一个形变色散耗散方程的精确解
2014-11-14 23:54王泽军代冬岩孙涛郑生森
科技资讯 2014年12期
王泽军+代冬岩+孙涛+郑生森
摘 要：根据试探方程法的一种解法，获得了一个非线性的形变色散耗散方程的精确解，并给出实际参数得到相应解的具体构造。
关键词：试探方程法 精确解 形变色散耗散方程
中图分类号：O175.29 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）04（c）-0200-02
原始的非线性色散耗散方程为：
（1）
它是Kakutani和Kawahara[1]在分析冷离子和热电子组成的二流体等离子模型时提出的，Lsidore利用Painleve分析研究了此形式的特殊解[2]，Malfliet利用双曲正切函数法求出当时的一个行波解[3]。若方程式（1）发生形变时，即对流项变为，形变方程为：
（2）
本文将运用试探方程法[4，5]其中的一种解法，得出方程式（2）的部分精确解，并给出实际参数得到相应解的具体构造，可以应用在方程的实际分析上。
1 应用试探方程法求精确解
将，代入方程式（2）进行行波变换，得到一个相应的常微分方程
（3）
再对方程式（3）进行积分，得到：
（4）
首先，运用试探方程法，把设成多项式的形式，即令
（5）
其中系数为常数，则相应的
（6）
将式（5）和式（6）代入方程式（4），利用平衡原则得出，所以此时得到的试探方程
（7）
方程式（4）中对应的其他项为：
（8）
（9）
其次，将式（8）和式（9）代入方程式（4），利用等式两端恒等原则，得到：
（10）
解出试探方程里多项式的系数，分别为：
（11）
或 （12）
最后，将试探方程式（7）化为积分形式：
（13）
根据多项式根的情况进行分类积分，求出相应的精确解。
情形1：，则：
，得到方程式（4）
的精确解为：
（14）
情形2：，则，得到方程式（4）的精确解为：
（15）
情形3：，有一对共轭复根，方程式（4）的精确解为：
（16）
2 给出解的具体构造
把参数、、和任意常数取值。可以取，，，当时，得到相应情形1的精确解为：（如图1）
（17）
当时，得到相应情形2的精确解为：（如图2）
（18）
当时，得到相应情形3的精确解为：（如图3）
（19）
可见，如果根据实际背景给出参数值，可以对方程进行更加深入的研究。
参考文献
[1] T.Kakutani and T.Kawahara，A modified Korteweg-deVries equation for ion acoustics wave in two-fluid plasma， J.Phys.Soc.Japan，1970（29）：1068～1073.
[2] Isidore Ndayirinde，Exact solutions o f a nonlinear dispersive-dissipative equation，J.Phys.A：Math.Gen，1996（29）：3679-3682.
[3] W.Malfliet，The tanh method in nonlinear wave theory，Habilitation Thesis， Antwerp，Belgium，University of Antwerp，1994.
[4] C.S.Liu，Trial equation method to nonlinear differential equations with inhomogeneous： mathematical discussions and its applications.Communications in theoretical physics.2006（45）：219-223.
[5] X.H.Du，An irrational trial equation method and its applications[J].Pramana-Journal of Physics，2010（3）：415-422.endprint
摘 要：根据试探方程法的一种解法，获得了一个非线性的形变色散耗散方程的精确解，并给出实际参数得到相应解的具体构造。
关键词：试探方程法 精确解 形变色散耗散方程
中图分类号：O175.29 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）04（c）-0200-02
原始的非线性色散耗散方程为：
（1）
它是Kakutani和Kawahara[1]在分析冷离子和热电子组成的二流体等离子模型时提出的，Lsidore利用Painleve分析研究了此形式的特殊解[2]，Malfliet利用双曲正切函数法求出当时的一个行波解[3]。若方程式（1）发生形变时，即对流项变为，形变方程为：
（2）
本文将运用试探方程法[4，5]其中的一种解法，得出方程式（2）的部分精确解，并给出实际参数得到相应解的具体构造，可以应用在方程的实际分析上。
1 应用试探方程法求精确解
将，代入方程式（2）进行行波变换，得到一个相应的常微分方程
（3）
再对方程式（3）进行积分，得到：
（4）
首先，运用试探方程法，把设成多项式的形式，即令
（5）
其中系数为常数，则相应的
（6）
将式（5）和式（6）代入方程式（4），利用平衡原则得出，所以此时得到的试探方程
（7）
方程式（4）中对应的其他项为：
（8）
（9）
其次，将式（8）和式（9）代入方程式（4），利用等式两端恒等原则，得到：
（10）
解出试探方程里多项式的系数，分别为：
（11）
或 （12）
最后，将试探方程式（7）化为积分形式：
（13）
根据多项式根的情况进行分类积分，求出相应的精确解。
情形1：，则：
，得到方程式（4）
的精确解为：
（14）
情形2：，则，得到方程式（4）的精确解为：
（15）
情形3：，有一对共轭复根，方程式（4）的精确解为：
（16）
2 给出解的具体构造
把参数、、和任意常数取值。可以取，，，当时，得到相应情形1的精确解为：（如图1）
（17）
当时，得到相应情形2的精确解为：（如图2）
（18）
当时，得到相应情形3的精确解为：（如图3）
（19）
可见，如果根据实际背景给出参数值，可以对方程进行更加深入的研究。
参考文献
[1] T.Kakutani and T.Kawahara，A modified Korteweg-deVries equation for ion acoustics wave in two-fluid plasma， J.Phys.Soc.Japan，1970（29）：1068～1073.
