以脱钩后前面列车和后面车厢为系统，设系统在水平方向所受的牵引力F，后面车厢受到的摩擦力为f1，前面列车受到的摩擦力为f2，由于脱钩前列车做匀速行驶，所以有F=f1+f2.

脱钩后车厢做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得其加速度大小为a=f1m，则车厢停止运动所需的时间为t=Δva=mVf1，运动的位移为x1=mV22f1.

脱钩后前面的列车做匀加速直线运动，设车厢停止时，前面列车的速度为V′，则前面列车从脱钩到车厢停止所通过的位移为x2=V+V′2t=mV（V+V′）2f1.

对系统应用动能定理有：

12（M-m）V′2-12MV2=W合=（F-f2）x2-f1x1=f1（x2-x1），解得V′=MVM-m.

点评对质点而言，若质点受到的合力为零，则合力做功一定为零；而对于质点系而言，即使系统受到的合力为零，合力做功也不一定为零，因为质点系内各质点所受外力的作用点的位移不一定相同，故力对各质点做功的代数和也不一定为零.

二、系统动能的增量（ΔEK）不一定等于合外力做的功（W合）

例2如图1所示，质量为M、长度为l的小车静止在光滑的水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端.现用一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为Ff ，当物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为s.则在这个过程中，以下说法中正确的是（ ）.

A.物块到达小车最右端时具有的动能为F（l+s）

B.物块到达小车最右端时，小车具有的动能为Ffs

C.物块克服摩擦力所做的功为Ff（l+s）

D.物块和小车增加的动能之和为F（l+s）

解析物块从静止滑到小车最右端的过程如图2所示，物块克服摩擦力所做的功为Ff（l+s），所以C选项正确；对物块应用动能定理有（F-Ff）（l+s）=EK1，故A答案错误，对小车应用动能定理有：Ffs=EK2，所以B选项正确；对物块和小车组成的系统应用动能定理有：EK1+EK2=（F-Ff）（l+s）+Ffs=F（l+s）-Ffl，所以D选项错误；正确答案选BC.

例3某缓冲装置的理想模型如图3所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f，轻杆向右移动不超过l时，装置可安全工作. 一质量为m的小车若以速度v0撞击弹簧，将导致轻杆向右移动l4，轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦，求：（1）若弹簧的劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x；（2）求为使装置安全工作，允许该小车撞击的最大速度 .

解析（1）当弹簧的弹力增加到杆与槽间的最大静摩擦力f相等时，轻杆开始移动，即Kx=f， x=fk；

（2）设轻杆移动前小车克服弹力做的功为W，则小车从撞击弹簧到轻杆停止的过程中，以小车、弹簧和轻杆为系统，由动能定理：小车以v0撞击弹簧时，-f·l4-W=0-12mv20.小车以vm撞击弹簧时，-fl-W=0-12mv2m，由上面两式解得vm=v20+3fl2m.

点评对于单个质点，质点的动能增量一定等于合外力所做的功.而对于质点系，若系统内的相互作用是杆、绳间的作用力，或是静摩擦力，或是刚性物体之间相互挤压而产生的力时，作用力与反作用力做的总功等于零，系统的动能增量等于合外力所做的功.若系统内相互作用力是弹簧、橡皮筋的作用力，或是滑动摩擦力时，当作用力与反作用力的作用点的位移相同时，作用力与反作用力的总功等于零，系统的动能增量等于合外力所做的功；当作用力与反作用力的作用点的位移不同时，作用力与反作用力的总功不等于零，系统的动能增量应等于合外力所做的总功与内力所做的总功的代数和.endprint