浅析中考数学压轴题解题技巧

原欢春

【摘 要】 初中数学的教育应该从学生的接受能力角度出发，将题目以规律形式表现出来，让学生能有一套自己的解题思路和解题方法。

【关键词】数学中考 解题规律 技巧

一、初中数学中考的复习方案与知识点的串联

根据山东省历年中考的实际情况来看，数学考试的知识点分散较大。考纲虽然明确提出的有148个考点，但是许多考点的考查都是通过知识的串联进行的，有些考点甚至只是作为隐形考点加以考查。

二、以实例探讨中考考题的解题技巧以及解题思想的建立

例题（山东省） 如图1所示，已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）。

（1）求二次函数y = ax2+bx+c的具体表达式并标明图象的对称轴；

（2）现假设点P与点Q分别从B点和O点出发，以每秒0.1个单位长度的速度运动。其中P点沿线段BC向C点运动，Q点从O点沿线段OA向A点运动，当其中一个点到达端点时，另一个也立即停止运动，设最终运动总时间为t（s）。

①要想让四边形ABPQ正好为等腰梯形，那么t应该取何值？

②假设PQ与对称轴交于一点M，过M点作x轴的平行线与AB相交，并设其交点为N，若假设S四边形ANPQ=S，请求出面积S与时间t的函数表达式和t的取值范围；并求出当t为何值时，S取最值（可以为最大值和最小值）。

解：具体分析如图2所示。

（1）由于二次函数y = ax2+bx+c的图象经过C（0，-3），可以得出c=-3，

再将点A与点B的值带入就得到了关于a，b的二元一次方程组，解之可得：a=1 ；b=-2。

二次函数的表达式为：y = x2-2x-3。

注：第一问的解答并不算难，应该要求所有学生掌握。但是对于这种简单的计算，要让学生们注意，不能因为一时马虎而算错数据。而在这个简单的解题之下，包含了哪些内容呢？首先，考查的是函数的定义，以及二元一次方程的计算。

（2）①由题意可得：BP=OQ=0.1t，

由于点B与点C的纵坐标相等，所以BC//OA。

过点B，P分别作垂线BD，PE，垂足为D，E。

题目中要求算出四边形ABPQ为等腰梯形时t的值 （利用这一条件找等式），只有当PQ=AB时可以实现，

即 QE=AD=1，

QE=OE-OQ=2-0.2t=1，

t=5，也就是当t为5时，四边形ABPQ成等腰梯形。

注：这是第二问的解答，可以看得出来，这一题的设计十分巧妙，将几何与解析几何联系在一起出题。当学生看到等腰梯形时，应该首先想到等腰梯形的性质，并根据题目所给的条件看看是否能构造等式。在本题中，这个等式的构造就是等腰梯形的两个腰相等。这就是正确的解题思路，当学生看到这个题目直接考虑腰相等而建立等式时，就已经解开了大半了。根据笔者的系统研究发现，近些年来中考的发展趋势主要面向学生的空间思考能力和动手能力。

②先设对称轴与BC的交点为F，并设对称轴与x轴的交点为G。

此时可以看出对称轴x=1垂直平分线段BC，也就可以得出： BF=CF=OG=1。

又因为BP=OQ。

所以PF=OG。

再因为∠PMF=∠QMG，可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由条件可得：S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN

而S四边形ABFG= ，S△BPN= t。

所以S= - t.

又因为 BC=2，OA=3，

所以点P运动到C点需要20秒，也就是t的取值范围是0≤t≤20。

那么当t=20时取最小值S=3。

注：第三问的难度稍大，但只要细心也能做得出来，第三问对题目的探索最多，对知识点的应用也最多。具体来看，第三问设计的最大值与最小值的求解，必定会出现取值范围的应用，否则无法判定最大值和最小值，所以当学生看到第三问时，首先能想到利用取值范围解题就可能会直接寻找t的取值，以及t和面积S的具体关系，也就找到了解题的思路。

结束语

综合题目的分析能极大程度地串联不同章节的知识，也就是说分析综合题是提升学生解题技巧的方法之一。

【参考文献】

[1] 解婉贞.圆“满”的结局——谈数学中考圆运动的动态问题之一[J].考试周刊，2012（80）：3-5.

[2] 唐煌.谈数学中考综合题的解答[J].初中生辅导，2012（18）：9-18.