[2] Isidore Ndayirinde，Exact solutions o f a nonlinear dispersive-dissipative equation，J.Phys.A：Math.Gen，1996（29）：3679-3682.
[3] W.Malfliet，The tanh method in nonlinear wave theory，Habilitation Thesis， Antwerp，Belgium，University of Antwerp，1994.
[4] C.S.Liu，Trial equation method to nonlinear differential equations with inhomogeneous： mathematical discussions and its applications.Communications in theoretical physics.2006（45）：219-223.
[5] X.H.Du，An irrational trial equation method and its applications[J].Pramana-Journal of Physics，2010（3）：415-422.endprint
摘 要：根据试探方程法的一种解法，获得了一个非线性的形变色散耗散方程的精确解，并给出实际参数得到相应解的具体构造。
关键词：试探方程法 精确解 形变色散耗散方程
中图分类号：O175.29 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）04（c）-0200-02
原始的非线性色散耗散方程为：
（1）
它是Kakutani和Kawahara[1]在分析冷离子和热电子组成的二流体等离子模型时提出的，Lsidore利用Painleve分析研究了此形式的特殊解[2]，Malfliet利用双曲正切函数法求出当时的一个行波解[3]。若方程式（1）发生形变时，即对流项变为，形变方程为：
（2）
本文将运用试探方程法[4，5]其中的一种解法，得出方程式（2）的部分精确解，并给出实际参数得到相应解的具体构造，可以应用在方程的实际分析上。
1 应用试探方程法求精确解
将，代入方程式（2）进行行波变换，得到一个相应的常微分方程
（3）
再对方程式（3）进行积分，得到：
（4）
首先，运用试探方程法，把设成多项式的形式，即令
（5）
其中系数为常数，则相应的
（6）
将式（5）和式（6）代入方程式（4），利用平衡原则得出，所以此时得到的试探方程
（7）
方程式（4）中对应的其他项为：
（8）
（9）
其次，将式（8）和式（9）代入方程式（4），利用等式两端恒等原则，得到：
（10）
解出试探方程里多项式的系数，分别为：
（11）
或 （12）
最后，将试探方程式（7）化为积分形式：
（13）
根据多项式根的情况进行分类积分，求出相应的精确解。
情形1：，则：
，得到方程式（4）
的精确解为：
（14）
情形2：，则，得到方程式（4）的精确解为：
（15）
情形3：，有一对共轭复根，方程式（4）的精确解为：
（16）
2 给出解的具体构造
把参数、、和任意常数取值。可以取，，，当时，得到相应情形1的精确解为：（如图1）
（17）
当时，得到相应情形2的精确解为：（如图2）
（18）
当时，得到相应情形3的精确解为：（如图3）
（19）
可见，如果根据实际背景给出参数值，可以对方程进行更加深入的研究。
参考文献
[1] T.Kakutani and T.Kawahara，A modified Korteweg-deVries equation for ion acoustics wave in two-fluid plasma， J.Phys.Soc.Japan，1970（29）：1068～1073.
[2] Isidore Ndayirinde，Exact solutions o f a nonlinear dispersive-dissipative equation，J.Phys.A：Math.Gen，1996（29）：3679-3682.
[3] W.Malfliet，The tanh method in nonlinear wave theory，Habilitation Thesis， Antwerp，Belgium，University of Antwerp，1994.
[4] C.S.Liu，Trial equation method to nonlinear differential equations with inhomogeneous： mathematical discussions and its applications.Communications in theoretical physics.2006（45）：219-223.
[5] X.H.Du，An irrational trial equation method and its applications[J].Pramana-Journal of Physics，2010（3）：415-422.endprint
