数学模型中的0、1变量的使用的案例

2014-11-26 17:47惠高峰
中小企业管理与科技·下旬刊 2014年11期
关键词:业务员约束条件业余

惠高峰

摘要:本文通过优化问题的求解,讲述了线性规划的数学模型中0、1变量的使用方法和技巧,并利用LINGO软件进行了编程测试,提高数学模型中变量的使用方法。

关键词:Lingo软件 0、1变量

数学优化问题在管理数学当中是一个并不复杂的问题,但是对于变量的使用,尤其是0、1变量的使用,学生们会产生很大迷惑,以下通过一些例子来讲述一下0、1变量的灵活使用。公司在各地有4项业务,选定了4位业务员去处理。由于业务能力、经验和其它情况不同,4位业务员去处理4项业务的费用(单位:元)各不相同,见右表。

应当怎样分派任务,才能使总的费用最小?

问题分析与求解:这是一个最优指派问题。引入如下变量:xij=1 若分派第i个人做每j项业务0 若不分派第i个人做第j项业务

设矩阵a(4,4)为指派矩阵,其中a(i,j)为第i个业务员做第j项业务的业务费。则可以建立如下模型:

minZ=■■aijxij s.t■xij=1 j=1,2,3,4■xij=1 i=1,2,3,4xij=0或1 i,j=1,2,3,4

LINGO程序如下:

MODEL:

SETS:

person/1..4/;

task/1..4/;

assign(person,task):a,x;

ENDSETS

DATA:

a=1100,800,1000,700,

600,500,300,800,

400,800,1000,900,

1100,1000,500,700;

ENDDATA

min=@sum(assign:a*x);

@for(person(i):@sum(task(j):x(i,j))=1);

@for(task(j):@sum(person(i):x(i,j))=1);

@for(assign(i,j):@bin(x(i,j)));

END

得到的结果如下:

x(1,1)=0,x(1,2)=0,x(1,3)=0,x(1,4)=1;

x(2,1)=0,x(2,2)=1,x(2,3)=0,x(2,4)=0;

x(3,1)=1,x(3,2)=0,x(3,3)=0,x(3,4)=0;

x(4,1)=0,x(4,2)=0,x(4,3)=1,x(4,4)=0;

最小费用为2100元。

即第1个业余员做第4项业务,第2个业余员做第2项业务,即第3个业余员做第1项业务,第4业余员做第3项业务。总费用达到最小,为2100元。

有五项设计任务可供选择。各项设计任务的预期完成时间分别为3,8,5,4,10(周)设计报酬分别为7,17,11,9,21(万元)。设计任务只能一项一项地进行,总的期限为20周。选择任务时必须满足下面要求:①至少完成3项设计任务。②若选择任务1,必须同时选择任务2。③任务3和任务4不能同时选择。

应当选择哪些任务,才能使总的设计报酬最大?

分析与求解:这是一个0-1整数规划问题。

设0-1变量xi如下:xi=0 第i项设计任务未选上1 第i项设计任务被选上

设各项设计任务的完成时间为ti(i=1,2,…,5)表示,设计报酬为mi(i=1,2,…,5)表示。则容易得到目标函数:maxZ=■mixi。根据题目要求分别列出约束条件如下:

总期限为避免20周,则约束条件为■tixi?燮20

至少完成3项设计任务,则■xi?叟3

若选择任务1,必须同时选择任务2,则x2?叟x1。

任务3和任务4不能同时选择,则x3+x4?燮1,该约束表达式表明任务3和任务4至多只能选择1个。

因此对该问题建立的数学模型如下:

maxZ=■mixi s.t■tixi?燮20■xi?叟3x2?叟x1x3+x4?燮1x1,x2,x3,x4=0或1

LINGO程序如下:

MODEL:

SETS:

mat/1..5/:m,t,x;

ENDSETS

DATA:

m=7,17,11,9,21; !定义报酬数组;

t=3,8,5,4,10; !定义完成时间;

ENDDATA

max=@SUM(mat(i):m(i)*x(i)); !定义目标函数;

@SUM(mat(i):t(i)*x(i))<=20;!期限约束 ;

@SUM(mat(i):x(i))>=3; !至少完成3项任务;

x(2)>=x(1); !若选择任务1,必须同时选择任务2;

x(3)+x(4)<=1; !任务3和任务4不能同时选择;

@FOR(mat(i):@BIN(x(i))); !使各变量为0-1变量;

END

得到的解为x(1)=1,x(2)=1,x(3)=1,x(4)=0,x(5)=0。最大报酬为35万元。

即在满足各种约束条件下,选择设计任务1,2,3,可使总报酬达到最大为35万元。

参考文献:

[1]肖华勇.实用数学建模与软件应用[M].西安:西北工业大学出版社,2008.

[2]周义仓,郝孝良.数学建模实验[M].西安:西安交通大学出版社,2007.

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