[3] 赵桂芳.数学中考备考策略[J].基础教育论坛，2012（8）：11-12.endprint

【摘 要】 初中数学的教育应该从学生的接受能力角度出发，将题目以规律形式表现出来，让学生能有一套自己的解题思路和解题方法。

【关键词】数学中考 解题规律 技巧

一、初中数学中考的复习方案与知识点的串联

根据山东省历年中考的实际情况来看，数学考试的知识点分散较大。考纲虽然明确提出的有148个考点，但是许多考点的考查都是通过知识的串联进行的，有些考点甚至只是作为隐形考点加以考查。

二、以实例探讨中考考题的解题技巧以及解题思想的建立

例题（山东省） 如图1所示，已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）。

（1）求二次函数y = ax2+bx+c的具体表达式并标明图象的对称轴；

（2）现假设点P与点Q分别从B点和O点出发，以每秒0.1个单位长度的速度运动。其中P点沿线段BC向C点运动，Q点从O点沿线段OA向A点运动，当其中一个点到达端点时，另一个也立即停止运动，设最终运动总时间为t（s）。

①要想让四边形ABPQ正好为等腰梯形，那么t应该取何值？

②假设PQ与对称轴交于一点M，过M点作x轴的平行线与AB相交，并设其交点为N，若假设S四边形ANPQ=S，请求出面积S与时间t的函数表达式和t的取值范围；并求出当t为何值时，S取最值（可以为最大值和最小值）。

解：具体分析如图2所示。

（1）由于二次函数y = ax2+bx+c的图象经过C（0，-3），可以得出c=-3，

再将点A与点B的值带入就得到了关于a，b的二元一次方程组，解之可得：a=1 ；b=-2。

二次函数的表达式为：y = x2-2x-3。

注：第一问的解答并不算难，应该要求所有学生掌握。但是对于这种简单的计算，要让学生们注意，不能因为一时马虎而算错数据。而在这个简单的解题之下，包含了哪些内容呢？首先，考查的是函数的定义，以及二元一次方程的计算。

（2）①由题意可得：BP=OQ=0.1t，

由于点B与点C的纵坐标相等，所以BC//OA。

过点B，P分别作垂线BD，PE，垂足为D，E。

题目中要求算出四边形ABPQ为等腰梯形时t的值 （利用这一条件找等式），只有当PQ=AB时可以实现，

即 QE=AD=1，

QE=OE-OQ=2-0.2t=1，

t=5，也就是当t为5时，四边形ABPQ成等腰梯形。

注：这是第二问的解答，可以看得出来，这一题的设计十分巧妙，将几何与解析几何联系在一起出题。当学生看到等腰梯形时，应该首先想到等腰梯形的性质，并根据题目所给的条件看看是否能构造等式。在本题中，这个等式的构造就是等腰梯形的两个腰相等。这就是正确的解题思路，当学生看到这个题目直接考虑腰相等而建立等式时，就已经解开了大半了。根据笔者的系统研究发现，近些年来中考的发展趋势主要面向学生的空间思考能力和动手能力。

②先设对称轴与BC的交点为F，并设对称轴与x轴的交点为G。

此时可以看出对称轴x=1垂直平分线段BC，也就可以得出： BF=CF=OG=1。

又因为BP=OQ。

所以PF=OG。

再因为∠PMF=∠QMG，可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由条件可得：S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN

而S四边形ABFG= ，S△BPN= t。

所以S= - t.

又因为 BC=2，OA=3，

所以点P运动到C点需要20秒，也就是t的取值范围是0≤t≤20。

那么当t=20时取最小值S=3。

注：第三问的难度稍大，但只要细心也能做得出来，第三问对题目的探索最多，对知识点的应用也最多。具体来看，第三问设计的最大值与最小值的求解，必定会出现取值范围的应用，否则无法判定最大值和最小值，所以当学生看到第三问时，首先能想到利用取值范围解题就可能会直接寻找t的取值，以及t和面积S的具体关系，也就找到了解题的思路。

结束语

综合题目的分析能极大程度地串联不同章节的知识，也就是说分析综合题是提升学生解题技巧的方法之一。

【参考文献】

[1] 解婉贞.圆“满”的结局——谈数学中考圆运动的动态问题之一[J].考试周刊，2012（80）：3-5.

[2] 唐煌.谈数学中考综合题的解答[J].初中生辅导，2012（18）：9-18.

[3] 赵桂芳.数学中考备考策略[J].基础教育论坛，2012（8）：11-12.endprint

【摘 要】 初中数学的教育应该从学生的接受能力角度出发，将题目以规律形式表现出来，让学生能有一套自己的解题思路和解题方法。

【关键词】数学中考 解题规律 技巧

一、初中数学中考的复习方案与知识点的串联

根据山东省历年中考的实际情况来看，数学考试的知识点分散较大。考纲虽然明确提出的有148个考点，但是许多考点的考查都是通过知识的串联进行的，有些考点甚至只是作为隐形考点加以考查。

二、以实例探讨中考考题的解题技巧以及解题思想的建立

例题（山东省） 如图1所示，已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）。

（1）求二次函数y = ax2+bx+c的具体表达式并标明图象的对称轴；

（2）现假设点P与点Q分别从B点和O点出发，以每秒0.1个单位长度的速度运动。其中P点沿线段BC向C点运动，Q点从O点沿线段OA向A点运动，当其中一个点到达端点时，另一个也立即停止运动，设最终运动总时间为t（s）。

①要想让四边形ABPQ正好为等腰梯形，那么t应该取何值？

②假设PQ与对称轴交于一点M，过M点作x轴的平行线与AB相交，并设其交点为N，若假设S四边形ANPQ=S，请求出面积S与时间t的函数表达式和t的取值范围；并求出当t为何值时，S取最值（可以为最大值和最小值）。

解：具体分析如图2所示。

（1）由于二次函数y = ax2+bx+c的图象经过C（0，-3），可以得出c=-3，

再将点A与点B的值带入就得到了关于a，b的二元一次方程组，解之可得：a=1 ；b=-2。

二次函数的表达式为：y = x2-2x-3。

注：第一问的解答并不算难，应该要求所有学生掌握。但是对于这种简单的计算，要让学生们注意，不能因为一时马虎而算错数据。而在这个简单的解题之下，包含了哪些内容呢？首先，考查的是函数的定义，以及二元一次方程的计算。

（2）①由题意可得：BP=OQ=0.1t，

由于点B与点C的纵坐标相等，所以BC//OA。

过点B，P分别作垂线BD，PE，垂足为D，E。

题目中要求算出四边形ABPQ为等腰梯形时t的值 （利用这一条件找等式），只有当PQ=AB时可以实现，

即 QE=AD=1，

QE=OE-OQ=2-0.2t=1，

t=5，也就是当t为5时，四边形ABPQ成等腰梯形。

注：这是第二问的解答，可以看得出来，这一题的设计十分巧妙，将几何与解析几何联系在一起出题。当学生看到等腰梯形时，应该首先想到等腰梯形的性质，并根据题目所给的条件看看是否能构造等式。在本题中，这个等式的构造就是等腰梯形的两个腰相等。这就是正确的解题思路，当学生看到这个题目直接考虑腰相等而建立等式时，就已经解开了大半了。根据笔者的系统研究发现，近些年来中考的发展趋势主要面向学生的空间思考能力和动手能力。

②先设对称轴与BC的交点为F，并设对称轴与x轴的交点为G。

此时可以看出对称轴x=1垂直平分线段BC，也就可以得出： BF=CF=OG=1。

又因为BP=OQ。

所以PF=OG。

再因为∠PMF=∠QMG，可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由条件可得：S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN

而S四边形ABFG= ，S△BPN= t。

所以S= - t.

又因为 BC=2，OA=3，

所以点P运动到C点需要20秒，也就是t的取值范围是0≤t≤20。

那么当t=20时取最小值S=3。

注：第三问的难度稍大，但只要细心也能做得出来，第三问对题目的探索最多，对知识点的应用也最多。具体来看，第三问设计的最大值与最小值的求解，必定会出现取值范围的应用，否则无法判定最大值和最小值，所以当学生看到第三问时，首先能想到利用取值范围解题就可能会直接寻找t的取值，以及t和面积S的具体关系，也就找到了解题的思路。

结束语

综合题目的分析能极大程度地串联不同章节的知识，也就是说分析综合题是提升学生解题技巧的方法之一。

【参考文献】

[1] 解婉贞.圆“满”的结局——谈数学中考圆运动的动态问题之一[J].考试周刊，2012（80）：3-5.

[2] 唐煌.谈数学中考综合题的解答[J].初中生辅导，2012（18）：9-18.

[3] 赵桂芳.数学中考备考策略[J].基础教育论坛，2012（8）：11-12.endprint